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【全程复习方略】(陕西专用)2014高考数学 第六章 第三节 基本不等式课时提升作业 文 北师大版


【全程复习方略】 (陕西专用)2014 高考数学 第六章 第三节 基本不等式课时 提升作业 文 北师大版
一、选择题 1.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( (A)a<b< (C)a< < <b< (B)a< (D) < <a< ) <b <b

2. (2013· 汉中模拟) 函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上(其 中 m,n>0),则 + 的最小值等于 (A)16 (B)12 ( ) (C)9 (D)8 )

3.(2012·湖北高考)设 a,b,c∈R,则“abc=1”是“ + + ≤a+b+c”的 ( (A)充分条件但不是必要条件 (B)必要条件但不是充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件

4.(2013·延安模拟)某企业投入 100 万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都 要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万 元.为使该设备年平均费用最低,该企业 (A)10 (B)11 (C)13 年后需要更新设备.( (D)21 ) )

5.(2013·咸阳模拟)已知 a=(m,1),b=(1,n-1)(其中 m,n 为正数),若 a·b=0,则 + 的最小值是( (A)2 (B)2 (C)4 (D)8 (

6.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 (A)a<v< (C) <v< (B)v= (D)v=

)

7.(2013·南昌模拟)设 x,y 是满足 2x+y=20 的正数,则 lgx+lg(2y)的最大值为 ( )
-1-

(A)50 (C)1+lg5

(B)2 (D)1 )

8.(2013·余姚模拟)已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值为 ( (A)5 二、填空题 9.(2013·安康模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 10.若对任意 x>0, 11.若当 x>1 时不等式
2 2 x y

(B)7

(C)8

(D)9

,则 + 的最大值为 . .

.

≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 >m +1 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .
2

12.若实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是 三、解答题

13.若 x,y∈R,且满足(x +y +2)(x +y -1)-18≤0,(1)求 x +y 的取值范围.(2)求证:xy≤2. 14.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值.(2)x+y 的最小值. 15.(能力挑战题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的污水处理池,池的深度一定(平 面图如图所示),如果池围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. (2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过 16 米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.
2

2

2

2

2

2

2

答案解析

-2-

1.【解析】选 B.方法一:令 a=1,b=4, 则 ∴a< =2, < = , <b.
2

方法二:∵0<a<b,∴a <ab,∴a< ∴ <b,∴a< < <b.

,a+b<2b,

【变式备选】下列结论中正确的是 ( (A)若 3 +3 ≥2
a b

)

,则必有 a>0,b>0

(B)要使 + ≥2 成立,必有 a>0,b>0 (C)若 a>0,b>0,且 a+b=4,则 + ≤1 (D)若 ab>0,则 ≥
a b a b

【解析】选 D.当 a,b∈R 时,一定有 3 >0,3 >0,必有 3 +3 ≥2

,A 错.要使 + ≥2 成立,只要 >0, >0 ) =4,所以 + = ≥1,C 错. > ,所以当 ab>0 时,一定有
2

即可,这时只要 a,b 同号,B 错.当 a>0,b>0,且 a+b=4 时,则 + = ,由于 ab≤( 当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ≥ ,故 D 正确. ,所以 ≤ = ,而当 a<0,b<0 时,显然有

2.【解析】选 D.由题意 A(-2,-1), ∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1. ∴ + =( + )(2m+n)=4+ + 当且仅当 n=2m 时取等号. 3. 【解析】 选 A.由于 + + = a+b+c;反之,如 a=1,b=4,c=9,满足 + ≤ = .可知当 abc=1 时,可推出 + + ≤ ≥8.

+ ≤a+b+c,但 abc=1 不成立.

4.【解析】选 A.由题意可知 x 年的维护费用为 2+4+?+2x=x(x+1),所以 x 年平均费用为 y= 选 A. 5. 【解析】 选 C.因为 a· b=0, 所以 m×1+1×(n-1)=0, 即 m+n=1.又 m, n 为正数, 所以 + =( + )(m+n)=2+ +
-3-

=x+

+1.5,y=x+

+1.5≥2

+1.5=21.5,当且仅当 x=

,即 x=10 时取等号,所以

≥2+2

=4,当且仅当 = ,即 m=n= 时等号成立.故 + 的最小值是 4. = = ,因

6.【解析】选 A.设甲乙两地的路程为 s,则往返时间分别是 t1= ,t2= ,所以平均速度是 v= 为 a<b,所以 < >a, . ,∴2xy≤100,

,即 a<v<

7.【解析】选 B.∵20=2x+y≥2 ∴lgx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2. 当且仅当 2x=y 时取等号.

8.【解析】选 B.由已知得 log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即 log2[(m-2)(2n-2)]=3,

因此

于是 n=

+1.

所以 m+n=m+ 最小值 7.

+1=m-2+

+3≥2

+3=7.当且仅当 m-2=

,即 m=4 时等号成立,此时 m+n 取

9.【解析】由题意 x=loga3,y=logb3.∴ + = ∵2 =a+b≥2 ,∴ab≤3,

+

=log3a+log3b=log3(ab).

∵ + ≤log33=1,当且仅当 a=b 时取等号. ∴ + 的最大值为 1. 答案:1 10.【解析】∵x>0,∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号), ∴ ∴( 答案:a≥ 【方法技巧】根据恒成立求参数的方法 (1)若 a≥f(x)恒成立,只需 a≥f(x)max. (2)若 a≤f(x)恒成立,只需 a≤f(x)min.
-4-

=



= ,

)max= ,∴a≥ .

即将求参数的范围问题转化为求函数的最值问题来解决. 11. 【思路点拨】 关键是用基本不等式求 再利用基本不等式求最值. 【解析】 由于
2

的最小值,可将其分子按照分母 x-1 进行配方,然后分解为 3 项,

= <m< .

=(x-1)+

+2≥2

+2=6,当且仅当 x=3 时取等号,所以要使不等式恒成立,

应有 m +1<6,解得答案:<m<

12.【思路点拨】先对 x +y 变形,用 x+y 与 xy 表示,然后用基本不等式将 xy 转化为 x+y,再解不等式得 x+y 的最大值. 【解析】由 x +y +xy=1 可得(x+y) -xy=1,所以(x+y) -1=xy,由于 xy≤( (x+y) ≤ ,所以 x+y≤ 即 x+y 的最大值是 答案: 13.【解析】(1)(x +y +2)(x +y -1)-18≤0,即(x +y ) +(x +y )-20≤0,有(x +y +5) ·(x +y -4)≤0,因为 x +y +5>0,所以有 0≤x +y ≤4. (2)由(1)知 x +y ≤4,由基本不等式得 xy≤
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

) ,所以(x+y) -1≤(

2

2

) ,因此

2

,

.

≤ =2,所以 xy≤2.

14.【思路点拨】把 2x+8y-xy=0 转化为 + =1 即可. 【解析】(1)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, 又 x>0,y>0, 则 1= + ≥2 = ,得 xy≥64,

当且仅当 = 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1, 则 x+y=( + )·(x+y)

-5-

=10+ + ≥10+2

=18.

当且仅当 = ,且 + =1 时等号成立, ∴x+y 的最小值为 18. 15.【解析】(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400×(2x+2× 1296(x+ )+12960≥1296×2 ,x=10 时取等号. 米, +12960=

)+248×2x+80×162=1296x+ +12960=38880(元).

当且仅当 x=

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38880 元. (2)由限制条件知 ∴10 ≤x≤16. 设 g(x)=x+ (10 ≤x≤16),

∴g(x)在[10 ,16]上是增函数, ∴当 x=10 时(此时 即 f(x)取最小值. ∴当长为 16 米,宽为 10 米时,总造价最低. =16),g(x)取最小值,

-6-


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