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仙村中学-2011学年高三第一学期8月份月考试卷(数学理科)答案

仙村中学-2011 学年高三第一学期 8 月份月考试卷(数学理科)答案

仙村中学 2011 学年高三第一学期 8 月份月考试题(数学理科)

S球

=4?

R2,,V球

=

4? R3 3

,V锥体

=

1 3

S底面积h,V柱体

=S底面积h,

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分。满分 40 分.在每小题给出的四个选项中。只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A B 为

A. {0,?1}

B.{?1,1}

C.{?1}

( C) D.{0}

2. 已知向量 a,b 的夹角为 60°,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与 a+2b 的夹角等于( )

A.150°

B.90°

C.60°

D.30°

3.已知 m, n 是两条不同直线,?, ? ,? 是三个不同平面,下列命题中正确的是(D )

A. 若m‖?, n‖?,则m‖ n

B. 若? ? ? , ? ? ? ,则?‖ ?

C. 若m‖?, m‖ ? ,则?‖ ?

D. 若m ? ?, n ? ?,则m‖ n

4.右图是一个几何体的主视图和左视图,而俯视图是直径为 2 的圆,根据图中数据,可得该

几何体的表面积是(D)

(A)9π

(B)10π

(C)11π

(D)12π

5.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片

上的数字之和为奇数的概率为( C )

A. 1 3

B. 1 2

C. 2 3

D. 3 4

6.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为? ,则球的体积为(B)

A. 8? 3

B. 8 2? 3

C. 8 2?

D. 32? 3

7.如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是( ).
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A . 20 2

B . 20 3

C . 40 2

D . 20 6

8.将函数

y

?

sin ? x(?

?

0)

的图象按向量

a

?

? ??

?

? 6

,

0

? ??

平移,平移后

的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )

A. y ? sin(x ? ? ) 6

B. y ? sin(x ? ? ) 6

C. y ? sin(2x ? ? ) 3

D. y ? sin(2x ? ? ) 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分.满分 30 分.
9.若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为________________.12?

10.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,

E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概



.?

16

11.一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现 从盒子中随机抽取卡片。若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求在第一次抽

到卡片上的数字是偶数的条件下,第二次也抽到卡片上的数字是偶数的概率是



12.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至

少有一名志愿者.则有

种不同的分法。

13. 如 果 函 数

y ? 3 sin?

2x

?

?

?













? ??

4? 3

,0

? ??















|

?

|











。?

3

解:

函数

y

?

3sin

?2x

??

?

的图像关于点

? ??

4? 3

,0

? ??

中心对称

?2?

4? 3

??

?

k?

??

?

k?

?2?

4? 3

(k ? Z ) 由此易得| ?

|min ?

? 3

.故选

C

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14.如图,已知正四棱锥 P-ABCD 中,AB=1,PA=2,若 P、

P

A、B、C、D 都在同一个球面上,且球心在正四棱锥 P-ABCD

内,则这个球的半径 R=



三、解答题(本大题共六题,共 80 分。解答题应 有适当的文字说明、证明过程或演算步骤,在答题 卷上相应的答题区域内作答。)

D A

O

O1

C

B

15(本小题满分 12 分)

在 △ABC 中, cos B ? ? 5 , cos C ? 4 .

13

5

(Ⅰ)求 sin A 的值;

(Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ABC

?

33 2

,求 BC 的长.

15 解:

(Ⅰ)由 cos B ? ? 5 ,得 sin B ? 12 ,

13

13

由 cos C ? 4 ,得 sin C ? 3 .

5

5

所以 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 33 . ·····································5 分 65

(Ⅱ)由

S△ ABC

?

33 2



1 2

?

AB ?

AC ?sin

A

?

33 2



由(Ⅰ)知 sin A ? 33 , 65

故 AB? AC ? 65 ,·························································································8 分

又 AC ? AB ?sin B ? 20 AB , sin C 13

故 20 AB2 ? 65 , AB ? 13 .

13

2

所以 BC ? AB ? sin A ? 11 . ·········································································10 分 sin C 2

16.(本小题满分 12 分)

一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现 从盒子中随机抽取卡片.
(1)若从盒子中有放回的抽取 2 次卡片,每次抽取一张,求恰有 1 次取到卡片的数字为 奇数的概率;
(2)从盒子中依次抽取 3 次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,记所抽取的三张 卡片上的数字含偶数的张数为 X,求 X 的分布列和期望。
(3)若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求在第一次抽到卡片上的数字 是偶数的条件下,第二次也抽到卡片上的数字是偶数的概率。

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E? ? 0? 0.008 ?1? 0.032 ? 2? 0.16 ? 3? 0.8 ? 2.752 .

17(本小题满分 12 分)。已知

PA ? 平面ABC,?ABC ? 90?,

P

PA=AB,E 为 PB 的中点.

(1)求证: PB ? BC,

(2)证明:AE⊥平面 PBC,

(3)若∠ACB= 300 ,求异面直线 PC 与 AB 所成
E
的角的余弦值。

A

C

B

18.(本小题满分 12 分)
某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得 4 ? i (i ? 1,2,3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其
各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;
(Ⅱ)该射手的得分记为? ,求随机变量? 的分布列及数学期望. 解:(Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1,2,3) ,则 P(Ai ) ? 0.8,P(Ai ) ? 0.2 , P(Ai Ai ) ? P(Ai )P(Ai ) ? 0.2?0.8 ? 0.16 . (Ⅱ)? 可能取的值为 0,1,2,3. ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P 0.008 0.032 0.16 0.8
19(本小题满分 14 分).

已知函数 f (x) ? sin2 ?x ?

3

sin

?

x

sin

? ??

?

x

?

π 2

? ??



?

?

0

)的最小正周期为

π



(Ⅰ)求? 的值;

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(Ⅱ)求函数

f

(x)

在区间

???0,23π

? ??

上的取值范围.

解:(Ⅰ) f (x) ? 1? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1

2

2

2

2

2

?

sin

? ??

2?

x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为函数 f (x) 的最小正周期为 π ,且? ? 0 ,

所以 2π ? π ,解得? ? 1. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

f

(x)

?

sin

? ??

2

x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为 0≤ x ≤ 2π ,
3

所以 ? π ≤ 2x ? π ≤ 7π ,

6

66

所以

?

1 2



sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

≤1,

因此

0



sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 2



3 2

,即

f

(x)

的取值范围为

???0,32

? ??



20.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD与 A' ABB' 都是边长为 a 的正方形,

点 E 是 A' A的中点, A' A ⊥平面 ABCD.

(1)求证: A'C // 平面 BDE;

A'

(2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE; (3)求二面角 B- A?C -D 的余弦值。

B'
E?

.证明:(1)设 AC 交 BD 于 M,连结 ME.
?ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点, 又?E 为 A' A的中点?ME 为 ?A' AC 的中位线
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A B

A'

B' E?

D A

B

M

C

D C

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?ME // A'C ……………………………………3 分 又? ME ? 平面BDE , A'C ? 平面BDE ? A'C // 平面 BDE. ………………6 分

(2) ABCD为正方形 ? BD ? AC ………………………… 8 分

? A' A ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ? A' A ? BD. ……………………12 分 又AC ? A' A ? A? BD ? 平面A' AC.

BD ? 平面BDE

…………………………………………14 分

?平面A' AC ? 平面BDE.

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姓名:____________

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仙村中学 2011 学年高三第一学期 8 月份月考试题(数学理科)答卷
一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 二、填空题 9.____

10. ________________

11.____________________12.___________________

13.________ _________ 14._____________________ 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分). 15.(本小题满分 12 分)

学号:_________

高三( )班 准答题

学校:_________________ 密封线内不

16.(本小题满分 12 分)
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17.(本小题满分 14 分)

P

E

A

C

B

8 / 10

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18.(本小题满分 14 分)
19.(本小题满分 14 分)
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20.(本小题满分 14 分)

A' B'
E?
A B

D C







线





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