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重庆市南开中学2014届高三(上)12月月考数学理试题


重庆南开中学高 2014 级 12 月月考 数学试题(理)
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、复数 z ? ?1 ? i ? i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 ) D、第四象限 )

? ? ? ? ? 2、向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?1,1? ,若 ka ? b 与 b 互相垂直,则实数 k 的值为(
A、1 B、 ?2 C、

1 2

D、 ? )

1 4

3、已知命题 P : lg ? x ? 1? ? 0 ,命题 Q : 1 ? 2 x ? 2 ,则 P是Q 的( A、充分不必要条件 4、方程 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 )

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是( 9?k 5? k
B、 ? ?5, 2 ? C、 ? 2, ?? ?

A、 ? ?5,9 ? 5 、若函数 y ? cos(2 x ? ( ) A、 ?

D、 ? 2,9 ?

?
3

) 向左平移 ? 个单位后是奇函数 ( ? ?

?
4

) ,则实数 ? 可能是

6 1 1 1 6 、在用数学归纳法证明 f ? n ? ? ? ??? ? 1 ? n ? N * , n ? 3? 的过程中,假设 n n ?1 2n

? 12

B、 ?

?

C、

? 12

D、

? 6

n ? k 时不等式成立,则需要证明 n ? k ? 1 成立时, f ? k ? 1? 比 f ? k ? 增加的值为(
A、



1 1 1 1 1 1 1 C、 D、 ? ? ? ? 2 k ? 1 2k ? 2 k 2k ? 1 k 2k ? 2 2k ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7、P 为四边形 ABCD 所在平面上一点,PA ? PB ? PC ? PD ? AB ? CD , 则P为 ( )
B、 A、四边形 ABCD 对角线交点 B、 AC 中点 C、 BD 中点 D、 CD 边上一点 8、等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 ? am ? a1 ? ? am ?1 m ? N , m ? 2 ,则必有(
*

1 1 ? 2k ? 1 2 k ? 2

?

?



A、 Sm ? 0, Sm?1 ? 0 B、 Sm ? 0, Sm?1 ? 0 9、函数 y ? A、2

C、 Sm ? 0, Sm?1 ? 0

D、 Sm ? 0, Sm?1 ? 0 )

1 的图像与 y ? 3sin ? x ? ?1 ? x ? 3? 的图像所有交点横坐标之和为( 1? x
B、4 C、6 D、8

10、在数列 ? an ? 中,如果存在正整数 T ,使得 an ?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,那么就

称 数 列 ? a n ? 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 做 数 列 ? a n ? 的 周 期 。 已 知 数 列 ? xn ? 满 足

xn ? 2 ? xn ?1 ? xn ? x ? N * ? ,若 x1 ? 1, x2 ? a ? a ? 1, a ? 0 ? ,当数列 ? xn ? 的周期为 3 时,则
数列 ? xn ? 的前 2014 项的和 S 2014 为( A、671 B、670 ) C、1342 D、1343

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 11、直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 12、在 ?ABC 中, BC ? 2, AC ?

7, B ?

?
3

,则 ?ABC 的面积为

2 2 13、若 x, y 满足 ax ? y ? 1 ? a ? 0 ? ,设 x ? y ?

2 x ? 2 y 的最小值为 f ? a ? ,最大值为 a

g ? a ? ,如果 9[ f ? a ? ? 1 ?

1 ] ? g ? a ? ,则 a 的取值范围是 a2

考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14、如图, PQ 为半圆 O 的直径, A 为以 OQ 为直径 的半圆 A 的圆心,圆 O 的的弦 PN 切圆 A 于点 M , PN ? 8 ,则圆 A 的半径为 15、已知曲线 C1 、 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 2sin ? ,

? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 ,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最近距离为
16、已知关于 x 的不等式 x ? x ?

1 1 ? a ? a ? 在 x ? R 时恒成立,则实数 a 的取值范围 4 4

是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 13 分) 已知直线 l1 : kx ? y ? 4k ? 1 ? 0 过定点 P ,且直线 l2 : (1)求 a ? b 的最小值;
2 2

x y ? ? 1 ? a, b ? 0 ? 也过 P 点。 a b

(2)若 l1 与圆 C : x ? y ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 有且只有一个公共点,求 l1 的方程。

18、 (本小题满分 13 分)

已知:向量 m ? ? sin x, (1)求 f ? x ? 解析式;

??

? ?

?? ? ? 3? ? f x ? 2 m ? n ?n ,设函数 , n ? cos x , ? 1 ? ? ? ? ? 4?

?

?

( 2 )在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。若 a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 ,求 3

?? ? ? ? ? ?? f ? x ? ? 4 cos? 2A ? ? ? x ? ? 0, ? ? 的取值范围。 6? ? ? ? 2 ??

19、 (本小题满分 13 分) 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a, an ?1 ? 2an ? 2 ? 3 (1)设 bn ? an ? 2 ? 3
n ?1
n ?1

,n? N* 。

,求数列 ?bn ? 和 ? an ? 的通项公式;
*

(2)若 an ?1 ? an , n ? N ,求 a 的取值范围。

20、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 3 ? x ? 2 a ? 3? ??e
2 x

(1)求 f ? x ? 的递增区间; (2) a ? 1 时,求 f ? x ? 的最小值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,F1 , F2 分别为椭圆 C1 的左顶点和右顶点。 以 F1 , F2 为焦点作与椭 8 4

圆 C1 离心率相同的椭圆 C2 。 (1)P 为椭圆 C1 上异于 F1 , F2 的任意一点。 设直线 PF1 的斜率为 k1 , 直线 PF2 的斜率为 k 2 。 求证: k1 ? k2 为定值; (2)若直线 PF1 交 C2 于 A, B 两点,直线 PF2 交 C2 于 C , D 两点,求 AB ? CD 的值。

22、 (本小题满分 12 分) 数 列 ?bn ? 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 Sn ?

3 bn ? n ? n ? N * ? , 若 数 列 ?an ? 满 足 2

1 1 1 a1 ? 1 ,an ? bn ( ? ? ? )n ? ? b1 b 2 bn ? 1
(1)求 b1 , b2 及 bn ; (2)证明

n 2? , N* ?

an ? 1 bn ? ? n ? 2, n ? N * ? ; an ?1 bn ?1
? ? 1 ?? 1? ? 1 ? * ? ?1 ? ?? ?1 ? ? ? 3 ? n ? N ? 。 a1 ? ? a2 ? ? an ?

(3)求证: ? 1 ?


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