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33188r.com:高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式教案2_3

1.2.1 排列概念与排列数公式 教学目标:理解排列、排列数的概念; 了解排列数公式的推导; 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列; 能用排列数公式计算。 教学重点:排列、排列数的概念。 教学难点:排列数公式的推导 教学过程: 1、问题情景 〖问题 1〗从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动, 一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 〖问题 2〗从 a, b, c, d 这四个字母中,每次取出 3 个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法? 2、基本概念 排列:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定 的顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的 顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同。 排列数:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的 排列 数,用符号 An 表示。 注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个 元素按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个 元素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列。 m m 排列数公式及其推导:由 An 的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1 , a2, 2 an 中任取 2 个元素 去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一 个排列总可以由这样的一种填法得到, 因此, 所有不同的填法的种数就是排 2 列 数 An . 由 分 步 计 数 原 理 完 成 上 述 填 空 共 有 n(n ? 1) 种 填 法 , ∴ 2 An = n(n ? 1) 1 由此,求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑,∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) , 3 3 求 An 以按依次填 m 个空位来考虑 An ? n(n ?1)(n ? 2) m m m An ? n(n ?1)(n ? 2) (n ? m ?1) ,得排列数公式如下: (n ? m ?1) , ( m, n ? N ? , m ? n ) (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一 个因数比它前面一个少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下: n An ? n(n ?1)(n ? 2) 2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘) 阶乘: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列,这时 n An ? n(n ?1)(n ? 2) n 3 ? 2 ?1 ; ? n! , n ! ,即 An 把正整数 1 到 n 的连乘积, 叫做 n 的阶乘表示: 规定 0! ? 1 . m 排列数的另一个计算公式: An ? n(n ?1)(n ? 2) (n ? m ?1) m An = ? n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1)(n ? m) 3 ? 2 ?1 n! ? , 即 (n ? m)(n ? m ? 1) 3 ? 2 ?1 (n ? m)! n! 。 (n ? m)! 例题 1、计算: (1) A16 ; 3 (2) A6 ; 6 (3) A6 . 4 2、由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数? 3、 已知 a、 b、 c、 d 四个元素, ①写出 每次取出 3 个元素的所有排列; ②写出每次取出 4 个元素的所有排 列. 4、 (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学,各人得到的书 不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种,各人得到那 种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算。 练习 1、写出: ① 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列; ② 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. ③ 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数. 2、将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次 的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票 2 员,共有多少种不同的分配方案? 课堂小结:理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导,能用排列数公式计算。 课后作业: 课后反思: 3

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