当前位置:首页 >> 数学 >>

【金识源】高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定教案 新人教A版必修2

2.3.2

平面与平面垂直的判定

一、教材分析 在空间平面与平面之间的位置关系中, 垂直是一种非常重要的位置关系, 它不仅应用较 多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的,二 面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定, 提高学生空间想象能力, 提高等价转化思想渗透的意识,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力;使学生学会多 角度分析、思考问题,培养学生的创新精神. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平 面互相垂直”的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2.过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3.情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程,使学生理会教学存在于观实生活周围,从中 激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力. 三、教学重点与难点 教学重点:平面与平面垂直判定. 教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 (一)复习 两平面的位置关系: (1)如果两个平面没有公共点,则两平面平行 ? 若 α ∩β = ? ,则 α ∥β . (2)如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交 ? 若 α ∩β =AB,则 α 与 β 相交. 两平面平行与相交的图形表示如图 1.

图1 (二)导入新课 思路 1.(情境导入) 为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时,为了使水坝坚固耐 用必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,使 卫星轨道平面与地球赤 道平面成一定的角度.为此,我们引入二面角的概念,研究两个平面所成的角. 思路 2.(直接导入) 前边举过门和墙所在平面的关系, 随着门的开启, 其所在平面与墙所在平面的相交程度 在变,怎样描述这种变化呢?今天我们一起来探究两个平面所成角问题.
1

(三)推进新课、新知探究、提出问题 ①二面角 的有关概念、画法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③两个平面垂直的定义. ④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理,并给出证明. ⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里? 讨论结果:①二面角的有关概念. 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二 面角的棱,这两个半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平卧式两种画法:如图 2(教师和学生共同动手). 直立式: 平卧式:

(1)

(2)

图2 二面角的表示方法: 如图 3 中, 棱为 AB,面为 α 、β 的二面角, 记作二面角 α -AB-β . 有时为了方便也可在 α 、β 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P、Q,将这个二面角记作 二面角 P-AB-Q.

图3 如果棱为 l,则这个二面角记作 α lβ 或 PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如图 4,在二面角 α lβ 的棱上任取点 O, 以 O 为垂足, 在半平面 α 和 β 内分别作垂直 于棱的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 组成∠AOB.

图4 再取棱上另一点 O′,在 α 和 β 内分别作 l 的垂线 O ′A′和 O′B′,则它们组成角 ∠A′O′B′. 因为 OA∥O′A′,OB∥O′B′,所以∠AOB 及∠A′ O′B′的两边分别平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 从上述结论说明了:按照上述方法作出的角的大小 ,与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角 概念:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角 α lβ 的平面角. ③直二面角的定义.
2

二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说二面角是多少 度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墙面与地面, 一个正方体中每相邻的两个面、 课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何 里两条直线互相垂直的概念相类似,也是用它们 所成的角为直角来定义,二面角既可以为锐角,也可以为钝角,特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为: 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法:如图 5.

图5 ④两个平面垂直的判定定理. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为:

AB ? ? ? ? ? α ⊥β . AB ? ? ?

两个平面垂直的判定定理图形表述为:如图 6.

图6 证明如下: 已知 AB⊥β ,AB∩β =B,AB ? α . 求证:α ⊥β . 分析:要证 α ⊥β ,需证 α 和 β 构成的二面角是直二面角,而要证明一个二面角是直 二面角,需找到其中一个平面角,并证明这个二面角的平面角是直角. 证明:设 α ∩β =CD,则由 AB ? α ,知 AB、CD 共面. ∵AB⊥β ,CD ? β ,∴AB⊥CD,垂足为点 B. 在平面 β 内过点 B 作直线 BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角 α CDβ 的平面角. 又 AB⊥BE,即二面角 α CDβ 是直二面角, ∴α ⊥β . ⑤应用面面垂直的判定定理难点在于:在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面 面垂直转化为证线线垂直. (四)应用示例 例1 一点. 思路 1 如图 7,⊙O 在平面 α 内,AB 是⊙O 的直径,PA⊥α ,C 为圆周上不同于 A、B 的任意

3

图7 求证:平面 PAC⊥平面 PBC. 证明:设⊙O 所在平面为 α ,由已知条件,PA⊥α ,BC ? α ,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC. 又∵PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线, ∴BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC. 变式训练 如图 8,把等腰 Rt△ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置,使 CD=AC,

图8 (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC; (2)求二面角 CBDA 的余弦值. (1)证明:由题设,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥平面 ABC,O 为垂足,则 OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心,即 AB 的中点. ∴O∈AB,即 O∈平面 ABD. ∴OD ? 平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 ABC. (2)解:取 BD 的中点 E,连接 CE、OE、OC, ∵△BCD 为正三角形,∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同(1)可证 OC⊥平面 ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设 BC=a,则 CE=

1 3 OE 3 a ,OE= a ,∴cos∠OEC= ? . 2 2 CE 3

点评:欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线. 例 2 如图 9 所示,河堤斜面与水平面所成二面角为 60°,堤面上有一条直道 CD,它与堤 角的水平线 AB 的夹角为 30°,沿这条直道从堤脚向上行走到 10 m 时人升高了多少?(精 确到 0.1 m)

4

图9 解:取 CD 上一点 E,设 C E=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG,垂足为 G, 则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作 EF⊥AB,垂足为 F,并连接 FG, 则 FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°, 由 此 , 得 EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×

1 3 5 3 ≈4.3 ? ? 2 2 2

(m). 答:沿直道行走到 10 m 时人升高约 4.3 m. 变式训练 已知二面角 α ABβ 等于 45°, CD ? α , D∈AB, ∠CDB=45°.求 CD 与平面 β 所成的角. 解:如图 10,作 CO⊥β 交 β 于点 O,连接 DO,则∠CDO 为 DC 与 β 所成的角.

图 10 过点 O 作 OE⊥AB 于 E,连接 CE,则 CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角 α ABβ 的平面角, 即∠CEO=45°. 设 CD=a,则 CE=

2 a ,∵CO⊥OE,OC=OE, 2

∴CO=

1 CO 1 a .∵CO⊥DO,∴sin∠CDO= ? . 2 CD 2

∴∠CDO=30°,即 DC 与 β 成 30°角. 点评:二面角是本节的另一个重点,作二面角的平面角最常用的方法是:在一个半平面 α 内找一点 C,作另一个半平面 β 的垂线,垂足为 O,然后通过垂足 O 作棱 AB 的垂线,垂 足为 E,连接 AE,则∠CEO 为二面角 α -AB-β 的平面角.这一过程要求学生熟记. 思路 2 例 1 如图 11,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.

图 11 (1)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离;
5

(3)求二面角 APBD 的余弦值. (1)证明:设 AC 与 BD 交于点 O,连接 PO, ∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴的 PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD ? 平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC. (2)解:作 AE⊥PO 于点 E,∵平面 PBD⊥平面 PAC,∴AE⊥平面 PBD. ∴AE 为点 A 到平面 PBD 的距离. 在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°= 3 ,∠PAO=90°, ∵PO= PA2 ? AO2 ?

7 ,∴AE=

PA ? AO 2 3 2 21 . ? ? PO 7 7

∴点 A 到平面 PBD 的距离为

2 21 . 7

3)解:作 AF⊥PB 于点 F,连接 EF, ∵AE⊥平面 PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面 AEF,PB⊥EF. ∴∠AFE 为二面角 APBD 的平面角. 在 Rt△AEF 中,AE=

2 21 ,AF= 2 , 7

∴sin∠AFE=

AE 42 42 2 7 ? ,cos∠AFE= 1 ? ( . ) ? AF 7 7 7 7 . 7

∴二面角 APBD 的余弦值为

变式训练 如图 12,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若二面角 PDCA=45°,求证:MN⊥平面 PDC.

图 12 证明:如图 13 所示, (1)取 PD 的中点 Q,连接 AQ、NQ,则 QN ∴QN AM.

图 13

1 DC,AM 2

1 DC, 2

6

∴四边形 AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ. 又∵MN ? 平面 PAD,AQ ? 平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. 又∵AQ ? 平面 PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD. (3)由(2)知,CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD. ∴∠PDA 是二面角 PDCA 的平面角.∴∠PDA=45 °. 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面 PDC. 例 2 如图 14,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F 为棱 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中点.

图 14 (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1; (3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小. (1)证明:延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点, ∴F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点. 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN. 又∵MF ? 平面 ABCD,AN ? 平面 ABCD, ∴MF∥平面 ABCD. (2)证明:连接 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,可知 AA1⊥平面 ABCD, 又∵BD ? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC、A1A ? 平面 ACC1A1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN, ∴四边形 DANB 为平行四边形. 故 NA∥BD,∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA ? 平面 AFC1, ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1. (3)解:由(2),知 BD⊥平面 ACC1A1,又 AC1 ? 平面 ACC1A1,∴BD⊥AC1. ∵BD∥NA,∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC, ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.
7

在 Rt△C1AC 中,tan∠C1AC=

C1C 1 ,故∠C1AC=30°. ? CA 3

∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°. 变式训练 如图 15 所示, 在四棱锥 S—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧面 SDC⊥底面 ABCD, 且 AB=2, SC=SD=2.

图 15 (1)求证:平面 SAD⊥平面 SBC; (2)设 BC=x,BD 与平面 SBC 所成的角为 α ,求 sinα 的取值范围. (1)证明:在△SDC 中,∵SC=SD= 2 ,CD=AB=2, ∴∠DSC=90°,即 DS⊥SC. ∵底面 ABCD 是矩形,∴BC⊥CD. 又∵平面 SDC⊥平面 ABCD,∴BC⊥面 SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面 SBC. ∵DS ? 平面 SAD,∴平面 SAD⊥平面 SBC. (2)解:由(1),知 DS⊥平面 SBC,∴SB 是 DB 在平面 SBC 上 的射影. ∴∠DBS 就是 BD 与平面 SBC 所成的角,即∠DBS=α . 那么 sinα =

DS . DB

∵BC=x,CD=2 ? DB= 4 ? x 2 ,∴sinα =

2 4 ? x2

.

由 0<x<+∞,得 0<sinα <

2 . 2

(五)知能训练 课本本节练习. (六)拓展提升 如图 16,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,过 A、D、N 三点的平面交 PC 于 M,E 为 AD 的中点.

8

图 16 (1)求证:EN∥平面 PCD; (2)求证:平面 PBC⊥平面 ADMN; (3)求平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明:∵AD∥BC,B C ? 面 PBC,AD ? 面 PBC, ∴AD∥面 PBC.又面 ADN∩面 PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点 M 为 PC 的中点.∴MN

1 BC. 2

又 E 为 AD 的中点,∴四边形 DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面 PDC. (2)证明:连接 PE、BE,∵四边形 ABCD 为边长为 2 的菱形,且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面 PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且 N 为 PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面 ADMN. ∴平面 PBC⊥平面 ADMN. (3)解:作 EF⊥AB,连接 PF,∵PE⊥平面 ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的平面角. 又在 Rt△AEB 中,BE= 3 ,AE=1,AB=2,∴EF=

3 . 2

又∵PE= 3 ,∴tan∠PFE=

PE ? EF

3 3 2

=2,

即平面 PAB 与平面 ABCD 所成的二面角的正切值为 2. (七)课堂小结 知识总结:利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问 题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结: 转化思想, 即把面面关系转化为线面关系, 把空间问题转化为平面问题. (八)作业 课本习题 2.3 A 组 1、2、3.

9


相关文章:
高中数学 2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案 新人教版....doc
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定教案 新人教版A必修2_数学_高中教育_教育专区。高中 平面与平面垂直的判定教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念, ...
中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定学案 新人教A....doc
中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2_其它_高等教育_教育专区。中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2 ...
【数学】2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案(新人教A版....doc
【数学】2.3.2平面与平面垂直的判定教案(新人教A版必修2) - 百色高中课时授课计划 授课时间: ___ 课课题型年 _ 月 __ 日 星期: 课 授课教师: ...
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定习题课课件 ....ppt
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定习题课课件 新人教A版必修2_政史地_高中教育_教育专区。平面与平面垂直的判定习题课 二面角的计算: 1、找到或作出...
最新人教A版必修2高中数学 2平面与平面垂直的判定与性....pdf
高中数学 2平面与平面垂直的判定与性质教案 新人教A版必修2 授课类型:新授课
高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件 新人教A版....ppt
高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。2.3.2 平面与平面垂直的判定 自学导引(学生用书P48) 1.理解两个平面...
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教....ppt
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2_学科竞赛_高中教育_教育专区。2.3.2平面与平面 垂直的判定 1.在立体几何中,"异面直线所成...
高中数学 全册课件2.3.2平面与平面垂直的判定精品课件 ....ppt
高中数学 全册课件2.3.2平面与平面垂直的判定精品课件 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。2.3.2平面与平面 垂直的判定 复习回顾两直线所成角的取值范围...
高中数学 2-3-2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt
高中数学 2-3-2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第...
数学:2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必....ppt
数学:2.3.2平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。平面与平面垂直的判定 教学目标 1.理解二面角及其平面角的概念。 2.掌握...
新人教A版高中数学(必修2)2.3《直线、平面垂直的判定及....doc
新人教A版高中数学(必修2)2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》word教案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。2.3 直线与平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与...
【精品】高中数学 2、3、2平面与平面垂直的判定优秀学....doc
【精品】高中数学 232平面与平面垂直的判定优秀学生寒假必做作业练习 新人教A版必修2 隐藏>> 232 平面与平面垂直的判定 练习一、选择题 1、一...
【数学】2.3.2-2《 平面与平面垂直的判定》课件(新人教....ppt
【数学】2.3.2-2《 平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中资源。2.3.2 平面与平面垂直的判定 鹿邑三高 史琳...
【数学】2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(A版必修2)....ppt
【数学】2.3.2平面与平面垂直的判定》课件(A版必修2) - 平面与平面垂直的判定 温故知新 1.线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 ...
...必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的判定》....doc
人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第章《平面与平面垂直的判定》练习题(含答案) - 第章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其...
人教版高中数学必修2平面与平面垂直的判定教案.doc
人教版高中数学必修2平面与平面垂直的判定教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。平面与平面 2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教学目标 1、知识与技能 (1)使...
高中数学 第二章2.3.4《平面与平面垂直的性质》课件 新....ppt
高中数学2.3.4《平面与平面垂直的性质》课件 新人教版A必修2_数学_高中教育_教育专区。2.3.4 平面与平面垂直的性质 问题提出 1.平面与平面垂直的...
数学:2.3.1《直线与平面垂直的判定》教案(新人教A版必修2).doc
数学:2.3.1《直线与平面垂直的判定教案(新人教A版必修2)_数学_高中教育_...【金识源】高中数学 2.3... 暂无评价 9页 1下载券 数学:2.3《直线、平面...
数学:2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必....ppt
数学:2.3.2平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2) - 肥城一中高一数学组 教学目标 1.理解二面角及其平面角的概念,能 确认图形中的已知角是否为二面角...
高中数学必修2新课标人教A版教案.doc
人教|高中数学必修2新课标人教A版教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。是 目...§2.3.2 平面与平面垂直的判定 ......