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高三数学第二轮专题复习系列:(5)平面向量


高考数学第二轮专题复习系列(5)
平面向量
一、本章知识结构:

二、高考要求 1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。 3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。 7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 8、通过解三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类: 1.以选择、 填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大, 用以解决有关长度、 夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常 规题为主. 3.向量在空间中的应用(在 B 类教材中).在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用 计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题, 即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题,有关平面 向量部分突出考查了向量的基本运算。 对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交 叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解 斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算, 重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
1

四、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决的问题也分为两类: 一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几 何中的一些计算和证明问题;另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜 三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。 在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确 地进行向量的各种运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识,并体会用向 量处理问题的优越性。 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想, 所以 要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时, 一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用, 另一方面要 体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题

平面向量
【例 1】 在下列各命题中为真命题的是 ①若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ? b =x1y1+x2y2 ②若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则| AB |= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ③若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ? b =0 ? x1x2+y1y2=0 ④若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 A、①② B、②③ C、③④ D、①④ ( )

解:根据向量数量积的坐标表示;若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ? b =x1x2+y1y2,对照命题 (1)的结论可知,它是一个假命题、 于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D),而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行 判定,它一定是正确的、对命题(2)而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就 以排除了(C),应选择(B)、 说明:对于命题(3)而言,由于 a ? b =0 ? a = 0 或 b = 0 或 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0,故它是一 个真命题、 而对于命题(4)来讲, a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0、但反过来,当 x1x2+y1y2=0 时,可以是 x1=y1=0, 即 a = 0 ,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此

x1x2+y1y2=0 ? ? a ⊥ b ),所以命题(4)是个假命题、
【例 2】 已知 a =(- 3 ,-1), b =(1, A、30° B、60°

b 的夹角θ = 3 ), 那么 a ,
D、150°

(

)

C、120°

解: a ? b =(- 3 ,-1)?(1, 3 )=-2 3 | a |= (? 3 ) 2 ? (?1) 2 =2
2

| b |= 12 ? ( 3 ) 2 =2 ∴cosθ =
a?b a?b

=

3 ?2 3 =? 2? 2 2

【例 3】已知 a =(2,1), b =(-1,3),若存在向量 c 使得: a ? c =4, b ? c =-9,试求向量

c 的坐标、
解:设 c =(x,y),则由 a ? c =4 可得: 2x+y=4;又由 b ? c =-9 可得:-x+3y=-9

?2 x ? y ? 4 于是有: ? ?? x ? 3 y ? 9

(1) ( 2)

由(1)+2(2)得 7y=-14,∴y=-2,将它代入(1)可得:x=3 ∴ c =(3,-2)、 说明:已知两向量 a , b 可以求出它们的数量积 a ? b ,但是反过来,若已知向量 a 及数量 积 a ? b ,却不能确定 b 、 【例 4】求向量 a =(1,2)在向量 b =(2,-2)方向上的投影。 解:设向量 a 与 b 的夹角θ 、 有 cosθ =

a?b a?b

=

1 ? 2 ? 2 ? (?2) 12 ? 2 2 2 2 ? (?2) 2

=-

10 10
10 2 )=- 10 2

∴ a 在 b 方向上的投影=| a |cosθ = 5 ?(-

【例 5】已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高 AD,求 AD 及点 D 的坐标、 解:设点 D 的坐标为(x,y) ∵AD 是边 BC 上的高, ∴AD⊥BC,∴ AD ⊥ BC 又∵C、B、D 三点共线, ∴ BC ∥ BD 又 AD =(x-2,y-1), BC =(-6,-3)

3

BD =(x-3,y-2)
∴?
?? 6( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? 0 ?? 6( y ? 2) ? 3( x ? 3) ? 0

解方程组,得 x=

7 9 ,y= 5 5 7 2 9 1 , ), AD 的坐标为(- , ) 5 5 5 5

∴点 D 的坐标为(

【例 6】设向量 a 、 b 满足:| a |=| b |=1,且 a + b =(1,0),求 a , b 、 解:∵| a |=| b |=1, ∴可设 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ )、 ∵ a + b =(cosα +cosβ ,sinα +sinβ )=(1,0),
?cos α ? cos β ? 1?? (1) ? ?sin α ? sin β ? 0 ?? (2)

由(1)得:cosα =1-cosβ ??(3) 由(2)得:sinα =-sinβ ??(4) ∴cosα =1-cosβ = ∴sinα =±
1 2

3 3 ,sinβ = ? 2 2

? ? ?1 3? ?1 3? ? ? ?a ? ? , ?a ? ? , ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?2 2 ? ? ?2 ? 或? ? ?1 ?1 3? 3? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? 2 ,? 2 ? ?b ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【例 7】 对于向量的集合 A={ v =(x,y)|x +y ≤1}中的任意两个向量 v1 、v 2 与两个非负实数
2 2

α 、β ;求证:向量α v1 +β v 2 的大小不超过α +β 、 证明:设 v1 =(x1,y1), v 2 =(x2,y2) 根据已知条件有:x 1+y 1≤1,x 2+y 2≤1 又因为|α v1 +β v 2 |= (αx1 ? βx 2 ) 2 (αy1 ? βy 2 ) 2 = α 2 ( x12 ? y12 ) ? β 2 ( x 2 2 ? y 2 2 ) ? 2αβ ( x1 x 2 ? y1 y 2 )
2 2 其中 x1x2+y1y2≤ x1 ? y1 2 2 x2 ? y2 ≤1
2 2 2 2

所以|α v1 +β v 2 |≤ α 2 ? β 2 ? 2αβ =|α +β |=α +β

4

【例 8】已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=

1 AB、求证:AC⊥BC 2

证明:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系、如图,设 AD=1 则 A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1) ∴ BC =(-1,1), AC =(1,1)

??? ?

????

??? ? ???? BC ? AC =-1?1+1?1=0
∴BC⊥AC、 【例 9】已知 A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在 x 轴的正半轴上求点 C,使∠ACB 最大,并求 出最大值、 解:设 C(x,0)(x>0) 则 CA =(-x,a), CB =(-x,b) 则 CA ? CB =x +ab、
2

cos∠ACB= 令 t=x +ab
2

CA ? CB CA ? CB

=

x 2 ? ab x2 ? a2 x2 ? b2

故 cos∠ACB=
? ab(a ? b) 2

1 1 ? ( a ? b) 2 ? ? 1 t t
2

1

2 ab 1 1 当 = 即 t=2ab 时,cos∠ACB 最大值为 、 a?b t 2ab

当 C 的坐标为( ab ,0)时,∠ACB 最大值为 arccos

2 ab a?b 。

【例 10】 如图, 四边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 BD 上的一点, PECF 是矩形,用向量法证明 (1)PA=EF; (2)PA⊥EF 证明:建立如图所示坐标系,设正方形边长为 1, | OP |=λ ,则 A(0, 1), P( F(
2 λ ,0) 2 2 2 2 λ ,1- λ ), EF =( λ -1,- 2 2 2
2

2 2 2 λ , λ ), E(1, λ ), 2 2 2

∴ PA =(-

2 λ ) 2

(1)| PA | =(- | EF | =(
2 2

2 2 2 2 2 λ ) +(1- λ ) =λ - 2 λ +1 2 2

2 2 2 2 2 λ -1) +(- λ ) =λ - 2 λ +1 2 2
2

∴| PA | =| EF | ,故 PA=EF

5

(2) PA ? EF =(- ∴ PA ⊥ EF

2 2 2 2 λ )( λ -1)+(1- λ )(- λ )=0 2 2 2 2

∴PA⊥EF、

【例 11】已知 a ? (1,0), b ? (2,1). ①求 | a ? 3b | ; ②当 k 为何实数时,k a ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? 解:① a ? 3b = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴ | a ? 3b | = ②k a ? b = k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). 设 k a ? b =λ ( a ? 3b ),即(k-2,-1)= λ (7,3),
1 ? k?? ? ?k ? 2 ? 7λ ? 3 ?? ∴? . 1 ? 1 ? 3 λ ? ?λ ? ? ? 3 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

7 2 ? 3 2 = 58 .

?

?

?

?

?

?

故 k= ?

1 时, 它们反向平行. 3

【例 12】已知 | a |? 2, | b |? 1, a 与 b 的夹角为 解: a ? b ?| a || b | cos

?

?

?

?

? ? ? ? π ,若向量 2a ? kb 与 a ? b 垂直, 求 k. 3

π 1 =2?1? =1. 2 3 ? ? ? ? ∵ 2a ? kb 与 a ? b 垂直,
∴( 2a ? kb ) ? (a ? b ) = 0 , ∴2 a ? 2a ? b ? kab ? kb ? 0 ? k = - 5.

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?2

? ?

??

?2

?

【例 13】如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b + c = 5a ,BE、CF 分别为 AC 边与 AB 上的中线, 求证:BE⊥CF. 解:

2

2

2

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? BE ? ( BA ? BC ), CF ? (CB ? CA) 2 2 ??? ? ??? ? 1 ??????? ? ???? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ? BE ? CF ? (? BA ?BC ? AB ? AC ? BC ? CB ? CA) 4 ??? ? ??? ? 2 ???? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 2 1 1 ? [? ( BA ? BC ? AC ) ? ( AB ? AC ? BC ) ? BC ? (CA ? CB ? BA )] 4 2 2 2 ??? ? ???? ??? ? 2 2 2 1 1 ? ( AB ? AC ? 5 BC ) ? (b 2 ? c 2 ? 5a 2 ) ? 0, 8 8

6

∴ BE ⊥ CF , 即 BE⊥CF . 【例 14】是否存在 4 个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量 之和垂直? 解:如图所示,在正△ABC 中,O 为其内心,P 为圆周上一点, 满足 PA , PB , PC , PO 两两不共线,有 ( PA + PB )?( PC + PO ) =( PO + OA + PO + OB )?( PO + OC + PO ) =(2 PO + OA + OB )?(2 PO + OC ) =(2 PO - OC )?(2 PO + OC ) =4 PO - OC
2 2 2

??? ?

??? ?

=4 PO - OC =0
2

有( PA + PB )与( PC + PO )垂直、 同理证其他情况、从而 PA , PB , PC , PO 满足题意、故存在这样 4 个平面向量、

平面向量的综合应用
1.利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题 【例 1】已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 , OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1, 求证: ?P 1P 2P 3 是正三角形 解:令 O 为坐标原点,可设 P 1 ?cos?1 , sin?1 ?, P 2 ?cos? 2 , sin? 2 ?, P 3 ?cos? 3 , sin? 3 ? 由 OP 1 ? OP 2 ? ?OP 3 ,即 ?cos θ1 , sin θ1 ? ? ?cos θ 2 , sin θ 2 ? ? ?? cos θ 3 ? sin θ 3 ?

?cos θ1 ? cos θ 2 ? ? cos θ 3 ① ? ?sin θ1 ? sin θ 2 ? ? sin θ 3 ②
两式平方和为 1 ? 2 cos?θ1 ? θ 2 ? ? 1 ? 1 , cos?θ1 ? θ 2 ? ? ?
0

1 , 2
0

由此可知 ?1 ? ? 2 的最小正角为 120 ,即 OP 1 与 OP 2 的夹角为 120 , 同理可得 OP 1 与 OP3 的夹角为 120 , OP 3 的夹角为 120 , 2 与 OP 这说明 P 1, P 2, P 3 三点均匀分部在一个单位圆上,
0

????

????

????

????

0

7

所以 ?P 1P 2P 3 为等腰三角形. 【例 2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系,设 A?2a,0?, B?0,2a ? ,则 D?a,0?, C ?0, a ? , 从而可求: AC ? ?? 2a, a ?, BD ? ?a,?2a ? ,

cos θ ?

AC ? BD AC BD

?

?? 2a, a ? ? ?a,?2a ? = ? 4a 2
5a ? 5a
5a
2

??

4 . 5

? 4? ? θ ? arccos? ? ? . ? 5?
2.利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题

1 ? BC ? 【例 3】已知 ?ABC ,AD 为中线,求证 AD ? AB 2 ? AC 2 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

?

?

2

证明:以 B 为坐标原点,以 BC 所在的直线为 x 轴建立如图 2 直角坐标系, 设 A?a, b ?, C ?c,0? , D? ,0 ? ,
2

?c ?2

? ?

则 AD ? ? ? a ? ? ?0 ? b ?2 ?
?
2

2

?c ?2

?

c2 ? ac ? a 2 ? b 2 , 4

? ? 2 2 ? ? BC ? 1? ? AB ? AC ? ? ? ? . 2? ? ? 2 ? ? ?

=

1? 2 c2 ? c2 2 2 2 2 2 ? ? a ? b ? c ? a ? b ? ? a ? b ? ac ? , ? ? 2? 4? 4
2

从而 AD

? BC ? 2 2 ? 1? ? ? ? ? AB ? AC ? ? ? ? , 2? ? ? 2 ? ? ?

2

1 ? BC ? AD ? AB 2 ? AC 2 ? ? ? . 2 ? 2 ?
2

?

?

2

3.利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量 【例 4】已知点 O 是 ?ABC内的一点,?AOB ? 150 ,?BOC ? 90 ,
0 0

设OA ? a, OB ? b, OC ? c, 且 a ? 2, b ? 1, c ? 3, 试用 a, 和b表示c.

8

解:以 O 为原点,OC,OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系.
0 ,,3 , 由 OA=2, ?AOx ? 120 ,所以 A 2 cos120 ,2 sin120 ,即A - 1
0 0

?

?

?

?

易求 B?0, - 1?,C?3,0 ? ,设

???? ??? ? ???? OA ? ?1 OB ? ?2 OC ,即 -1,3 ? ?1 ? 0, -1? ? ?2 ? 3,0 ?,

?

?

?? ? - 3 ? ?-1 ? 3?2 ? 1 , ? ? 1 . ? 3 ? -?1 ??2 ? ? 3 ?

? ? 1? a ? ? 3b ? c . 3
【例 5】如图,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? OA ? OB ? 1, OA与OB的夹角为1200, OC与OA的夹角为300 , OC ? 5,

OB 表示 OC . 用 OA,
解: 以 O 为坐标原点, 以 OA 所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系, 则 A?1,0? ,

???? ??? ?

????

?5 3 5? ?, 由?COA ? 30 0 ,所以C 5cos300 ,5 sin 30 0 , 即C? ? 2 , 2? ? ?

?

?

? 1 3? ? 同理可求B? ?? 2 , 2 ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?5 3 5? ? 1 3? OC ? ?1 OA ? ?2 OB, 即 ? , ? ? 1 , 0 ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 2 2? ?- 2 , 2 ? ? ? ? ? ?
? ?5 3 10 3 1 ? λ 1 - λ 2 ?λ 1 ? ? ? 2 ? 3 2 , . ? ? 3 5 3 ?5 ? ? λ2 λ2 ? ? ? 2 3 ?2 ?

10 3 5 3 OA ? OB . 3 3 4.利用向量的数量积解决两直线垂直问题 【例 6】如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面? ABCD 是菱 形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:C1C⊥BD. ? OC ?
(2)当

CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1

(1)证明:设 CD =a, CD =b, CC1 =c,
9

??? ?

依题意,|a|=|b|, CD 、 CB 、 CC1 中两两所成夹角为θ , 于是 BD ? CD ? DB =a-b,CC1 ? BD =c(a-b)=c?a-c?b=|c|?|a|cosθ -|c|?|b|cos θ =0,∴C1C⊥BD. (2)解:若使 A1C⊥平面 C1BD,只须证 A1C⊥BD,A1C⊥DC1, 由 CA1 ? C1 D ? (CA ? AA1 ) ? (CD ? CC1 ) =(a+b+c)?(a-c) =|a| +a?b-b?c-|c| =|a| -|c| +|b|?|a|cosθ -|b|?|c|?cosθ =0,得 当|a|=|c|时,A1C⊥DC1,同理可证当|a|=|c|时,A1C⊥BD, ∴
2 2 2 2

??? ?

??? ?

???? ?

CD =1 时,A1C⊥平面 C1BD. CC1

【例 7】如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA1 , CB1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 解:(1)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz. 依题意得:B(0,1,0),N(1,0,1) ∴| BN |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 . (2)解:依题意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2). ∴ BA1 = (1,?1,2), CB1 =(0,1,2)

BA1 ? CB1 =1?0+(-1)?1+2?2=3
| BA1 |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( 2 ? 0) 2 ? 6

| CB1 |? (0 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? ( 2 ? 0) 2 ? 5

? cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 | BC1 | ? | CB1 |

?

3 6? 5

?

30 . 10

1 1 (3)证明:依题意得:C1(0,0,2),M( , ,2 ) 2 2 1 1 C1 M ? ( , ,0), A1 B ? ( ?1,1,?2) 2 2 1 1 ∴ A1 B ? C1 M ? ( ?1) ? ? 1 ? ? ( ?2) ? 0 ? 0,? A1 B ? C1 M , 2 2 ∴A1B⊥C1M. 5.利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,
10

点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离. 【例 8】求平面内两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离公式 解:设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? AB ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 )

?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ,而 | AB |?| AB |

?点 A 与点 B 之间的距离为: | AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹 角问题. 【例 9】证明: cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? 证明:在单位圆 O 上任取两点 A, B ,以 Ox 为始边, 以 OA, OB 为终边的角分别为 ? , ? , 则 A 点坐标为 (cos ? , sin ? ), B 点坐标为 (cos? , sin ? ) ; 则向量 OA ? (cos ? , sin ? ), OB ? (cos? , sin ? ) ,它们的夹角为 ? ? ? ,

| OA |?| OB |? 1, OA ? OB ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,由向量夹角公式得:
cos(α ? β) ? OA ? OB | OA || OB | ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,从而得证.

注:用同样的方法可证明 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题. 【例 10】证明柯西不等式 ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) 证明:令 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) (1)当 a ? 0 或 b ? 0 时, a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,结论显然成立; (2)当 a ? 0 且 b ? 0 时,令 ? 为 a, b 的夹角,则 ? ? [0, ? ]
2 2 2 2 2

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

? ? ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ?| a || b | cos? . ?a

?

?

又? | cos? |? 1

? ? ? ? ? ? ?| a ? b |?| a || b | (当且仅当 a // b 时等号成立)
?| x1 x2 ? y1 y2 |? x1 ? y1 ? x2 ? y2
2 2 2 2

11

? ( x12 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y22 ) ? ( x1x2 ? y1 y2 )2 .(当且仅当 x1
【例 11】求 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x 的最值
2 2

y1

?

x2 时等号成立) y2

解:原函数可变为 y ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x , 所以只须求 y ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的最值即可,

1,1?, 构造 a ? ?sin 2 x, cos 2 x?, b ? ?
那么 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? b ? a b ? 故 y max ? 2 ?

2.

2 , y min ? 2 ? 2 .

【例 12】三角形 ABC 中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC 边上的中线 AM 的长;(2)∠CAB 的平分线 AD 的长;(3)cosABC 的值. 解:(1)点 M 的坐标为 xM=

?1?1 7?2 9 9 ? 0; y M ? ? ,? M (0, ) 2 2 2 2
221 . 2

9 ?| AM |? (5 ? 0) 2 ? ( ?1 ? ) 2 ? 2

( 2) | AB |? (5 ? 1) 2 ? ( ?1 ? 7) 2 ? 10, | AC |? (5 ? 1) 2 ? ( ?1 ? 2) 2 ? 5

D 点分 BC 的比为 2.
∴xD=

? 1 ? 2 ?1 1 7 ? 2 ? 2 11 ? , yD ? ? 1? 2 3 1? 2 3

1 11 14 | AD |? (5 ? ) 2 ? ( ?1 ? ) 2 ? 2. 3 3 3
(3)∠ABC 是 BA 与 BC 的夹角,而 BA =(6,8) , BC =(2,-5).

? cos ABC ?

BA ? BC | BA | ? | BC |

?

6 ? 2 ? ( ?8) ? ( ?5) 6 ? ( ?8) ? 2 ? ( ?5)
2 2 2 2

?

52 10 29

?

2629 145

解斜三角形
【例 1】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. 的值. 解法一:由题设条件知 B=60°,A+C=120°. 设α =

1 1 2 A?C ,求 cos ? ?? cos A cos C cos B 2

A?C ,则 A-C=2α ,可得 A=60°+α ,C=60°-α , 2

12

所以

1 1 1 1 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ?) cos(60? ? ?) 1 1 cos ? cos ? ? ? ? ? , 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 4 4 2 2 2 2

依题设条件有

? 2 ? , 3 cos B 2 cos ? ? 4 1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2. 2 cos 2 ? ? 3 4
2

cos ?

整理得 4 2 cos α +2cosα -3 2 =0(M) (2cosα - 2 )(2 2 cosα +3)=0,∵2 2 cosα +3≠0,

A?C 2 . ? 2 2 解法二:由题设条件知 B=60°,A+C=120°
∴2cosα - 2 =0.从而得 cos

?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

①, ②,

把①式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] 2 2 1 1 A?C 将 cos =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得: 2 2 2 2 cos
cos

③,

A?C 2 ④ ? ? 2 cos( A ? C ) 2 2 A?C A?C A?C 2 2 将 cos(A-C)=2cos ( )-1 代入 ④:4 2 cos ( )+2cos -3 2 =0 2 2 2 A?C A?C (2 cos ? 2 2 )(2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2 (*), A?C A?C A?C 2 ? 2 2 cos ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 从而得 : cos ? . 2 2 2 2 【例 2】在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮 船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在 岛北 60°西、俯角为 30°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距 岛 A 有多远?
解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)

13

在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米) 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB?cos30°-cosACB?sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sin CDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20
答:此时船距岛 A 为

9? 3 千米. 13
A?C 1 1 , f(x)=cosB( ). ? 2 cos A cosC

【例 3】 已知△ABC 的三内角 A、 B、 C 满足 A+C=2B, 设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

A?C A?C 2 cos cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) x 2x ? ? 2 , 1 ? ? 2x2 ?1 4x ? 3 2
∵0°≤|
2

1 A?C A?C |<60°,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2
3 3 3 1 ,∴定义域为( , )∪( ,1]. 2 2 2 2
2 x2 4 x2 ? 3
2

又 4x -3≠0,∴x≠

(2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

14

=

2( x1 ? x 2 )( 4 x1 x 2 ? 3) ( 4 x1 ? 3)( 4 x 2
2 2

1 3 2 2 ,若 x1,x2∈( , ),则 4x1 -3<0,4x2 -3<0,4x1x2+3>0, 2 2 ? 3)

x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0
即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
2

3 2 ,1] ,则 4x1 -3>0. 2

4x2 -3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.

3 3 1 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2
即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( 故 f(x)的值域为(-∞,-
1 )∪[2,+∞ ) . 2

【例 4】在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若 b ? c ? 2a cos?60? ? C ? , 求角 A . 解:由正弦定理,将已知等式中的边转化为角.可得

sin B ? sin C ? 2 sin A ? cos?60? ? C ? .

因为 A ? B ? C ? π ,故有 sin ? A ? C ? ? sin C ? sin A cosC ? 3 sin A sin C , ∴ 又∵ ∴
? ?
cos A sin C ? sin C ? ? 3 sin A sin C .

sin C ? 0 ,
cos A ? 3 sin A ? 1 ,

即 sin? A ? ? ?

π? 6?

1 , 2

由 0 ? A ? ? ,可解得 A ?

2 π. 3

【例 5】在△ABC 中,已知 y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C . (1)若任意交换 A, B, C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (2)求 y 的最大值. 解: (1)∵ y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
? 2 ? cos? A ? B ?cos? A ? B ? ? cos2 C

? 2? ? 2?

1 ?cos2 A ? cos2B? ? cos2 C 2 1 2 cos2 A ? 1 ? 2 cos2 B ? 1 ? cos2 C 2

?

?

? 3 ? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,
15

∴ 任意交换 A, B, C 的位置, y 的值不会发生变化. (2)解法 1:将 y 看作是关于 cosC 的二次函数.
y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
1 1 ? ? ? ?? cosC ? cos? A ? B ?? ? cos2 ? A ? B ? ? 2 . 2 4 ? ?
2

所以, 当 cosC ? 取得最大值
9 . 4

1 且 cos cos? A ? B ? , 2

2

? A ? B? 取到最大值 1 时,也即 A ? B ? C ? π 时, y
3

解法 2:用调整的方法, 也即对于每个固定的 C 的值,去调整 A, B ,求出 y 取得最大 值时 A, B 所满足的条件. 对于 y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C ,如果固定 C ,则可将 y 看作是关于 cos? A ? B? 的一 次或常数函数.为了讨论其最大值,显然应该考虑 cosC 的符号,并由此展开讨论. 若 cosC ? 0 ,则 A ? B ?
π ,所以, cos? A ? B? ? 0 ,所以, 2

y ? A, B, C ? ? 2 ? cos C cos? A ? B ? ? cos2 C ? 2 ? cos2 C ? 2 ? cos2 ?π ? C ? ? 2 ? cos?π ? C ? ? cos2 ?π ? C ? ?C C ? ? 2 ? cos?π ? C ? cos? ? ? ? cos2 ?π ? C ? ?2 2? ?C C ? ? y? , , π ? C ? ?2 2 ?

所以,只需考虑 cosC ? 0 的情形.此时 y 是关于 cos? A ? B ? 的常数函数或单调递增的 一次函数,因此,最大值必可在 cos? A ? B ? ? 1 (即 A ? B ?
π ?C )时取得.所以, 2
2

1? 9 9 ? y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C ? 2 ? cosC ? cos2 C ? ?? cosC ? ? ? ? , 2? 4 4 ?

等号当且仅当 A ? B ? C ?

π 时取得. 3

六、专题练习 【平面向量练习】 一、选择题: 1、下列各式中正确的是 (1)(λ ?a) ?b=λ ?(a b)=a? (λ b), (2)|a?b|=|a|?|b|,
16

( C



(3)(a ?b)? c=a ? (b ?c), A. (1) (3) B. (2) (4)

(4)(a+b) ? c= a?c+b?c C. (1) (4) D.以上都不对. ( C D.无法确定 ( A D.120° ( D D.45° ( A ) ) ) )

2、在Δ ABC 中,若( CA + CB )?( CA - CB )=0,则Δ ABC 为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 3、若|a|=|b|=|a-b|,则 b 与 a+b 的夹角为 A.30° B.60° C.150° 4、已知|a|=1,|b|= 2 A.60°
2

,且(a-b)和 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为 B.30° C.135°

5、若 AB ? BC + AB = 0,则Δ ABC 为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为 60°, 则|a+b|等于 A.37 B.13
0

D.等腰直角三角形 ( C ) D. 13

C. 37

7、己知|a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为 60 ,c =3a+b, d =λ a-b ,若 c⊥d,则实数λ 的值为 ( C ) A.
4 7

B.

5 7

C.

7 4

D.

7 5

8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 ①(ab)c-(ca)b=0 ②|a| -|b|< |a-b| 2 2 ③(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 ④(3a+2b)(3a-2b)= 9|a| -4|b| 其中真命题是 ( D A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空题: 9、已知 e 是单位向量,求满足 a∥e 且 a?e=-18 的向量 a=__________.-18e 10、设 a=(m+1)i-3j, b=i+(m-1)j, (a+b) ⊥(a-b), 则 m=________.-2 11、|a|=5, |b|=3,|a-b|=7,则 a、b 的夹角为__________. 120° 12、 a 与 d=b- 三、解答题: 13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求:① a?b ;②(2a-b) ?(a+3b) 解:①|a+b| =(a+b) =a +2ab+b =|a| +2a?b+|b| ,
? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ? | a |2 ? | b |2 ?a ?b ? 2
2 2 2 2 2 2



a ? ( a ? b) 关系为________. a⊥b | a |2

= 21 ? 16 ? 25 ? ?10 . 2
2 2 2 2

②(2a-b) ? (a+3b)=2a +5a?b-3b =2|a| +5a?b-3|b| 2 2 =2?4 +5?(-10)-3?5 =-93.

14、四边形 ABCD 中, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d,且 a?b=b?c=c?d=d?a,判断四边 形 ABCD 是什么图形? 分析:在四边形 ABCD 中,a+b+c+d=0,这是一个隐含条件,对 a+b=-(c+d) ,两边平方后,
17

用 a?b=b?c=d?c 代入,从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解:∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d) , 2 2 2 2 2 2 ∴(a+b) =(c+d) ,即|a| +2a?b+|b| =|c| +2c?d+|d| , 2 2 2 2 ∵a?b=c?d,∴|a| +|b| =|c| +|d| ??① 2 2 2 2 同理:|a| +|d| =|b| +|c| ??② 2 2 2 2 ①,②两式相减得:|b| =|d| ,|a| =|c| ,即|b|=|d|,|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a?b=b?c,即 b? (a-c)=0,而 a=-c, ∵b? (2a)=0 ∴a⊥b, ∴四边形 ABCD 为矩形. 15、 已知: |a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 60°,问当且仅当 k 为何值时,向量 ka-b 与 a+2b 垂直? 解:? (ka ? b) ? (a ? 2b)
? (k a ? b) ? (a ? 2b) ? 0, 即k a2 ? (2k ? 1)ab ? 2b 2 ? 0,? k ? 5 2 ? (2k ? 1) ? 5 ? 4 ? cos 60 ? 2 ? 4 2 ? 0
?k ? 14 . 15

【平面向量的综合应用练习】 一、选择题 1.设 A、 B、 C、 D 四点坐标依次是(-1, 0), (0, 2), (4, 3), (3, 1), 则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 2.已知△ABC 中, AB =a, AC =b, a?b<0, S△ABC=

)

A.30° B.-150° 二、填空题 2 3.将二次函数 y=x 的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x-5 的图象只有一个 公共点(3,1),则向量 a=_________. 4.等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB, 它们所在的平面成 60°角, 若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________. 三、解答题 5.如图, 在△ABC 中, 设 AB =a,AC =b,AP =c, AD =λ a,(0<λ <1), AE =μ b(0<μ <1), 试用向量 a,b 表示 c.

15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( 4 C.150° D.30°或 150°

)

6.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系,并写出 A、B、A1、C1 的坐标;
18

(2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.

7.已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等 差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角,求 tanθ .

8.已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的?中点.? (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)用向量法证明:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有 OM ?

1 (OA ? OB ? OC ? OD) . 4

【参考答案】 一、选择题 1.解析: AB =(1,2) , DC =(1,2) ,∴ AB = DC ,∴ AB ∥ DC ,又线段 AB 与线段

DC 无公共点,∴AB∥DC 且|AB|=|DC|, ∴ABCD 是平行四边形, 又| AB |= 5 , AC =(5,
3) ,| AC |= 34 ,∴| AB |≠| AC },∴? ABCD 不是菱形,更不是正方形;又 BC =(4, 1) , ∴1?4+2?1=6≠0,∴ AB 不垂直于 BC ,∴ABCD 也不是矩形,故选 D. 答案:D

1 15 1 ? ?3?5sinα 得 sinα = ,则α =30°或α =150°. 2 4 2 又∵a?b<0,∴α =150°. 答案:C 二、填空题 3.(2,0) 4.13 cm 三、解答题
2.解析:∵ 5.解:∵ BP 与 BE 共线,∴ BP =m BE =m( AE - AB )=m(μ b-a),
19

∴ AP = AB + BP =a+m(μ b-a)=(1-m)a+mμ b 又 CP 与 CD 共线,∴ CP =n CD =n( AD - AC )=n(λ a-b), ∴ AP = AC + CP =b+n(λ a-b)=nλ a+(1-n)b 由①②,得(1-m)a+μ mb=λ na+(1-n)b.





?1 ? m ? ?a ??n ? m ? 1 ? 0 ∵a 与 b 不共线,∴ ? 即? ? ?m ? 1 ? n ?n ? ?m ? 1 ? 0
解方程组③得: m=



1? ? 1? ? 1 代入①式得 c=(1-m)a+mμ b= [λ (1-μ )a+ ,n ? 1 ? ?? 1 ? ?? 1 ? ??

μ (1-λ )b]. 6.解:(1)以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy 轴,以 AA1 所在直线为 Oz 轴,以 经过原点且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴,建立空间直角坐标系.

3 a a , , 2 a). 2 2 3 a (2)取 A1B1 的中点 M,于是有 M(0, , 2 a) ,连 AM,MC1,有 MC1 =(- a,0,0), 2 2
由已知,得 A(0,0,0) ,B(0,a,0),A1(0,0, 2 a),C1(- 且 AB =(0,a,0), AA1 =(0,0 2 a) 由于 MC1 ? AB =0, MC1 ? AA1 =0,所以 MC1⊥面 ABB1A1,∴AC1 与 AM 所成的角就是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. ∵ AC 1 = ( ?

3 a a a, , 2a ), AM ? (0, , 2a ), 2 2 2 2 a 9 ? AC1 ? AM ? 0 ? ? 2a 2 ? a 4 4
而 | AC1 |? 3 2 1 2 a ? a ? 2a 2 ? 3a, | AM |? 4 4 a2 3 ? 2a ? a 4 2

9 2 a 3 ? cos ? AC1 , AM ?? 4 ? 3 2 3a ? a 2
所以 AC1与 AM 所成的角,即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 7.解: (1)设 P(x,y) ,由 M(-1, 0) , N(1, 0) 得, , PN ? ? NP PM =- MP =(-1-x,-y) =(1 - x, - y), MN = - NM =(2,0), ∴ MP ? MN =2(1+x), PM ? PN =x +y - 1, NM ? NP =2(1-x).于是, MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 是公差小于零的等差数列, 等价于
20
2 2

1 ? 2 2 ?x 2 ? y ? 3 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x ) ? 2(1 ? x )] 即? 2 ? ?x ? 0 ? ?2(1 ? x ) ? 2(1 ? x ) ? 0
所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为(x0,y0)

PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2, | PM | ? | PN |? (1 ? x ) 2 ? y 0 ? (1 ? x0 ) 2 ? y 0 ? ( 4 ? 2 x0 )(4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ? cos? ? PM ? PN | PM | ?PN ? 1 4 ? x0
2 2

2

2

2

2

1 ? ? 0 ? x0 ? 3 ,? ? cos? ? 1,0 ? ? ? , 2 3
?sin? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? 1 4 ? x0
2

,? tan? ?

sin? 2 ? 3 ? x0 ?| y 0 | cos?

1 8.证明: (1) 连结 BG, 则 EG ? EB ? BG ? EB ? ( BC ? BD ) ? EB ? BF ? EH ? EF ? EH 2 1 由共面向量定理的推论知:E、F、G、H 四点共面,(其中 BD = EH ) 2 1 1 1 1 (2)因为 EH ? AH ? AE ? AD ? AB ? ( AD ? AB ) ? BD . 2 2 2 2 所以 EH∥BD,又 EH ? 面 EFGH,BD ? 面 EFGH 所以 BD∥平面 EFGH. (3)连 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG 1 1 BD ,同理 FG ? BD ,所以 EH ? FG ,EH 2 2 一点 M 且被 M 平分,所以
由(2)知 EH ? FG,所以 EG、FH 交于

1 1 1 1 1 1 1 OM ? (OE ? OG) ? OE ? OG ? [ (OA ? OB)] ? [ (OC ? OD)] 2 2 2 2 2 2 2 . 1 ? (OA ? OB ? OC ? OD). 4 【解斜三角形练习】 一、选择题 1.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 2 2 2 为直角三角形; (3)若 sin A+sin B+sin C<2, 则△ABC 为钝角三角形; (4)若 cos(A-B)cos(B -C)cos(C-A)=1, 则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 A C A C 2.在△ABC 中, 已知 A、 B、 C 成等差数列, 则 tan ? tan ? 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2

21

3. 在 △ ABC 中 , A 为 最 小 角 , C 为 最 大 角 , 已 知 cos(2A+C)= -

4 4 , sinB= , 则 3 5

cos2(B+C)=__________. 三、解答题 4.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积.

5.如右图, 在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯, 桌子边缘一点处的照度和灯光射到 桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比, 角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比, sin ? 即 I=k? 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择 r 电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

7.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a、b、3c 成等比数列,又∠A -∠C=

? ,试求∠A、∠B、∠C 的值. 2

8.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正 好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值.

【参考答案】 一、选择题 1.解析:其中(3)(4)正确.答案: B 二、填空题
22

2.解析:∵A+B+C=π ,A+C=2B,

?A?C ?

2? A?C A C A C , tan( ) ? 3, tan ? tan ? 3 (1 ? tan tan ) 3 2 2 2 2 2 A C A C 故 tan ? tan ? 3 tan tan ? 3. 2 2 2 2

答案: 3 3.解析:∵A 为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°.

4 3 ,∴sin(2A+C)= . 5 5 4 3 ∵C 为最大角,∴B 为锐角,又 sinB= .故 cosB= . 5 5 4 3 即 sin(A+C)= ,cos(A+C)=- . 5 5 24 ∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- , 25 527 2 ∴cos2(B+C)=2cos (B+C)-1= . 625 527 答案: 625 三、解答题 4.解:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积:
∵cos(2A+C)=-

1 1 ?AB?ADsinA+ ?BC?CD?sinC 2 2 ∵A+C=180°,∴sinA=sinC 1 1 故 S= (AB?AD+BC?CD)sinA= (2?4+6?4)sinA=16sinA 2 2 2 2 2 由余弦定理,在△ABD 中,BD =AB +AD -2AB?AD?cosA=20-16cosA 2 2 2 在△CDB 中,BD =CB +CD -2CB?CD?cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, 1 ∴64cosA=-32,cosA=- ,又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 . 2 1 cos ? ? 5.解:R=rcosθ ,由此得: ? ,0 ? ? ? , r R 2
S=S△ABD+S△CDB=

23

sin ? sin ? ? cos 2 ? k ? k ? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ?) 2 2 r R R k k 2 2 I 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ?)(1 ? sin 2 ?) ? ( 2 ) 2 ? ( ) 3 3 R R I ?k? 由此得I ? k 2 3 2 ? 3 , 等号在sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R 2 3 2 R 9 B?C 7 6.解 : (1)由4 sin 2 ? cos 2 A ? 及A ? B ? C ? 180?, 得 : 2 2 7 2[1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 2 A ? 1 ? ,4(1 ? cos A) ? 4 cos 2 A ? 5 2 1 即4 cos 2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0,? cos A ? , 2 ? 0? ? A ? 180?,? A ? 60?
( 2)由余弦定理得 : cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc 2 2 2 1 b ?c ?a 1 ? cos A ? ? ? ? (b ? c ) 2 ? a 2 ? 3bc. 2 2bc 2 ?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 将a ? 3 , b ? c ? 3代入上式得 : bc ? 2 由? 得: ? 或? . ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1 2 7.解:由 a、b、3c 成等比数列,得:b =3ac 1 2 ∴sin B=3sinC?sinA=3(- )[cos(A+C)-cos(A-C)] 2 3 ? 2 ∵B=π -(A+C).∴sin (A+C)=- [cos(A+C)-cos ] 2 2 3 1 2 即 1-cos (A+C)=- cos(A+C),解得 cos(A+C)=- . 2 2 2 ? 7 ? ? ∵0<A+C<π ,∴A+C= π .又 A-C= ∴A= π ,B= ,C= . 3 2 12 3 12 8.解:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于折线 DE 对称, 又设∠BAP=θ ,∴∠DPA=θ ,∠BDP=2θ ,再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ ,? a sin? BP AB 由正弦定理知: .∴BP= ? sin(120? ? ? ) sin BAP sin APB DP BP x ? sin? a sin? x sin 2? 在△PBD 中, , ? , 所以BP ? , 从而 ? sin DBP sin BDP sin 60? sin(120? ? ? ) sin 60?
?x ? a sin? ? sin 60? 3a ? . sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(60? ? 2? ) ? 3

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°,∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值

3a 2? 3

? ( 2 3 ? 3) a,即 AD 最小,

∴AD∶DB=2 3 -3。

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