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黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试数学(文)题目

黑龙江省大庆实验中学 2016 届高三上学期期末考试数学(文)题目
大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期末

高三年级数学试题(文)

说明:1.本卷满分 150 分,考试时间为 2 小时。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

1.设全集

,集合

,集合

,则

=( )

A.

B.

C.

D.

2.在复平面内,复数 5 ? 4i,?1? 2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数的模是( )

A.13

B. 13

C. 2 13

D. 2 10

3.命题:“若 a2 ? b2 ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( )

A.若 a ? b ? 0(a,b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0

B.若 a ? b ? 0(a,b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0

C. 若 a ? 0,且b ? 0(a,b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0 D.若 a ? 0,或b ? 0(a,b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0

4. 已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ? 2n?n ?1? ,则 a5 的值为( )

A.80

B.40

C.20

D.10

5.已知三条不重合的直线 m, n,l 和两个不重合的平面?, ? ,下列命题正确的是( )

A.若 m / /n , n ? ? ,则 m / /? B.若? ? ? ,? ? ? m ,且 n ? m ,则 n ? ?

C.若 l ? n , m ? n ,则 l / /m D.若 l ? ? , m ? ? ,且 l ? m ,则? ? ?

6.在右侧的程序框图中,若 f0 (x) ? xex ,则输出的是( )

A. 2014ex ? xex

B. 2012ex ? xex

C. 2013ex ? xex

D. 2013ex ? x

7. 在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ,若 a2 ? b2 ? 3bc, sin C ? 2 3 sin B ,

则角 A 为(
A.30°

) B.60°

C.120°

D.150°

8. 从圆 x2 ? 2x ? y2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P?3,2? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )

A. 1

B. 3

C. 3

D.0

2

5

2

9.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )

A. 2 2

B. 5 2

C. 6 2

D. 3

10. 函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如右图所示,若将 2
y ? f (x) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位后,得到的图象关于原点对称,则 m 的最
小值为( )
1/8

y
1

O

π

6

x
11π 12

A. ? 24

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B. ? 12

C. ? 6

D. ? 3

11.在等腰梯形 ABCD 中,AB / /CD,且 AB ? 2, AD ?1, CD ? 2x ,其中 x ? (0,1) ,以 A, B 为焦点且过点 D 的

双曲线的离心率为 e1

,以 C,

D

为焦点且过点

A

的椭圆的离心率为 e2

,若对任意

x ? (0,1)

都有不等式 t

?

(e1

? e2 )2 8

恒成立,则 t 的最大值为( )

A. 7

B. 3

C. 5

D. 5

4

8

8

4

12.设函数

f

(x)

?

??1 ( ? 2 ? x ? 0), ??x ?1 (0 ? x ? 2),

g(x)

?

f

(x) ?

1 2

x

, x ?[?2, 2] ,



g (log 2

a)

?

g(log 1
2

a)

?

2g(1) 2

,则实数

a

的取值范围是(



A. (0, 1 ] 2

B.[1, 2]

C.[1 , 2] 2

D.[ 2 , 2] 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.设 f (x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?

.

14.若 sin? ? cos? ? 3 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 tan(? ? 2?) ?

.

sin? ? cos?

15. A, B,C, D 是 同 一 球 面 上 的 四 个 点 , ?ABC中,?BAC ? ? , AB ? AC , AD ⊥ 平 面 ABC , AD ? 6 , 2

AB ? 2 3 ,则该球的表面积为

.

? ? 16.已知函数

f

?x? ?

1 ,点 O 为坐标原点, x ?1



An

n, f ?n?

(n ?N * ) ,向量 i ? ?0,1? ,?n 是向量 OAn 与 i 的夹

角,则 cos?1 ? cos?2 ? ? cos?2016 的值为



sin?1 sin?2

sin ?2016

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。

17. (本小题满分 12 分) 设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ? n 2 ,数列?bn? 为等比数列,

且 a1 ? 2b1,

b1b2

?

1 8



(1)求数列?an? 和?bn? 的通项公式;

? ? (2)设 cn

?

an bn

,求数列

cn

的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分) 2015 年 8 月 12 日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失.某港口组织消

防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优,二级为良,三级为

中等,四级为差),该港口消防安全等级的统计结果如下表所示:

等级

一级

二级

三级

四级

频率

0.30

2m

m

0.10

现从该港口随机抽取了 n 家公司,其中消防安全等级为三级的恰有 20 家.

(1)求 m, n 的值;

(2)按消防安全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10 家,除去消防安全等级为一级和四级的公司后,

再从剩余公司中任意抽取 2 家,求抽取的这 2 家公司的消防安全等级都是二级的概率.

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S

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC中, SA ? 底面 ABC , ?ABC ? 90? ,且 SA ? AB ,点 M 是 SB 的中点,AN ? SC 且交 SC 于点 N . (1)求证: SC ? 平面 AMN; (2)当 AB ? BC ?1时,求三棱锥 M ? SAN 的体积.

N M
A

B

C

20. (本小题满分 12 分)

如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

6 ,直线l 3

与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点.当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的

右焦点时, 弦 AB 的长为 2 6 .

3

(1)求椭圆 C 的方程;

y

(2)若点 E 的坐标为 ( 3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原 2

点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积;

(3)是否存在点 E ,使得

1 EA2

?

1 EB2

为定值?若存在,请指出点

E

的坐标,并

求出该定值;若不存在,请说明理由.

A

F1

O E F2

x

P B

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)? x3 ? 5 x2 ? ax ? b ( a, b 为常数),其图象是曲线 C . 2
(1)当 a ? ?2 时,求函数 f (x) 的单调减区间;
(2)设函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f (x0 ) ? x0 与 f ?(x0 ) ? 0 同时成立,求实数 b 的
取值范围;
(3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处作曲线 C 的切 线 l2 ,设切线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ?k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存
在,请说明理由.

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲
如图, PA 是 O 的切线, PE 过圆心 O , AC 为 O 的直径, PC 与 O 相交于 B 、C 两点,连结 AB 、CD .
(1) 求证: ?PAD ? ?CDE ; (2) 求证: PA2 ? BD .
PC ? PE AD
C

B

E

O D

P

A

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程

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?? ?

x

?

1

?

t

( t 为参数),

?? y ? 2 ? 3t

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

(2)设曲线

C

经过伸缩变换

? ?

x?

?

?? y?

? ?

x 1 2

y

后得到曲线 C?

,设

M

(x,

y)



C?

上任意一点,

求 x2 ? 3xy ? 2 y2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| x ? a | ? | x ? 3 |, a ? R . (1)当 a ? ?1时,解不等式 f (x) ? 1; (2)若 x ?[0,3] 时, f (x) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

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大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期期末
高三年级数学试题(文)参考答案

一、1—12

DBDCD CABBB CD

二、13. e
三、

14. 4 15. 60?
3

16. 2016 2017

17.(1) n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1,当 n ?1 时 a1 ? S1 ? 1综上 an ? 2n ?1

b1

?

1 2

, b1b2

?

1 8

?b2

?

1 4

?q

?

1 2

?bn

?

1 2n

(2) cn ? ?2n ?1? 2n

?Tn ?1? 2 ? 3??2?2 ? ? ?2n ?1??2?n ?2Tn ?1??2?2 ? 3??2?3 ? ? ?2n ?1?? ?2 n?1
两式相减得

Tn ? (2n ? 3)x2n?1 ? 6
18.(1)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得:m=0.20.

所以 n ? 20 ? 100 . m

——————4 分

(2)由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取 10 家公司,则消防安全等级为一级的有 3 家,二级的有 4 家,三

级的有 2 家,四级的有 1 家.

记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为 A,B,C,D,三级的 2 家公司分别记为 a,b,则从中抽取 2 家公司,不同的结

果为…共 15 种,记“抽取的 2 家公司的消防安全等级都是二级”为事件 M,则事件 M 包含的结果有:…共 6 种,所

以 P(M ) ? 6 ? 2 . 15 5

——————12 分

19. (1)证明: SA ?底面 ABC ,?BC ? SA,又易知 BC ? AB ,

?BC ?平面 SAB ,?BC ? AM ,

又 SA ? AB , M 是 SB 的中点,? AM ? SB ,

? AM ?平面 SBC ,? AM ? SC ,

又已知 AN ? SC ,

?SC ? 平面 AMN ;

———————6 分

(2) SC ? 平面 AMN ,?SN ? 平面 AMN ,

而 SA ? AB ? BC ?1,? AC ? 2 , SC ? 3 ,

又 AN ? SC ,? AN ? 6 , 3
又 AM ?平面 SBC ,?AM ? AN ,

而 AM ? 2 ,? MN ? 6 ,

2

6

? S?AMB

?

1? 2

2? 2

6 ? 3, 6 12

?VS ?AMN

?

1 3

S?AMN

? SN

?

1, 36

?V M ?SAN? VS ? AMN

?

1. 36

————————12 分

20. (1)由 c ? 6 ,设 a ? 3k(k ? 0) ,则 c ? 6k , b2 ? 3k2 , a3

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所以椭圆 C

的方程为 x2 9k 2

?

y2 3k 2

? 1,因直线 l 垂直于 x

轴且点 E 为椭圆 C

的右焦点,即 xA

?

xB

?

6k ,代入椭

圆方程,解得 y ? ?k ,于是 2k ? 2 6 ,即 k ? 6 ,

3

3

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 62

————————3 分

(2)将 x ? 3 代入 x2 ? y2 ? 1,解得 y ? ?1,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , 62

由点 E 的坐标为 (

3 2

,

0)

,所以

k

AB

?

2 ,直线 AB 的方程为 y ? 3

2 (x? 3

3), 2

联立直线 AB 与椭圆 C 的方程,解得 B(? 3 , ? 7) , 55
又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3y ? 0 ,

? 3?7 3

5 所以点 B 到直线 PA 的距离 h ?

5 ?3 3,

2

5



S?PAB

?

1 2

?4?

33 5

?

63 5

.

——————8 分

(3)假设存在点 E

,使得

1 EA2

?

1 EB2

为定值,设 E(x0 , 0) ,

当直线

AB



x

轴重合时,有

1 EA2

?

1 EB2

?

1 (x0 ?

6)2

? (

1 6 ? x0 )2

?

12 ? 2x02 (6 ? x02 )2



当直线

AB 与 x 轴垂直时,

1 EA2

?

1 EB2

?

2 2(1? x02 )

?

6 6 ? x02



6

由 12 ? 2x02 (6 ? x02 )2

?

6 6 ? x02

,解得 x0

??

3

,6 6 ? x02

?

2,

所以若存在点 E ,此时 E(?

3, 0) ,

1 EA2

?

1 EB2

为定值

2.

根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E( 3, 0) ,设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组,

化简得 (m2 ? 3) y2 ? 2

3my

?

3

?

0

,所以

y1

?

y2

?

?2 m2

3m ?3



y1 y2

?

?3 m2 ?

3





1 EA2

?

(x1 ?

1 3)2

?

y12

?

1 m2 y12 ?

y12

?

(m2

1 ?1) y12



所以 1 ? 1 ?

1

?

1

? ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1y2 ,

EA2 EB2 (m2 ?1) y12 (m2 ?1) y22 (m2 ?1) y12 y22

将上述关系代入,化简可得

1 EA2

?

1 EB2

?

2.

综上所述,存在点 E(? 3, 0) ,使得 1 ? 1 为定值. ————————12 分 EA2 EB2

21. (1)当 a ? ?2 时, f ?(x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ?1)(x ? 2) .令 f ' (x) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,
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f (x) 的单调减区间为 (?2 , 1) .
3

——————2 分

(Ⅱ)

f ?(x) ? 3x2

? 5x ? a

,由题意知

??3x02 ? 5x0 ? a ? 0

? ??

x03

?

5 2

x02

?

ax0

?

b

?

x0

消去

a

,得

2x03

?

5 2

x02

? x0

?b ? 0

有唯一解.令

g(x) ? 2x3 ? 5 x2 ? x ,则 g?(x) ? 6x2 ? 5x ? 1? (2x ? 1)(3x ? 1),以 g(x) 在区间 (??, ?1 ) , (? 1 , ??) 上是增函数,在

2

2

3

(? 1 , ? 1) 上 是 减 函 数 , 又 g(? 1) ? ? 1 , g(? 1) ? ? 7 , 故 实 数 b 的 取 值 范 围 是

23

28

3 54

(??, ? 7 ) (? 1 , ??) . 54 8

————————6 分

(Ⅲ) 设 A(x0 , f (x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f (x0 ) ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ,

与曲线 C



y

?

f

(x)

联立方程组,得

f

(x) ?

f

(x0 ) ?

f

?(x0 )(x ?

x0 ) ,即 (x ?

x0 )2[x ? (2x0

?

5)] ? 0 ,所以 B 2

点的横坐标

xB

?

?(2x0

?

5) 2

.由题意知,

k1

?

f ' (x0 ) ? 3x02

? 5x0

? a , k1

?

f ' (?2x0

?

5 2

)

?

12x02

? 20x0

? 25 ? a ,若存在 4

常数 ?



使



k2 ? ?k1





12x02

?

20x0

?

25 4

?

a

?

?

(3x02 ? 5x0 ? a)

,即常数 ?

使得

?4 ? ? ? 0

(3x02

?

5x0 )(4

?

?)

?

(?

? 1)a

?

25 4

,所以

? ???(?

? 1)a

?

25 4

?

,解得
0

?

?

4, a

?

25 12

.故当

a

?

25 12

时,存在常数

?

?

4 ,使得 k2

?

?k1 ;当 a

?

25 12

时,不存在常数 ?

使得 k2

?

?k1 .

————————12 分

22. (1) 由 PA 是圆 O 的切线,因此弦切角 ?PAD 的大小等于夹弧所对的圆周角 ?ACD ,在等腰 ?OCD 中,

OD ? OC,可得 ?ACD ? ?CDE ,所以 ?PAD ? ?CDE .

——————5 分

(2) 由 ?PBD 与 ?PEC 相似可知,PB ? BD ,由切割线定理可知,PA2 ? PB ? PC ,则 PB ? PA2 ,又 EC ?AD ,

PE CE

PC

可得 PA2 ? BD . PC ? PE AD

———————— 10 分

23. (1) ? ? 2 ,故圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 4

直线

L

的参数方程为

?? ?

x

?

1

?

t

,?直线 L 方程为 3x ? y ? 3 ? 2 ? 0 .———————5 分

?? y ? 2 ? 3t

?x'

(2)由

? ? ??

y'

? ?

x 1 2

y



x2

?

y2

?

4

得C'



x2 4

?

y2

?1.

设点

M



?x

? ?

y

? ?

2 cos? sin?



x2

?

3xy ? 2y2 ? 3 ? 2cos(2? ? ? ) 3

所以当

M

????1,

3 2

????



M

????

?1,?

3 2

????

时,原式的最小值为1

.

———————— 10 分

24. (1)当 a=-1 时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1. 当 x≤-3 时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当-3<x<-1 时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得 ? 5 ? x ? ?1;
2 当 x≥-1 时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立.
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综上,不等式的解集为[? 5 , ??) . 2

———————— 5 分

(2)当 x∈[0,3]时,f (x)≤4 即|x-a|≤x+7,

由此得 a≥-7 且 a≤2x+7.

当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7,

所以 a 的取值范围是[-7,7].

———————— 10 分

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