当前位置:首页 >> 数学 >>

不等式知识点归纳

3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质
①(对称性) a ? b ? b ? a

第三章 不等式

②(传递性) a ? b,b ? c ? a ? c

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c
(同向可加性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性)a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b cd

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N,且n ? 1)

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b(n ? N ,且n ? 1)

⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 1 ? 1 ; a ? b ? 0 ? 1 ? 1

ab

ab

2、几个重要不等式

① a2 ? b2 ? 2ab ?a,b? R?,(当且仅当 a ? b 时取" ? " 号). 变形公式:ab ? a2 ? b2 .
2

? ? ②(基本不等式) a ? b ? ab a,b ? R? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号). 2

变形公式:

a ? b? 2

ab

ab

?

? ??

a

? 2

b

2
? ??

.











西







(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 )
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式) a ? b ? c ? 3 abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
a ? b ? c 时取到等号).
④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ?a,b? R?
(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0,b ? 0, c ? 0)
(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑥ 若ab ? 0,则 b ? a ? 2 (当仅当 a=b 时取等号)
ab

若ab? 0,则 b ? a? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) ab

⑦b ? b?m ?1? a?n ? a

a a?m

b?n b

其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)

规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小.

⑧当a ? 0时,x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式

①平均不等式:

a?1

2 ? b?1

?

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 2

? ? a,b ? R? ,(当且仅当 a ? b 时取" ? "号).

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:

ab

?

? ??

a

? 2

b

?2 ??

?

a2

? b2 2

;

a2 ? b2 ? (a ? b)2 . 2

②幂平均不等式:

a12

?

a22

? ... ?

an2

?

1 n

(a1

?

a2

? ... ?

an )2.

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

(x1, y1, x2 , y2 ? R).

④二维形式的柯西不等式: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a,b, c, d ? R). 当且仅当
ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .

⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:
设?, ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使? ? k ?
时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理):设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1, c2 ,..., cn 是

b1, b2 ,..., bn 的任一排列,则 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn

? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn. (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)

当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)

若定义在某区间上的函数 f (x) ,对于定义域中任意两点 x1, x2 (x1 ? x2 ), 有

f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) 或 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) .

2

2

2

2

则称 f(x)为凸(或凹)函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;

其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法:

①舍去或加上一些项,如 (a ? 1)2 ? 3 ? (a ? 1)2;

24

2

②将分子或分母放大(缩小),如

1 k2

?

1 k(k ?1)

,

1 k2

?

1, k(k ?1)

( 2 ? 2 ?) 1 ?

2

,

2 k k ? k k k ? k ?1

1?

2

(k ? N *, k ? 1) 等.

k k ? k ?1

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根.

四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f (x) ? 0 ? f (x)? g(x) ? 0 g(x)

f (x) g(x)

?

0

?

? f (x) ?? g ( x)

? g(x) ?0

?

0

(“? 或 ?”时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

? f (x) ? 0



f

(x)

?

a(a

?

0)

?

? ?

f

(x)

?

a2

? f (x) ? 0



f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g

(x)

?? f (x)

? ?

0 [ g ( x)]2



? ? ?

f (x) g(x)

? ?

0 0

? f (x) ? 0



f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g

(x)

?

0

?? f (x) ? [g(x)]2

? f (x) ? 0



f (x) ?

g(x)

?

? ?

g(

x)

?

0

?? f (x) ? g(x)

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:

⑴当 a ?1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)

⑵当 0 ? a ? 1时, a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x)
规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f (x) ? 0 ⑴当 a ?1时, loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)

? f (x) ? 0 ⑵当 0 ? a ? 1时, loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .
?? f (x) ? g(x)
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:

⑴定义法: a

?a ? ???a

(a ? 0) .
(a ? 0)

⑵平方法: f (x) ? g(x) ? f 2(x) ? g2(x).

⑶同解变形法,其同解定理有:

① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0);

② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);

③ f (x) ? g(x) ? ?g(x) ? f (x) ? g(x) (g(x) ? 0)

④ f (x) ? g(x) ? f (x) ? g(x) 或f (x) ? ?g(x) (g(x) ? 0)
规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法
解形如 ax2 ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标
准有:
⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小;
⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当

a

?

0



?

?a ?? ?

? ?

0 0.

⑵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当

a

?

0



?

?a ?? ?

? ?

0 0.

⑶ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;

f (x) ? a 恒成立 ? f (x)max ? a;

⑷ f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a;

f (x) ? a 恒成立 ? f (x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
法一:取点定域法:
由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的

符号相同.所以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 (x0 , y0 ) (如原点),
由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区
域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.
法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号,

Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域.即:同
号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域:
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值:
法一:角点法:
如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,
则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组 对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值
法二:画——移——定——求:
第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直
线 l0 (据可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 (x, y) ;第四步,
将最优解 (x, y) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法:
利用 z 的几何意义: y ? ? A x ? z , z 为直线的纵截距. B BB
①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最大 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值;
②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最小 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型:

①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ? y 或 z ? y ? b ;

x

x?a

③“距离”型: z ? x2 ? y2 或 z ? x2 ? y2 ;

z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问 题简单化.

基础练习

一 选择题 1.设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( )

A.M>N

B.M=N

C.M<N

D.与 x 有关

[答案] A

[解析] M-N=x2+x+1=(x+12)2+34>0,

∴M>N.

2.(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是

() A.1a>1b

B.2a>2b

C.|a|>|b|

D.(12)a>(12)b

[答案] B

[解析] ∵a<b,y=2x 单调递增,∴2a<2b,

故选 B.

3.已知 a<0,-1<b<0,则下列各式正确的是( )

A.a>ab>ab2

B.ab>a>ab2

C.ab2>ab>a

D.ab>ab2>a

[答案] D

[解析] ∵-1<b<0,∴1>b2>0>b>-1,

即 b<b2<1,两边同乘以 a 得, ∴ab>ab2>a.故选 D.

4.如果 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不.一.定.成立的是( )

A.ab>ac

B.bc>ac

C.cb2<ab2

D.ac(a-c)<0

[答案] C

[解析] ∵c<b<a,且 ac<0,∴a>0,c<0.

∴ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,∴A、B、D 均正确.

∵b 可能等于 0,也可能不等于 0.

∴cb2<ab2 不一定成立.

5.设 a=lge,b=(lge)2,c=lg e,则( )

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a

[答案] B

[解析] ∵0<lge<1,∴b=(lge)2=a2<a,c=lg e=12lge=12a<a.又∵b=(lge)2<lg 10·lge

=12lge=c,∴b<c<a.

6.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( )

A.lg(x2+1)≥lg2x

B.x2+1>2x

C.x2+1 1≤1

D.x+1x≥2

[答案] C

[解析] A 中 x>0;B 中 x=1 时,x2+1=2x;C 中任意 x,x2+1≥1,故x2+1 1≤1;D

中当 x<0 时,x+1x≤0.

7.若 x>1>y,下列不等式不成立的是( )

A.x-1>1-y

B.x-1>y-1

C.x-y>1-y

D.1-x>y-x

[答案] A

[解析] 特殊值法.令 x=2,y=-1,则 x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故 A 不正确. 8.设 a=100.1, b=0.110,c=lg0.1,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.a<b<c

B.a>b>c

C.b>a>c

D.c>a>b

[答案] B

[解析] ∵100.1>100,∴100.1>1. 又∵0.110<0.10,∴0<0.110<1.

∵lg0.1<lg1,∴lg0.1<0.

∴a>1,0<b<1,c<0,∴a>b>c,选 B.

9.设 a+b<0,且 a>0,则( ) A.a2<-ab<b2 C.a2<b2<-ab

B.b2<-ab<a2 D.ab<b2<a2

[答案] A

[解析] ∵a+b<0,且 a>0,∴0<a<-b,

∴a2<-ab<b2.

10.已知 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( )

A.a2>a>-a2>-a

B.-a>a2>-a2>a

C.-a>a2>a>-a2

D.a2>-a>a>-a2

[答案] B

[解析] ∵a2+a<0,∴0<a2<-a,∴0>-a2>a,

∴a<-a2<a2<-a,故选 B.

[点评] 可取特值检验,∵a2+a<0,即 a(a+1)<0,令 a=-12,则 a2=14,-a2=-14,

-a=12,∴12>14>-14>-12,即-a>a2>-a2>a,排除 A、C、D,选 B.

11.设 a,b∈R,则(a-b)·a2<0 是 a<b 的( )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 由(a-b)·a2<0 得 a≠0 且 a<b;反之,由 a<b,不能推出(a-b)·a2<0.即(a-b)·a2<0

是 a<b 的充分非必要条件.

12.如果 a>0,且 a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),那么( )

A.M>N

B.M<N

C.M=N

D.M、N 的大小无法确定

[答案] A

[解析] M-N=loga(a3+1)-loga(a2+1)=logaaa23++11,若 a>1,则 a3>a2,∴aa32+ +11>1,∴

logaaa32+ +11>0,∴M>N,若 0<a<1,则 0<a3<a2,∴0<a3+1<a2+1,∴0<aa32+ +11<1,∴logaaa32+ +11>0,

∴M>N,故选 A.

13.(2014·江西文,2)设全集为 R,集合 A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则 A∩(綂

RB)=( ) A.(-3,0)

B.(-3,-1)

C.(-3,-1]

D.(-3,3)

[答案] C

[解析] 本题主要考查集合的运算,∵A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},而綂 RB={x|x≤ -1 或 x>5},

∴A∩綂 RB={x|-3<x≤-1},选 C. 14.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( )

A.{x|x≠-13}

B.{x|-13≤x≤13}

C.?

D.{-13}

[答案] D

[解析] 变形为(3x+1)2≤0.∴x=-13.

15.不等式 3x2-x+2<0 的解集为( )

A.?

B.R

C.{x|-13<x<12}

D.{x∈R|x≠16}

[答案] A

[解析] ∵△=-23<0,开口向上,

∴3x2-x+2<0 的解集为?.

16.函数 y= x2+x-12的定义域是( )

A.{x|x<-4,或 x>3}

B.{x|-4<x<3}

C.{x|x≤-4,或 x≥3}

D.{x|-4≤x≤3}

[答案] C

[解析] 使 y= x2+x-12有意义,则 x2+x-12≥0.

∴(x+4)(x-3)≥0,∴x≤-4,或 x≥3. 17.(2012·陕西文,1)集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=( )

A.(1,2)

B.[1,2)

C.(1,2]

D.[1,2]

[答案] C

[解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算.M={x|x>1},

N={x|-2≤x≤2},所以 M∩N={x|1<x≤2}=(1,2]. 18.(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式 x2+2x-3≥0 的解集为( )

A.{x|x≤-1 或 x≥3}

B.{x|-1≤x≤3}

C.{x|x≤-3 或 x≥1}

D.{x|-3≤x≤1}

[答案] C

[解析] 由 x2+2x-3≥0,得(x+3)(x-1)≥0,

∴x≤-3 或 x≥1,故选 C.

19.(北京学业水平测试)不等式(x-1)(2x-1)<0 的解集是( )

A.{x|1<x<2}

B.{x|x<1 或 x>2}

C.{x|x<12或 x>1}

D.{x|12<x<1}

[答案] D

[解析] 方程(x-1)(2x-1)=0 的两根为 x1=1,x2=12,所以(x-1)(2x-1)<0 的解集为{x|12

<x<1},选 D.

20.设集合 M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3<0},则 M∩N 等于( )

A.{x|0≤x<1}

B.{x|0≤x≤2}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0≤x≤2}

[答案] D

[解析] ∵N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},M={x|0≤x≤2},

∴M∩N={x|0≤x≤2},故选 D.

21.若{x|2<x<3}为 x2+ax+b<0 的解集,则 bx2+ax+1>0 的解集为( )

A.{x|x<2 或 x>3}

B.{x|2<x<3}

C.{x|13<x<12}

D.{x|x<13或

1 x>2}

[答案] D

[解析] 由 x2+ax+b<0 的解集为{x|2<x<3},知方程 x2+ax+b=0 的根分别为 x1=2, x2=3.
由韦达定理,得 x1+x2=-a,x1·x2=b, 即 a=-5,b=6.

所以不等式 bx2+ax+1>0,即 6x2-5x+1>0,解集为{x|x<13,或 x>12},故选 D.

22.不等式?x-2x+?2?1x-3?<0 的解集为(

)

A.{x|-1<x<2 或 2<x<3} C.{x|2<x<3}

B.{x|1<x<3} D.{x|-1<x<3}

[答案] A

[解析]

???x-3??x+1?<0, 原不等式等价于?x+1≠0,
???x-2?2≠0,

解得-1<x<3,且 x≠2,故选 A.

23.若 0<t<1,则不等式 x2-(t+1t )x+1<0 的解集是(

)

A.{x|1t <x<t}

B.{x|x>1t 或 x<t}

C.{x|x<1t 或 x>t}

D.{x|t<x<1t }

[答案] D [解析] 化为(x-t)(x-1t )<0,

∵0<t<1,∴1t >1>t,∴t<x<1t .

24.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( )

A.-4≤a≤4

B.-4<a<4

C.a≤-4 或 a≥4

D.a<-4 或 a>4

[答案] A

[解析] 欲使不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则△=a2-16≤0,∴-4≤a≤4.

25.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是( )

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(0,2)

D.(2,0)

[答案] D

[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知,只有(2,0)点不满足 3x+2y<6.

??y<x 26.不等式组?x+y≤1 ,表示的区域为 D,点 P1(0,-2),点 P2(0,0),则( )
??y≥3

A.P1?D,P2?D C.P1∈D,P2?D [答案] A

B.P1?D,P2∈D D.P1∈D,P2∈D

[解析] P1 点不满足 y≥3.P2 点不满足 y<x.和 y≥3 ∴选 A.

27.已知点 P(x0,y0)和点 A(1,2)在直线 l:3x+2y-8=0 的异侧,则( )

A.3x0+2y0>0

B.3x0+2y0<0

C.3x0+2y0<8

D.3x0+2y0>8

[答案] D

[解析] ∵3×1+2×1-8=-3<0,P 与 A 在直线 l 异侧,∴3x0+2y0-8>0. 28.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )

A.?????xx+ -y2-y+1≥ 2≥00 C.?????xx-+2y-y+12≥≤00

B.?????xx-+2y-y+12≤≤00 D.?????xx+ -y2-y+1≤ 2≥00

[答案] A [解析] 取原点 O(0,0)检验满足 x+y-1≤0,故异侧点应为 x+y-1≥0,排除 B、D. O 点满足 x-2y+2≥0,排除 C. ∴选 A. 29.不等式 x2-y2≥0 表示的平面区域是( )

[答案] B

[解析] 将(±1,0)代入均满足知选 B.

30.不等式组??????0x≤-xy≤+35??x+y?≥0 表示的平面区域是一个(

)

A.三角形

B.直角梯形

C.梯形

D.矩形

[答案] C

[解析] 画出直线 x-y+5=0 及 x+y=0,

取点(0,1)代入(x-y+5)(x+y)=4>0,知点(0,1)在不等式(x-y+5)(x+y)≥0 表示的对顶

角形区域内,再画出直线 x=0 和 x=3,则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,它

是一个梯形.

31.目标函数 z=2x-y,将其看成直线方程时,z 的意义是( ) A.该直线的截距

B.该直线的纵截距

C.该直线的纵截距的相反数

D.该直线的横截距

[答案] C

[解析] z=2x-y 可变化形为 y=2x-z,所以 z 的意义是该直线在 y 轴上截距的相反数,

故选 C.

32.若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x-y 的最大值为( )

A.-1

B.1

C.2

D.-2

[答案] B

[解析] 可行域为图中△AOB,当直线 y=x-z 经过点 B 时,-z 最小从而 z 最大∴zmax =1.

??x-y+5≥0

33.已知 x、y 满足约束条件?x+y≥0

,则 z=2x+4y 的最小值为( )

??x≤3

A.5 C.10

B.-6 D.-10

[答案] B

[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域,当直线 y=-2x+4z经过点 B(3,-

3)时,z 最小,zmin=-6.

??x≥1 34.若 x、y∈R,且?x-2y+3≥0 ,则 z=x+2y 的最小值等于( )
??y≥x

A.2 C.5

B.3 D.9

[答案] B

[解析] 不等式组表示的可行域如图所示:

画出直线 l0:x+2y=0, 平行移动 l0 到 l 的位置, 当 l 通过点 M 时,z 取到最小值. 此时 M(1,1),即 zmin=3.

??2x+y≥4 35.设 x、y 满足约束条件?x-y≥1 ,则目标函数 z=x+y( )
??x-2y≤2

A.有最小值 2,无最大值 C.有最小值 2,最大值 3

B.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

[答案] A

[解析]

??2x+y≥4 画出不等式组?x-y≥1
??x-2y≤2

表示的平面区域,如下图,由 z=x+y,得 y=-x

+z,令 z=0,画出 y=-x 的图象. 当它的平行线经过点 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为 2;无最大值.故选 A.

36.(2013·四川文,8)若变量 x、y 满足约束条件

?????x2xy+≥≥y-y00≤x≤84

,且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值是(

)

A.48

B.30

C.24

D.16

[答案] C

[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题.作出不等式组表示的平面区域如图.

作直线 l0:y=15x,平移直线 l0. 当 l0 过点 A(4,4)时可得 zmax=16,∴a=16. 当 l0 过点 B(8,0)时可得 zmin=-8,∴b=-8. ∴a-b=16-(-8)=24.

??y≤1 37.若变量 x、y 满足约束条件?x+y≥0

,则 z=x-2y 的最大值为( )

??x-y-2≤0

A.4 C.2 [答案] B [解析] 先作出可行域如图.

B.3 D.1

作直线 x-2y=0 在可行域内平移,当 x-2y-z=0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大. 当移至 A(1,-1)时,zmax=1-2×(-1)=3,故选 B.

??2x+y≤4 38.设变量 x、y 满足约束条件?4x-y≥-1 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是( )
??x+2y≥2

A.[-32,6]

B.[-32,-1]

C.[-1,6]

D.[-6,32]

[答案] A

[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想.根据约束条件,画出可行

域如图,作直线 l0:3x-y=0,将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值,经过点 B(12,3)

处 z 有最小值,即-32≤z≤6.

39.设

z=x-y,式中变量

x



y

满足条件???x+y-3≥0 ??x-2y≥0

,则 z 的最小值为(

)

A.1

B.-1

C.3

D.-3

[答案] A

[解析] 作出可行域如图中阴影部分.直线 z=x-y 即 y=x-z.经过点 A(2,1)时,纵截距

最大,∴z 最小.zmin=1.

?? 2x+y≥12 2x+9y≥36
? 40.变量 x、y 满足下列条件 2x+3y=24 ,则使 z=3x+2y 最小的(x,y)是( ) ??x≥0
y≥0

A.(4,5)

B.(3,6)

C.(9,2)

D.(6,4)

[答案] B

[解析] 检验法:将 A、B、C、D 四选项中 x、y 代入 z=3x+2y 按从小到大依次为 A、

B、D、C.然后按 A→B→D→C 次序代入约束条件中,A 不满足 2x+3y=24,B 全部满足,

故选 B.

??2x+y≤4 41.已知 x、y 满足约束条件?x+2y≤4 ,则 z=x+y 的最大值是( )
??x≥0,y≥0

A.43

B.83

C.2

D.4

[答案] B

[解析] 画出可行域为如图阴影部分.

由???x+2y=4 ??2x+y=4

,解得 A(43,43),

∴当直线 z=x+y 经过可行域内点 A 时,z 最大,且 zmax=83.

42.(2014·广东理,3)若变量 x,y 满足约束条件

??y≤x ?x+y≤1 ,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( ) ??y≥-1

A.5

B.6

C.7 [答案] B [解析] 作出可行域如图,

D.8

由???y=x, ??y=-1,

得??? x=-1, ??y=-1,

∴A(-1,-1);

由???x+y=1, ??y=-1.

得???x=2, ??y=-1,

∴B(2,-1);

? 由???y=x,

x=12, 得

?? ??x+y=1,

y=12.

∴C(12,12).

作直线 l:y=-2x,平移 l 可知,当直线 y=-2x+z,经过点 A 时,z 取最小值,当 ymin =-3;当经过点 B 时,z 取最大值,zmax=3,
∴m=3,n=-3,∴m-n=6.

43.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是( )

A.x+21x

B.x2-1+x2-1 1

C.2x+2-x

D.x(1-x)

答案:C

44.已知 a、b∈R,且 ab≠0,则在①a2+2 b2≥ab;②ba+ab≥2;③ab≤??a+2 b??2;④??a+2 b??

2≤a2+2 b2这四个不等式中,恒成立的个数有(

)

A.1 个 B.2 个

C.3 个 D.4 个

答案:C

45.某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平 均增长率为 x,则( )
A.x=a+2 b B.x≤a+2 b C.x>a+2 b D.x≥a+2 b

解析:依题意有 A(1+x)2=A(1+a)(1+b), ∴1+x= ?1+a??1+b?≤12[(1+a)+(1+b)] =1+a+2 b∴x≤a+2 b.故选 B. 答案:B 46.若 x>0,则函数 y=-x-1x( ) A.有最大值-2 B.有最小值-2

C.有最大值 2 D.有最小值 2

解析:∵x>0,∴x+1x≥2.∴-x-1x≤-2.当且仅当 x=1 时,等号成立,故函数 y=-x

-1x有最大值-2.

答案:A

47.数列{an}的通项公式 an=n2+n 90,则数列{an}中的最大项是(

)

A.第 9 项 B.第 8 项和第 9 项

C.第 10 项 D.第 9 项和第 10 项

解析:an=n2+n 90=n+19n0 ∵n+9n0≥2 90,且 n∈N*, ∴当 n=9 或 10 时,n+9n0最小,an 取最大值.故选 D. 答案:D

48.lg 9lg 11 与 1 的大小关系是( )

A.lg 9·lg 11>1 B.lg 9·lg 11 =1

C.lg 9·lg 11<1 D.不能确定

? lg9?lg11 ?2

2
? lg99 ?

2
? lg100 ?

2
?2?

? 解析:lg 9×lg 11≤ ?

2

? =? ??

2

? <? ??

2

??

=? ?

2

??

=1,

故选 C.

答案:C

49.已知 a,b∈R+,且 a+b=1,则 ab+a1b的最小值为( )

A.2

5 B.2

17 C. 4

D.不存在

解析:∵a,b∈R+,a+b=1,∴ ab≤a+2 b=12, ∴0<ab≤14.
令 t=ab,则 f(t)=t+1t 在??0,14??上单调递减, ∴f(t)的最小值为 f??14??=14+4=147,故选 C.
答案:C

50.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买 10 g 黄金,售货

员先将 5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将 5 g 的砝码放入

右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( )

A.大于 10 g

B.小于 10 g

C.大于等于 10 g D.小于等于 10 g

解析:设两臂长分别为 a,b,两次放入的黄金数是 x,y,

依题意有 ax=5b,by=5a,∴xy=25.

∵x+2 y≥ xy,∴x+y≥10,又 a≠b,∴x≠y.

∴x+y>10.即两次所得黄金数大于 10 克,故选 A.

答案:A

51.函数 f(x)=x+x1的最大值为(

)

2

1

A.5 B.2

2 C. 2

D.1

解析:当 x=0 时,f(0)=0;当 x>0 时,x+1≥2

x>0,∴f(x)≤ 2

xx=12,当且仅当

x

=1 时等号成立.故函数 f(x)=x+x1的最大值为12.

答案:B

二 填空题

1.若 a>b,则 a3 与 b3 的大小关系是________.

[答案] a3>b3

2.若 x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则 x 与 y 的大小关系是________.

[答案] x<y

[解析] x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,

∴x<y.

3.已知 a>b>0,且 c>d>0,则 ad与 bc的大小关系是________.

[答案]

ad>

b c

[解析] ∵c>d>0,∴1d>1c>0,

∵a>b>0,∴ad>bc>0,



ad>

b c.

4.若 a、b、c、d 均为实数,使不等式ab>dc>0 和 ad<bc 都成立的一组值(a,b,c,d)是 ________(只要举出适合条件的一组值即可).

[答案] (2,1,-1,-2) [解析] 由ab>dc>0 知,a、b 同号,c、d 同号,且ab-dc=adb-dbc>0.

由 ad<bc,得 ad-bc<0,所以 bd<0. 所以在取(a,b,c,d)时只需满足以下条件即可: ①a、b 同号,c、d 同号,b、d 异号; ②ad<bc. 令 a>0,b>0,c<0,d<0, 不妨取 a=2,b=1,c=-1,

则 d<bac=-12,

取 d=-2, 则(2,1,-1,-2)满足要求. 5.(2013·广东理,9)不等式 x2+x-2<0 的解集为________.

[答案] {x|-2<x<1} [解析] 由 x2+x-2<0,得(x+2)(x-1)<0, ∴-2<x<1,故原不等式的解集为{x|-2<x<1}. 6.不等式 0≤x2-2x-3<5 的解集为________.

[答案] {x|-2<x≤-1 或 3≤x<5} [解析] 由 x2-2x-3≥0 得:x≤-1 或 x≥3; 由 x2-2x-3<5 得-2<x<4, ∴-2<x≤-1 或 3≤x<4. ∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1 或 3≤x<4}. 7.关于 x 的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0 的解集是________.

[答案] {x|m<x<m+1}

[解析] 解法一:∵方程 x2-(2m+1)x+m2+m=0 的解为 x1=m,x2=m+1,且知 m< m+1.
∴二次函数 y=x2-(2m+1)x+m2+m 的图象开口向上,且与 x 轴有两个交点. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 解法二:注意到 m2+m=m(m+1),及 m+(m+1)=2m+1, 可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0, ∵m<m+1,∴m<x<m+1. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 8.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是________. [答案] 0<a≤4 [解析] ①若 a=0,则 1<0 不成立,此时解集为空. ②若 a≠0,则?????Δa>=0,a2-4a≤0, ∴0<a≤4. 9.已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个. [答案] 6 [解析] 符合条件的点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)共 6 个. 10.用三条直线 x+2y=2,2x+y=2,x-y=3 围成一个三角形,则三角形内部区域(不 包括边界)可用不等式表示为________.

[答案]

??x+2y<2 ?2x+y>2 ??x-y<3

11.若非负变量

x、y

满足约束条件???x-y≥-1 ??x+2y≤4

,则 x+y 的最大值为________.

[答案] 4

[解析] 本题考查线性规化的最优解问题.

??yx≥≥00

? 由题意知 x、y 满足的约束条件 x-y≥-1 ??x+2y≤4

.

画出可行域如图所示. 设 x+y=t?y=-x+t,t 表示直线在 y 轴截距,截距越大,t 越大. 作直线 l0:x+y=0,平移直线 l0,当 l0 经过点 A(4,0)时, t 取最大值 4.

??2x+3y-6≤0 12.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0
??y≥0

所表示的区域上一动点,

则|OM|的最小值是________.

[答案] 2

[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题.

不等式组所表示平面区域如图,由图可知|OM|的最小值即 O 到直线 x+y-2=0 的距离.

故|OM|的最小值为|-2|= 2. 2

??x≥0 13.已知 x、y 满足约束条件?x≥y
??2x-y≤1

,则 z=3x+2y 的最大值为________.

[答案] 5 [解析] 作出可行域如图,当直线 z=3x+2y 平移到经过点(1,1)时,z 最大∴zmax=5.

??y-2≤0 14.已知 x、y 满足?x+3≥0
??x-y-1≤0

,则 x2+y2 的最大值为________.

[答案] 25

[解析] 画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.

由图知,A(-3,-4),B(-3,2),C(3,2),

则|OA|= 9+16=5,

|OB|= 9+4= 13,

|OC|= 9+4= 13. 设 P(x,y)是不等式组表示的平面区域内任意一点, 则 x2+y2=( x2+y2)2=|OP|2, 由图知,|OP|的最大值是|OA|=5,则 x2+y2 最大值为|OA|2=25.

??x≥0 15.已知 x、y 满足约束条件?x≥y
??2x-y≤1

,则 z=3x+2y 的最大值为________.

[答案] 5 [解析] 作出可行域如图,当直线 z=3x+2y 平移到经过点(1,1)时,z 最大∴zmax=5.

??y-2≤0 16.已知 x、y 满足?x+3≥0
??x-y-1≤0

,则 x2+y2 的最大值为________.

[答案] 25

[解析] 画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.

由图知,A(-3,-4),B(-3,2),C(3,2),

则|OA|= 9+16=5,

|OB|= 9+4= 13,

|OC|= 9+4= 13. 设 P(x,y)是不等式组表示的平面区域内任意一点, 则 x2+y2=( x2+y2)2=|OP|2, 由图知,|OP|的最大值是|OA|=5,则 x2+y2 最大值为|OA|2=25.
三 解答题

1.有粮食和石油两种物质,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机 的运输效果如下表:

种类

效果

方式

轮船运输量(t)

飞机运输量(t)

粮食

300

150

石油

250

100

现在要在一天内运输 2 000 t 粮食和 1 500 t 石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足

的所有不等关系的不等式.

[解析] 设需安排 x 艘轮船和 y 架飞机,则

300x+150y≥2 000
??250 x+100 y≥1 500 ?x≥0 ??y≥0

6x+3y≥40
??5x+2y≥30
,∴
?x≥0 ??y≥0

.

10.设 a>0,b>0 且 a≠b,试比较 aabb 与 abba 的大小. [解析] 根据同底数幂的运算法则. aaabbbba=aa-b·bb-a=(ab)a-b, 当 a>b>0 时,ab>1,a-b>0, 则(ab)a-b>1,于是 aabb>abba.

当 b>a>0 时,0<ab<1,a-b<0, 则(ab)a-b>1,于是 aabb>abba. 综上所述,对于不相等的正数 a、b,都有 aabb>abba. 2.已知 a>0,b>0,a≠b,n∈N 且 n≥2,比较 an+bn 与 an-1b+abn-1 的大小. [解析] (an+bn)-(an-1b+abn-1)=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1), (1)当 a>b>0 时,an-1>bn-1,∴(a-b)(an-1-bn-1)>0, (2)当 0<a<b 时,an-1<bn-1,∴(a-b)(an-1-bn-1)>0, ∴对任意 a>0,b>0,a≠b,总有(a-b)(an-1-bn-1)>0.∴an+bn>an-1b+abn-1. 3.如果 30<x<42,16<y<24.分别求 x+y、x-2y 及xy的取值范围. [解析] 46<x+y<66;-48<-2y<-32, ∴-18<x-2y<10; ∵30<x<42,214<1y<116,∴2340<xy<4126, 即54<xy<281. 4.解不等式:1<x2-3x+1<9-x. [解析] 由 x2-3x+1>1 得,x2-3x>0, ∴x<0 或 x>3; 由 x2-3x+1<9-x 得,x2-2x-8<0,∴-2<x<4. 借助数轴可得:{x|x<0 或 x>3}∩{x|-2<x<4} ={x|-2<x<0 或 3<x<4}. 5.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为(-13,12),求-cx2+2x-a>0 的解集. [解析] 由 ax2+2x+c>0 的解集为(-13,12),知 a<0,且-13和12是 ax2+2x+c=0 的两个 根.

?-13×12=ac,
由韦达定理,得
??-31+21=-2a

解得???a=-12, ??c=2.

所以-cx2+2x-a>0,

即 2x2-2x-12<0.解得-2<x<3.

所以-cx2+2x-a>0 的解集为{x|-2<x<3}.

6.解下列不等式:

(1)23xx- +11>0;

ax (2)x+1<0.

[解析] (1)原不等式等价于(2x-1)(3x+1)>0,

∴x<-13或

1 x>2.

故原不等式的解集为{x|x<-13或 x>12}.

(2)x+ax1<0?ax(x+1)<0.

当 a>0 时,ax(x+1)<0?x(x+1)<0?-1<x<0,

∴解集为{x|-1<x<0}; 当 a=0 时,原不等式的解集为?;

当 a<0 时,ax(x+1)<0?x(x+1)>0?x>0 或 x<-1,∴解集为{x|x>0,或 x<-1}. 7.解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.

[解析] 原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 则方程 x2-(a+a2)x+a3=0 的两根为 x1=a,x2=a2, 由 a2-a=a(a-1)可知, (1)当 a<0 或 a>1 时,a2>a. ∴原不等式的解集为 x>a2 或 x<a. (2)当 0<a<1 时,a2<a, ∴原不等的解为 x>a 或 x<a2. (3)当 a=0 时,原不等式为 x2>0,∴x≠0. (4)当 a=1 时,原不等式为(x-1)2>0,∴x≠1.

综上可知:

当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠1}.

x+y-6≥0
??x-y≥0 ? 8.画出不等式组 y≤3
??x<5

表示的平面区域.

[解析] 不等式 x+y-6≥0 表示在直线 x+y-6=0 上及右上方的点的集合,x-y≥0 表示在直线 x-y=0 上及右下方的点的集合,y≤3 表示在直线 y=3 上及其下方的点的集合,

x+y-6≥0
??x-y≥0 ? x<5 表示直线 x=5 左方的点的集合,所以不等式组 y≤3
??x<5
图阴影部分.

表示的平面区域为如

9.经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2)、B(2,1)的线段总有公共点, 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
[解析]

由题意知直线 l 斜率存在,设为 k. 则可设直线 l 的方程为 kx-y-1=0, 由题知:A、B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧,所以有: (k+1)(2k-2)≤0 ∴-1≤k≤1.

??5x+3y≤15

10.求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件?y≤x+1

.

??x-5y≤3

[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分.

∵目标函数为 z=3x+5y, ∴作直线 l0:3x+5y=0.当直线 l0 向右上平移时,z 随之增大,在可行域内以经过点 A(32,

52)的直线 l1 所对应的 z 最大.类似地,在可行域内,以经过点 B(-2,-1)的直线 l2 所对应 的 z 最小,∴zmax=17,zmin=-11,∴z 的最大值为 17,最小值为-11.
11.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为 45 个与 55 个,所用原料为 A、B 两种 规格金属板,每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个,乙种产品 5 个;用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个.问 A、B 两种规格金属板各取多少张, 才能完成计划,并使总的用料面积最省?

[解析] 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张,用料面积为 z,则约束条件为

3x+6y≥45
??5x+6y≥55 ?x≥0 ??y≥0

.

目标函数 z=2x+3y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域),如图所示.

z=2x+3y 变为 y=-23x+3z,得斜率为-23,在 y 轴上截距为3z且随 z 变化的一族平行直 线.

当直线

z=2x+3y

过可行域上点

M

时,截距最小,z

最小.解方程组???5x+6y=55 ??3x+6y=45



得 M 点的坐标为(5,5). 此时 zmin=2×5+3×5=25 (m2). 答:当两种金属板各取 5 张时,用料面积最省. 12.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g,乙种
烟花每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g.已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、 B 药品 400 g、C 药品 240 g.甲种烟花每枚可获利 2 元,乙种烟花每枚可获利 1 元,问每 天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.

?? 3x+2y≤120 4x+11y≤400

? [解析] 设每天生产甲种烟花 x 枚,乙种烟花 y 枚,获利为 z 元,则 4x+6y≤240



??x≥0 y≥0

作出可行域如图所示.

目标函数为:z=2x+y. 作直线 l:2x+y=0,将直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A(40,0) 且与原点的距离最大.此时 z=2x+y 取最大值. 故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润. 13.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返 的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型 车为 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低. [解析] 设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,则由题意知

x≤8,
?y≤4, ?x+y≤10, ?4x×6+3y×10≥180, ?x≥0, ?y≥0,

目标函数为 z=320x+504y(其中 x,y∈N).作出可行域如图

所示.

由图易知,当直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使 z=320x+504y
取得最小值,zmin=320×8+504×0=2560,∴每天调出 A 型车 8 辆,B 型车 0 辆,公司所
花成本费最低.
14.(1)求函数 y=x-1 3+x(x>3)的最小值; 解析:∵x>3, ∴y=x-1 3+x=x-1 3+(x-3)+3≥5, 当且仅当 x-3=x-1 3,即 x=4 时取等号. ∴ymin=5.
(2)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值;

解析:∵x>0,a>2x,

∴y=x(a-2x)=12·2x·(a-2x)≤

12·???

2x??a? 2

2x?

? ??

2

=a82,

当且仅当 x=a4时,取等号, ∴ymax=a82.

(3)已知 x>0,y>0,2x+5y=20,求 μ=lg x+lg y 的最大值.
解析:∵x>0,y>0,2x+5y=20,
∴2x·5y≤??2x+2 5y??2=??220??2=100,
∴xy≤10, ∴μ=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1, 当且仅当 2x=5y=10, 即 x=5,y=2 时上式取等号, ∴当 x=5,y=2 时, μ=lg x+lg y 取最大值,最大值为 1.

15.
围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修), 其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如右上图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m), 修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元).
(1)将 y 表示为 x 的函数; 解析:如图所示,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
由已知 xa=360,得 a=36x0. 所以 y=225x+36x02-360(x>0).

(2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
解析:∵x>0,∴225x+36x02≥2 225×3602=10 800. ∴y=225x+36x02-360≥10 440. 当且仅当 225x=36x02时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440
强化练习

一 选择题

1.(2010~2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知 a<0,-1<b<0,则下列各式正

确的是( ) A.a>ab>ab2 C.ab2>ab>a

B.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a

[答案] D

[解析] ∵-1<b<0,∴1>b2>0>b>-1, 即 b<b2<1,两边同乘以 a<0,

∴ab>ab2>a.故选 D.

2.如果 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不.一.定.成立的是( )

A.ab>ac

B.bc>ac

C.cb2<ab2

D.ac(a-c)<0

[答案] C

[解析] ∵c<b<a,且 ac<0,∴a>0,c<0.

∴ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,∴A、B、D 均正确.

∵b 可能等于 0,也可能不等于 0.

∴cb2<ab2 不一定成立.

3.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系为( )

A.a>b>-b>-a

B.a>-b>-a>b

C.a>-b>b>-a

D.a>b>-a>-b

[答案] C

[解析]

ab+ <b0> ?0-?b>a>0-b??????a>-b>0?-a<b<0.∴选 C.

[点评] 可取特值检验.

∵a+b>0,b<0,∴可取 a=2,b=-1,∴-a=-2,-b=1,∴-a<b<-b<a,排除

A、B、D,∴选 C.

4.设 x<a<0,则下列各不等式一定成立的是( )

A.x2<ax<a2

B.x2>ax>a2

C.x2<a2<ax

D.x2>a2>ax

[答案] B

[解析]

xxa<<<a00<0???????????xa2x>>aax2??????x2>ax>a2∴选 B.

5.下列结论中正确的是( ) ①a>b>0,d>c>0?ac>bd, ②a>b,c>d?a-c>b-d, ③ca2>cb2?a>b, ④a>b?an>bn(n∈N,n>1). A.①②③ C.②③④ [答案] B

B.①③ D.①③④

[解析]

d>c>0?a1c>>b1d>>00??????ac>bd∴①对;

a>b,-c<-d 不同向不可加,∴②错. ∵ca2>cb2,∴c2>0.∴a>b.③对;

只有 a>b>0 时,对任意正整数 n>1 才有 an>bn,

∴④错.故选 B.

6.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则( )

A.c<b<a

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

[答案] D

[解析] 假设 a>b 即 2> 7- 3,∴ 2+ 3> 7,平方得 6>1 成立,∴a>b 排除

B、C.

又假设 b>c,即 7- 3> 6- 2

∴ 7+ 2> 6+ 3,平方得 14> 18显然不成立

∴b<c 排除 A.

7.已知:0<a<b<1,x=ab,y=logba,z=log1ab,则(

)

A.z<x<y

B.z<y<x

C.y<z<x

D.x<z<y

[答案] A

[解析] y=logba>logbb=1,0<x=ab<a0=1,z=log1ab<0,∴z<x<y.

8.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则( )

A.a2>b2

B.ba<1

C.lg(a-b)>0

D.(12)a<(12)b

[答案] D

[解析] 举反例,A 中 2>-5 但 22<(-5)2;B 中-2>-5 但- -52>1;C 中 a=5,b=

4 时,lg(a-b)=0,故选 D.

9.如图,在一个面积为 200 m2 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长 a

大于宽 b 的 4 倍,则表示上面叙述的关系正确的是( )

A.a>4b

B.(a+4)(b+4)=200

??a>4b C.????a+4??b+4?=200

??a>4b D.???4ab=200

[答案] C

10.已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=1+1 a,比较 A、B、C 的大小结果为(

)

A.A<B<C

B.B<A<C

C.A<C<B

D.B<C<A

[答案] B

[解析] 不妨设 a=-12,则 A=54,B=34,C=2,由此得 B<A<C,排除 A、C、D,选

B. [点评] 具体比较过程如下:

由-1<a<0 得 1+a>0, A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0 得 A>B, C-A=1+1 a-(1+a2)=-a?a21++aa+1?

=-a????a+1+21??a2+43??>0,得 C>A,∴B<A<C.

11.设 a+b<0,且 a>0,则( )

A.a2<-ab<b2 C.a2<b2<-ab

B.b2<-ab<a2 D.ab<b2<a2

[答案] A

[解析] ∵a+b<0,且 a>0,∴0<a<-b, ∴a2<-ab<b2. 12.已知 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( )

A.a2>a>-a2>-a

B.-a>a2>-a2>a

C.-a>a2>a>-a2

D.a2>-a>a>-a2

[答案] B

[解析] ∵a2+a<0,∴0<a2<-a,∴0>-a2>a,

∴a<-a2<a2<-a,故选 B.

[点评] 可取特值检验,∵a2+a<0,即 a(a+1)<0,令 a=-12,则 a2=14,-a2=-14,

-a=12,∴12>14>-14>-12,即-a>a2>-a2>a,排除 A、C、D,选 B.

13.如果 a>0,且 a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),那么( )

A.M>N

B.M<N

C.M=N

D.M、N 的大小无法确定

[答案] A

[解析] a>1 时 a3+1>a2+1,logax 单调递增, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1); 0<a<1 时,a3+1<a2+1,logax 单调递减, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),故选 A. [点评] 可对 a 取值检验.

14.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( )

b b+1 A.a>a+1

B.a+1a>b+1b

C.a+1b>b+1a

2a+b a D.a+2b>b

[答案] C

[解析] 解法 1:由 a>b>0?0<1a<1b?a+1b>b+1a,故选 C.

解法 2:(特值法)令 a=2,b=1,排除 A、D,再令 a=12,b=13,排除 B.

15.若1a<1b<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2.其中正

确的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

[答案] B

[解析] ∵1a<1b<0,∴a<0,b<0,a>b,故③错;

∴ab>0,∴a+b<0<ab,故①成立;

又 0>a>b,∴|a|<|b|.∴②错;

∵ba+ab=b2a+ba2=?a-ba?2b+2ab=?a-abb?2+2

且 a-b<0,ab>0,∴ba+ab>2,∴④成立.

∴①④正确.选 B.

16.(2010~2011·醴陵二中、四中联考)下列结论中正确的是( )

A.若 a>b,c>d,则 a+c>b+d

B.若 a>b,c>d,则 ac>bd

C.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d

D.若 a>b,c>d,则ac>bd

[答案] A

[解析] 由不等式的性质知 A 正确.

[点评] 要注意不等式性质中条件的把握.

17.已知|a|<1,则a+1 1与 1-a 的大小关系为( )

A.a+1 1<1-a

B.a+1 1>1-a

C.a+1 1≥1-a

D.a+1 1≤1-a

[答案] C

[解析] ∵|a|<1,∴1+a>0 ∴1+1 a-(1-a)=1+a2a≥0

∴a+1 1≥1-a.

[点评] 如果 a∈R,1+1 a与 1-a 的大小关系如何,请尝试探究,体会分类讨论思想.

18.若 0<a<b<1,下列不等式中正确的是( )

A.aa<ab

B.ba<bb

C.aa<ba

D.bb<ab

[答案] C

[解析] 由 y=ax,y=bx 与 y=xb,y=xa 的单调性可得.或取 a=14,b=12检验知选 C.

19.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,ac-db>0(其中 a,b,c,d 均为实数).用其中

两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数

是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

[答案] D

[解析] 设 ab>0 为①,bc-ad>0 为②,

ac-db>0 为③,

若①②成立,则a1b(bc-ad)>0,

即ac-db>0,即③成立;

若①③成立,则 ab(ac-db)>0,

即 bc-ad>0,即②成立;

若②③成立,则由③得bc-abad>0,

由②bc-ad>0 得 ab>0,

即①成立.故正确命题个数为 3 个,选 D.

[点评] 运用不等式性质时,一定要注意不等式成立的条件,若弱化了条件或强化了条

件都可能得出错误的结论.

20.若-π2<α<β<π2,则 α-β 的取值范围是(

)

A.(-π,π)

B.(0,π)

C.(-π,0)

D.{0}

[答案] C

[解析] ∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2

又-π2<α<π2,∴-π<α-β<π

又 α<β,∴α-β<0,∴-π<α-β<0.

21.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( )

A.{x|x≠-13}

B.{x|-13≤x≤13}

C.?

D.{-13}

[答案] D

[解析] 变形为(3x+1)2≤0.∴x=-13.

22.不等式 3x2-x+2<0 的解集为( )

A.?

B.R

C.{x|-13<x<12}

D.{x∈R|x≠16}

[答案] A

[解析] ∵△=-23<0,开口向上,

∴3x2-x+2<0 的解集为 ?.

23.函数 y= x2+x-12的定义域是( )

A.{x|x<-4,或 x>3}

B.{x|-4<x<3}

C.{x|x≤-4,或 x≥3}

D.{x|-4≤x≤3}

[答案] C

[解析] 使 y= x2+x-12有意义,则 x2+x-12≥0.

∴(x+4)(x-3)≥0,∴x≤-4,或 x≥3.

24.函数 y= log12?x2-1?的定义域是(

)

A.[- 2,-1)∪(1, 2]

B.[- 2,-1)∪(1, 2)

C.[-2,-1)∪(1,2] [答案] A

D.(-2,-1)∪(1,2)

[解析] ∵log12(x2-1)≥0,∴0<x2-1≤1, ∴1<x2≤2,

∴1<x≤ 2或- 2≤x<-1. 25.(2011·广东文,5)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( )

A.(-12,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,1)∪(2,+∞)

D.(-∞,-12)∪(1,+∞)

[答案] D

[解析] 2x2-x-1=(2x+1)(x-1)>0,所以不等式的解集为(-∞,-12)∪(1,+∞). 26.对于任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围

() A.(-∞,2) C.(-2,2) [答案] D

B.(-∞,2] D.(-2,2]

[解析] 当 a=2 时,-4<0 恒成立;当 a≠2 时,?????a4- ?a-2<2?02+16?a-2?<0 ,∴-2<a

<2,

综上得-2<a≤2. 27.已知集合 A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0}且 B A,则 a 的取值范围是( )

A.a≤1

B.1<a≤2

C.a>2

D.a≤2

[答案] A [解析] A={x|x<1 或 x>2},B={x|x<a},

∵B A,∴a≤1.

28.不等式32x--x1≥1 的解集是(

)

A.{x|34≤x≤2}

B.{x|x≤34或 x>2}

C.{x|34≤x<2}

D.{x|x<2}

[答案] C

[解析] 不等式32x--x1≥1,化为:42x--x3≥0,

∴34≤x<2.

29.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解是( )

A.x>5a 或 x<-a

B.x>-a 或 x<5a

C.5a<x<-a

D.-a<x<5a

[答案] B

[解析] 化为:(x+a)(x-5a)>0,相应方程的两根 x1=-a,x2=5a ∵a<0,∴x1>x2.∴不等式解为 x<5a 或 x>-a. 30.如果方程 x2+(m-1)x+m2-2=0 的两个实根一个小于-1,另一个大于 1,那么实

数 m 的取值范围是( )

A.(- 2, 2)

B.(-2,0)

C.(-2,1)

D.(0,1)

[答案] D

[解析] 令 f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,则?????ff??-1?<1?<0 0 ,∴?????mm22-+mm<-02<0 ,∴0<m<1

31.若 0<t<1,则不等式 x2-(t+1t )x+1<0 的解集是(

)

A.{x|1t <x<t}

B.{x|x>1t 或 x<t}

C.{x|x<1t 或 x>t}

D.{x|t<x<1t }

[答案] D

[解析] 化为(x-t)(x-1t )<0

∵0<t<1,∴1t >1>t,∴t<x<1t ,

32.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( )

A.-4≤a≤4

B.-4<a<4

C.a≤-4 或 a≥4

D.a<-4 或 a>4

[答案] A

[解析] 欲使不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则△=a2-16≤0,∴-4≤a≤4.

33.若 f(x)=-x2+mx-1 的函数值有正值,则 m 的取值范围是( )

A.m<-2 或 m>2

B.-2<m<2

C.m≠±2

D.1<m<3

[答案] A

[解析] ∵f(x)=-x2+mx-1 有正值,

∴△=m2-4>0,∴m>2 或 m<-2.

34.若方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0 有两个不等实根 x1,x2,且 0<x1<1<x2<2, 则实数 k 的取值范围是( )

A.-2<k<-1

B.3<k<4

C.-2<k<4

D.-2<k<-1 或 3<k<4

[答案] D

[解析]

??△>0 f?0?>0
? 结合 f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2 的图象知: f?1?<0 ??f?2?>0

??f?0?>0 ??f?1?<0 ?
??f?2?>0

??k2-k-2>0 ?k2-2k-8<0 ??k2-3k>0

??k<-1或k>2 ??-2<k<4
??k<2或k>3

?-2<k<-1 或 3<k<4.

[点评] 注意结合数轴找不等式解集的交集. 35.(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数 x∈[-1,1],不等式 x2+ax-3a<0 总 成立.则实数 a 的取值范围是( )

A.a>0

B.a>12

C.a>14

D.a>0 或 a<-12

[答案] B [解析] 设 f(x)=x2+ax-3a,则由条件知

??f?1?<0 ???f?-1?<0

,∴???1-4a<0 ??1-2a<0

,∴a>12.

36.已知集合 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2-5ax+4a2≤0},A∩B={x|3<x≤4},则 a

的值为( )

A.1

B.4

C.1 或 4

D.3

[答案] A [解析] A={x|x<-1 或 x>3},∵A∩B={x|3<x≤4},∴x=4 是方程 x2-5ax+4a2=0 的根,∴a2-5a+4=0,∴a=1 或 4,当 a=1 时,B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},∴A ∩B={x|3<x≤4}成立;当 a=4 时,B={x|x2-20x+64≤0}={x|4≤x≤16},∴A∩B={x|4

≤x≤16}与条件矛盾,∴a=1.

37.(2008·天津)已知函数 f(x)=?????x-+x2+,2,

x≤0, x>0, 则不等式 f(x)≥x2 的解集为(

)

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.[-2,1]

D.[-1,2]

[答案] A [解析] 不等式 f(x)≥x2 化为

??x≤0 (1)???x+2≥x2

或(2)?????-x>x0+2≥x2

.

解不等式组(1)得-1≤x≤0;

解不等式组(2)得 0<x≤1.

因此原不等式的解集是[-1,1],选 A. 38.已知不等式①x2-4x+3<0;②x2-6x+8<0;③2x2-9x+m<0,若同时满足①②

的 x 也满足③,则有( )

A.m>9

B.m=9

C.m≤9

D.0<m<9

[答案] C

[解析] ①的解集是{x|1<x<3};

②的解集是{x|2<x<4},

∴同时满足①②的 x 取值集合是{x|2<x<3}, 即当 2<x<3 时,2x2-9x+m<0. 令 f(x)=2x2-9x+m

∴???f?2?≤0, ??f?3?≤0.

∴m≤9.

39.二次方程 x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比 1 大,另一个根比-1 小,则 a 的取

值范围是( )

A.-3<a<1

B.-2<a<0

C.-1<a<0

D.0<a<2

[答案] C

[解析]

f(x)=x2+(a2+1)x+a-2 开口向上,由题设条件???f?-1?<0 ??f?1?<0

,∴?????- a2+a2+ a<a0-2<0



∴-1<a<0.

40.(2009·江西)函数 y= -x2-x 3x+4的定义域为(

)

A.[-4,1]

B.[-4,0)

C.(0,1]

D.[-4,0)∪(0,1]

[答案] D

[解析]

要使函数有意义,则需???-x2-3x+4≥0 ??x≠0

,解得-4≤x≤1 且 x≠0,故定义域

为[-4,0)∪(0,1].

41.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是( )

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(0,2)

D.(2,0)

[答案] D

[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知,只有(2,0)点不满足 3x+2y<6.

??y<x, 42.不等式组?x+y≤1 ,表示的区域为 D,点 P1(0,-2),点 P2(0,0),则( )
??y≥3.

A.P1?D,P2?D

B.P1?D,P2∈D

C.P1∈D,P2?D

D.P1∈D,P2∈D

[答案] A

[解析] P1 点不满足 y≥3.P2 点不满足 y<x.∴选 A.

43.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )

??x+y-1≥0, A.???x-2y+2≥0

??x+y-1≤0 B.???x-2y+2≤0

??x+y-1≥0, C.???x-2y+2≤0

??x+y-1≤0, D.???x-2y+2≥0

[答案] A [解析] 取原点 O(0,0)检验满足 x+y-1≤0,故异侧点应为 x+y-1≥0,排除 B、D.

O 点满足 x-2y+2≥0,排除 C.

∴选 A.

44.不等式组?????xx> -2y+3<0 表示的平面区域是(

)

[答案] D [解析] ∵原点 O(0,0)的坐标代入两个不等式都不成立,故平面区域应在直线 x=2 的右 侧和直线 x-y+3=0 的上方,故选 D. 45.不等式 x2-y2≥0 表示的平面区域是( )

[答案] B

[解析] 将(±1,0)代入均满足知选 B.

46.不等式组?????-?x-1≤y+x≤1?4?x+y+1?≥0 表示的平面区域是(

)

A.两个三角形

B.一个三角形

C.梯形

D.等腰梯形

[答案] B

[解析] 如图

∵(x-y+1)(x+y+1)≥0 表示如图(1)所示的角形区域.且两直线交于点 A(-1,0).故添 加条件-1≤x≤4 后表示的区域如图(2).
[点评] 一般地(a1x+b1y+c)(a2x+b2y+c)≥0(ai,bi 不同时为 0,i=1,2)表示一对顶区 域.请再练习下题:

不等式组????x-y+5??x+y?≥0 ??0≤x≤3

表示的平面区域是一个(

)

A.三角形

B.直角梯形

C.梯形

D.矩形

[答案] C

[解析] ∵x=0 与 x=3 是两条平行直线,而 x-y+5=0 与 x+y=0 是不平行的两直线,

画图可见此区域是一个梯形.

??x-4y+3≤0 47.不等式组?3x+5y-25≤0 所表示的平面区域图形是( )
??x≥1
A.四边形 B.第二象限内的三角形 C.第一象限内的三角形 D.不确定

[答案] C [解析] 不等式 x-4y+3≤0 表示的区域是直线 x-4y+3=0 及其左上方,不等式 3x+ 5y-25≤0 表示的区域是直线 3x+5y-25=0 及其左下方;不等式 x≥1 表示的区域是直线 x

=1 及其右侧.所以选 C.

??x-y+6≥0,

48.不等式组?x+y≥0,

表示的平面区域的面积是( )

??x≤3.

A.18

B.36

C.72 [答案] B [解析] 作出平面区域如图.

D.144

交点 A(-3,3)、B(3、9)、C(3,-3),

∴S△ABC=12[9-(-3)]×[3-(-3)]=36.

49.已知直线 l:ax+by+c=0(a,b 不同时为零,c<0),点 P(x0,y0)和坐标原点位于 直线 l 同侧,则点 P 到直线 l 的距离等于( )

A.ax0+a2b+y0b+2 c

B.-ax0+a2b+y0b+2 c

C.±ax0+a2b+y0b+2 c

D.以上都不对

[答案] B

[解析] ∵原点 O(0,0)满足 ax+by+c<0.又 P 与 O 在直线 l 同侧,∴ax0+by0+c<0 由 点到直线的距离公式 d=|ax0+a2b+y0b+2 c|=-ax0+a2b+y0b+2 c,∴选 B.

??4x+3y<12 50.不等式组?x-y≤-1 表示的平面区域内整点个数是( )
??y≥0

A.5

B.6

C.7

D.8

[答案] D

[解析] 可行域如图,可求得 A(-1,0)、B(4,0)、C(97、176),

∴可行域内的整点有:(-1,0)、(0,0)、(1,0)、(2,0).

(0,1)、(1,1)、(2,1)、(1,2),故选 D.

51.设 x2+y2≤1 表示的平面区域对应点集为 M.|x|+|y|≤1 表示的平面区域对应点集为

N,则 M 与 N 的关系是( )

A.M N

B.M N

C.M=N

D.M 与 N 无包含关系

[答案] B

[解析] 如图.x2+y2≤1 表示⊙O 内部及边界的平面区域 M,|x|+|y|≤1 表示正方形

ABCD 内部及边界的平面边域 N.显然 M N.故选 B.

[点评] 两个平面区域 M、N 的关系,只要画出图形找出平面区域 M、N,则由图可直

观看出.请再练习下题:

52 已知集合 A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0},M=A∩B,则 M 的

面积为( )

A.4

B.1

C. 2

D.2

[答案] B [解析] 集合 A 表示的平面区域是一正方形,B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0}={(x,y)||y| ≤|x|} 如图 M=A∩B 为图中阴影部分是两个边长为 22的小正方形区域.

53.点(1,2)和点(-1,3)在直线 2x+ay-1=0 的同一侧,则实数 a 的取值范围是( )

A.a<-12

B.a>1

C.a<-12或 a>1

D.-12<a<1

[答案] C

[解析] 由题意知,(2a+1)(3a-3)>0,∴a<-12或 a>1.

54.若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x-y 的最大值为( )

A.-1

B.1

C.2

D.-2

[答案] B

[解析] 可行域为图中△AOB,当直线 y=x-z 经过点 B 时,-z 最小从而 z 最大∴zmax =1.

??x-y+5≥0,

55.已知 x,y 满足约束条件?x+y≥0,

则 z=2x+4y 的最小值为( )

??x≤3,

A.5

`B.-6

C.10 [答案] B

D.-10

[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域,当直线 y=-2x+4z经过点 B(3,-

3)时,z 最小,zmin=-6.

??x≥1, 56.(2010·福建文,5)若 x,y∈R,且?x-2y+3≥0, 则 z=x+2y 的最小值等于( )
??y≥x,

A.2

B.3

C.5

D.9

[答案] B [解析] 不等式组表示的可行域如图所示:

画出 l0:x+2y=0 平行移动 l0 到 l 的位置, 当 l 通过 M 时,z 能取到最小值. 此时 M(1,1),即 zmin=3. 57.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界),若 C(23,45)是该目标 函数 z=ax-y 的最优解,则 a 的取值范围是( )

A.(-130,-152)

B.(-152,-130)

C.(130,152)

D.(-152,130)

[答案] B [解析] 若 a>0,则由 y=ax-z 知 C 点一定不是最优解,∴a<0;z=ax-y 在 C 点取最

优解,则一定是 z 的最小值点,∵kAC=-152,kBC=-130,∴-152≤a≤-130.结合选项可知 选 B.

[点评] ①当 a=-152或-130时,最优解有无穷多个,它们都包括 C(23,45),故本题若是

填空题应包括区间端点,填[-152,-130].

②由于 C 是最优解,故不可能有 a>0.当 a>0 时最优解应在 A 和 B 处获得.

??x+y-11≥0, 58.(2010·北京理,7)设不等式组?3x-y+3≥0,
??5x-3y+9≤0

表示的平面区域为 D.若指数函数 y

=ax 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( )

A.(1,3]

B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞)

[答案] A

[解析]作出区域 D,联系指数函数 y=ax 的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点

(2,9)时,a 可以取到最大值 3,而显然只要 a 大于 1,图象必然经过区域内的点.

??x-y≤0 59.(2011·辽宁沈阳二中检测)已知?x+y≥0
??y≤a

,若 z=x+2y 的最大值是 3,则 a 的值

是( ) A.1 C.0 [答案] A

B.-1 D.2

[解析] 画出可行域如图,∵z=x+2y 的最大值为 3,∴y=-2x+2z经过可行域内的点

A(a,a)时,z 取到最大值 3,∴a+2a=3,∴a=1.

??y-2x≤0 60.不等式组?x+2y+3>0 表示的平面区域内的整点个数为( )
??5x+3y-5<0

A.2

`

B.3

C.4

D.5

[答案] B

[解析] 不等式 y-2x≤0 表示直线 y-2x=0 的右下方区域(含边界),x+2y+3>0 表示

直线 x+2y+3=0 右上方区域(不含边界),5x+3y-5<0 表示直线 5x+3y-5=0 左下方区

域,所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分,即如图所示的△ABC 区域.

可求得 A(-35,-65),B(151,1110),C(179,-270),所以△ABC 区域内的点(x,y)满足-35≤ x<179,-270<y<1110.
∵x,y∈Z,∴0≤x≤2,-2≤y≤0,且 x,y∈Z. 经检验,共有三个整点(0,0),(1,-1),(2,-2).
??2x+y≥4 61.(2009·宁夏海南)设 x,y 满足?x-y≥-1 ,则 z=x+y( )
??x-2y≤2
A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 [答案] B

[解析]

??2x+y≥4 如图所示,阴影部分就是满足?x-y≥-1
??x-2y≤2

的可行域,作 l0:x+y=0,将 l0

作平行移动,可知在 A 点取得最小值,无最大值;

由???x-2y=2 ??2x+y=4

,得 A(2,0),∴zmin=2+0=2.

62.在△ABC 中,三顶点分别为 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在△ABC 内部及

其边界上运动,则 m=y-x 的取值范围为( )

A.[1,3]

B.[-3,1]

C.[-1,3]

D.[-3,-1]

[答案] C

[解析] ∵直线 m=y-x,斜率 k1=1>kAB=23

∴经过 C 时 m 最小为-1,经过 B 时 m 最大为 3.

??y≤1 63.(2010·全国卷文,3)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0
??x-y-2≤0

,则 z=x-2y 的最大

值为( ) A.4 C.2 [答案] B [解析] 先作出可行域如图.

B.3 D.1

作直线 x-2y=0 在可行域内平移,当 x-2y-z=0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大.

当移至 A(1,-1)时,zmax=1-2×(-1)=3,故选 B. 64.设集合 U={(x,y)|x、y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},

那么点 P(2,3)∈A∩?UB 的条件是( ) A.m>-1,n<5

B.m<-1,n<5

C.m>-1,n>5

D.m<-1,n>5

[答案] A

[解析] 由题设点 P(2,3)满足 2x-y+m>0 和 x+y-n>0,∴m>-1 且 n<5.

65.设

z=x-y,式中变量

x



y

满足条件???x+y-3≥0, ??x-2y≥0,

则 z 的最小值为(

)

A.1

B.-1

C.3

D.-3

[答案] A

[解析] 作出可行域如图中阴影部分.直线 z=x-y 即 y=x-z.经过点 A(2,1)时,纵截距

最大,∴z 最小.zmin=1.

2x+y≥12,
??2x+9y≥36, ? 66.变量 x、y 满足下列条件 2x+3y=24,
??x≥0,y≥0,

则使 z=3x+2y 最小的(x,y)是(

)

A.(4,5)

B.(3,6)

C.(9,2)

D.(6,4)

[答案] B

[解析] 检验法:将 A、B、C、D 四选项中 x,y 代入 z=3x+2y 按从小到大依次为 A、

B、D、C.然后按 A→B→D→C 次序代入约束条件中,A 不满足 2x+3y=24,B 全部满足,

故选 B. [点评] 本题用一般解法需先画出可行域,然后通过比较直线 3x+2y=z 的斜率 k=-32
与不等式组中各直线斜率的大小找出 z=3x+2y 的最小值点.解答过程较复杂,如果注意分 析会发现,使 z=3x+2y 最小的最优解一定在选项中,故将各选项代入 z=3x+2y 中按 z 值 从小到大排列,然后检验是否满足不等式组即可找出此最优解,这样解答简便多了.

??2x+y≤4 67.(2010~2011·辽宁鞍山高二期中)已知 x,y 满足约束条件?x+2y≤4
??x≥0,y≥0

,则 z=x

+y 的最大值是( )

4

8

A.3

B.3

C.2

D.4

[答案] B

[解析] 画出可行域为如图阴影部分.

由???x+2y=4 ??2x+y=4

,解得 A(43,43),

∴当直线 z=x+y 经过可行域内点 A 时,z 最大,且 zmax=83.

68.不等式组?????||xx+ -yy||≤ ≤11 ,表示的平面区域内整点的个数是(

)

A.0 C.4

B.2 D.5

[答案] D

[解析]

不等式组

??|x+y|≤1
?

变形为

??|x-y|≤1

x+y≤1

?? ??-1≤x+y≤1
?

,即

x+y≥-1

? ??-1≤x-y≤1

x-y≤1

??x-y≥-1

作出其平面区域如图.

可见其整点有:(-1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0,-1)和(1,0)共五个.

??x+2y-5≤0 x≥1
? 69.已知 x、y 满足 y≥0 ??x+2y-3≥0

,则yx的最值是(

)

A.最大值是 2,最小值是 1 B.最大值是 1,最小值是 0 C.最大值是 2,最小值是 0 D.有最大值无最小值 [答案] C

[解析]

x+2y-5≤0
??x≥1
作出不等式组
?y≥0 ??x+2y-3≥0

表示的平面区域如图.

yx表示可行域内点与原点连线的斜率.显然在 A(1,2)处取得最大值 2.在 x 轴上的线段 BC 上时取得最小值 0,∴选 C.

??x+2y-5≥0 70.(2011·浙江文,3)若实数 x,y 满足不等式组?2x +y-7≥0
??x≥0,y≥0

,则 3x+4y 的最小值

是( ) A.13

B.15

C.20

D.28

[答案] A [解析] 作出可行域如图所示,

令 z=3x+4y ∴y=-34x+4z 求 z 的最小值,即求直线 y=-34x+4z截距的最小值. 经讨论知点 M 为最优解,即为直线 x+2y-5=0 与 2x+y-7=0 的交点,解之得 M(3,1). ∴zmin=9+4=13.
??x+y-1≥0 71.已知?x-y+1≤0 ,z=x2+y2-4x-4y+8,则 z 的最小值为( )
??y≥1

32

9

A. 2

B.2

2

1

C. 2

D.2

[答案] D

[解析] z=(x-2)2+(y-2)2 为可行域内点到定点 A(2,2)距离的平方,画出可行域如图,

可行域内的点到定点 A 距离的最小值为 A 到直线 x-y+1=0 的距离 d= 22,故 zmin=12.

72.(x-2y+1)(x+y-3)<0 表示的平面区域为( )

[答案] C [解析] 将点(0,0)代入不等式中,不等式成立,否定 A、B,将(0,4)点代入不等式中, 不等式成立,舍去 D,故选 C.

x-y≥0
??2x+y≤2 ? 73.(2010~2011·桂林中学高二期中)若不等式组 y≥0
??x+y≤a

,表示的平面区域是一

个三角形,则 a 的取值范围是( )

A.a≥43

B.0<a≤1

C.1≤a≤43

D.0<a≤1 或 a≥43

[答案] D

[解析] 由图形知,要使平面区域为三角形,只需直线 l:x+y=a 在 l1、l2 之间或在 l3

上方.∴0<a≤1 或 a≥43.

74.在坐标平面上,不等式组?????yy≥≤x--31|x,|+1 所表示的平面区域的面积为(

)

3

A. 2

B.2

32 C. 2

D.2

[答案] B

[解析]

不等式组???y≥x-1

表示的平面区域如图.

??y≤-3|x|+1

解得:A(0,1) D(-1,0) B(-1,-2) C(12,-12) ∴S△ABC=12×|AD|×|xC-xB|=12×2×(12+1) =32,故选 B.

??x-y+2≤0 75.已知变量 x、y 满足约束条件?x≥1
??x+y-7≤0

,则yx的取值范围是(

)

A.??95,6??

B.??-∞,95??∪[6,+∞)

C.[3,6]

D.(-∞,3]∪[6,+∞)

[答案] A

[解析] 由约束条件画出可行域如图,yx可看作是点(x,y)与原点连线的斜率,

所以yx∈[kOC,kOA]=??95,6??.

2x+y≤40
??x+2y≤50 ? 76.若变量 x,y 满足 x≥0
??y≥0

,则 z=3x+2y 的最大值是(

)

A.90 C.70 [答案] C

B.80 D.40

[解析]

2x+y≤40
??x+2y≤50

?x≥0 ??y≥0

得可行域如图所示.

将 l0:3x+2y=0 在可行域内平行移动,移动到经过 B 点时,z=3x+2y 取最大值.

由???x+2y=50 ??2x+y=40

,得 B 点坐标为(10,20),

∴zmax=3×10+2×20=70,故选 C.

??y+x-1≤0, 77.已知变量 x、y 满足约束条件?y-3x-1≤0, 则 z=2x+y 的最大值为( )
??y-x+1≥0,

A.4 C.1 [答案] B [解析] 作出可行域如图,

B.2 D.-4

作直线 l0:2x+y=0,平移直线 l0 可见,当 l0 经过可行域内的点 B(1,0)时,z 取得最大 值,∴zmax=2×1+0=2.

78.下面给出的四个点中,到直线 x-y+1=0 的距离为 22,且位于?????xx+ -yy- +11<>00 表示

的平面区域内的点是( )

A.(1,1)

B.(-1,1)

C.(-1,-1)

D.(1,-1)

[答案] C

[解析] 把(1,1)代入 x+y-1<0 不成立,排除 A;

把(-1,1)代入 x-y+1>0 不成立,排除 B;而(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离为3 2 2, 排除 D,故选 C.

??x-y≥-1 79.设变量 x、y 满足约束条件?x+y≥1 ,则目标函数 z=4x+y 的最大值为( )
??3x-y≤3

A.4

B.11

C.12

D.14

[答案] B

[解析] 画出可行域可知目标函数最优解为 A(2,3),

所以 ymax=4×2+3=11.

??x≤0, 80.(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若 A 为不等式组?y≥0,
??y-x≤2

表示的平面区

域,则 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( )

A.9 13

B.3 13

C.72

D.74

[答案] D

[解析] 作出平面区域 A 如图,当 a 从-2 到 1 连续变化时,动直线 y=-x+a 从 l1 变

化到 l2,扫过 A 中的那部分平面区域为四边形 EOFG,其面积 S=S△OBE-S△FGB=12×2×2 -12×1×12=74.

??y≥1 81.已知实数 x,y 满足?y≤2x-1
??x+y≤m

,如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数

m 等于( )

A.7 C.4 [答案] B

B.5 D.3

[解析] 由选项知 m>0,作出可行域如图.目标函数 z=x-y 对应直线 y=x-z 经过可

行域内的点 A 时,-z 取最大值 1,从而 z 取最小值-1.

由???y=2x-1 ??x+y=m

,得 A(1+3 m,2m3-1),

∴z=1+3 m-2m3-1=2-3 m=-1,∴m=5.

82.设 0<a<b,且 a+b=1,则下列四个数中最大的是( )

1 A.2

B.a2+b2

C.2ab

D.a

[答案] B

[解析] ∵0<a<b,∴1=a+b>2a,∴a<12,

又∵a2+b2≥2ab,∴最大数一定不是 a 和 2ab,

∵1=a+b>2 ab,

∴ab<14,

∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-12=12,

即 a2+b2>12.故选 B.

解法 2:特值检验法:取 a=13,b=23,则

2ab=49,a2+b2=59,

∵59>12>49>13,∴a2+b2 最大.

83.已知 x<54,则函数 y=4x-2+4x-1 5的最大值是(

)

A.2

B.3

C.1

1 D.2

[答案] C

[解析] ∵x<54,∴4x-5<0,y=4x-2+4x-1 5

=4x-5+4x-1 5+3=3-???5-4x?+5-14x??

≤3-2=1,

等号在 5-4x=5-14x,即 x=1 时成立,故选 C.

84.设 a、b 是正实数,A= a+ b,B= a+b,则 A、B 的大小关系是( )

A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A<B

[答案] C

[解析] ∵a>0,b>0,∴A>0,B>0,

A2-B2=(a+b+2 ab)-(a+b)

=2 ab>0,∴A2>B2 ∵A>0,B>0,∴A>B. [点评] 可取特值检验. 85.某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b,这两年的平 均增长率为 x,则( )

A.x=a+2 b

B.x≤a+2 b

C.x>a+2 b

D.x≥a+2 b

[答案] B

[解析] ∵这两年的平均增长率为 x

∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b)

∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由题设 a>0,b>0.

∴1+x= ?1+a??1+b?≤?1+a?+2 ?1+b?

=1+a+2 b,∴x≤a+2 b

等号在 1+a=1+b 即 a=b 时成立.∴选 B.

86.(2009·天津)设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1a+1b的最小值为(

)

A.8

B.4

C.1

1 D.4

[答案] B

[解析] 根据题意得 3a·3b=3,∴a+b=1,

∴1a+1b=a+a b+a+b b=2+ba+ab≥4.

当 a=b=12时“=”成立.故选 B.

87.已知 x>0、y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则?a+cdb?2的最

小值是( )

A.0

B.1

C.2

D.4

[答案] D

[解析] 由等差、等比数列的性质得

?a+cdb?2=?x+xyy?2=xy+yx+2≥2 yx·xy+2=4.当且仅当 x=y 时取等号,∴所求最小值为

4.

88.已知 0<a<1,0<x≤y<1,且 logax·logay=1,那么 xy( )

A.无最大值也无最小值

B.无最大值而有最小值

C.有最大值而无最小值

D.有最大值也有最小值

[答案] C

[解析] ∵0<a<1,0<x≤y<1,∴logax>0,logay>0 1=logax·logay≤(logax+2 loga y)2=(12logaxy)2

=(loga xy)2

∵0< xy<1,∴loga xy>0,∴loga xy≥1

∴0< xy≤a,∴0<xy≤a2

等号在 logax=logay 即 x=y 时成立 ∴xy 有最大值 a2,在 x=y=a 时取得;无最小值,选 C.

89.若直线 ax+by+1=0(a、b>0)过圆 x2+y2+8x+2y+1=0 的圆心,则1a+4b的最小值

为( )

A.8

B.12

C.16

D.20

[答案] C

[解析] ∵圆心(-4,-1)在所给直线上,

∴4a+b=1.

∴1a+4b=(1a+4b)(4a+b)=8+ba+1b6a

≥8+2 16=16. 等号在ba=1b6a,即 a=18,b=12时成立,故选 C. 90.若 x>0,y>0,且 x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )

A.x+1 y≤14

B.1x+1y≥1

C. xy≥2

D.x1y≥1

[答案] B

[解析] 取 x=1,y=2 满足 x+y≤4 排除 A、C、D 选 B.

具体比较如下:∵0<x+y≤4,∴x+1 y≥14故 A 不对; ∵4≥x+y≥2 xy,∴ xy≤2,∴C 不对;又 0<xy≤4,∴x1y≥14,∴D 不对;1x+1y=x+xyy

≥2 xyxy=

2, xy

∵ 1xy≥12,∴1x+1y≥1.

91.已知正数 x、y 满足4x+9y=1,则 xy 有( )

A.最小值 12 C.最小值 144 [答案] C

B.最大值 12 D.最大值 144

[解析] ∵x,y∈R+,∴1=4x+9y≥2

36 xy

=12

1 xy

∴xy≥144. 等号在4x=9y=12,即 x=8,y=18 时成立.

92.设 x、y 满足 x+4y=40,且 x,y 都是正数,则 lgx+lgy 的最大值为( )

A.40

B.10

C.4

D.2

[答案] D

[解析] ∵x,y∈R+,∴40=x+4y≥2 4xy=4 xy∴xy≤100.

∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg 100=2.等号在 x=4y=20,即 x=20,y=5 时成立.

93.实数 x,y 满足 x+2y=4,则 3x+9y 的最小值为( )

A.18

B.12

C.2 3

D.4 3

[答案] A

[解析] ∵x+2y=4,∴3x+9y=3x+32y

≥2 3x·32y=2 3x+2y=2 34=18,

等号在 3x=32y 即 x=2y 时成立.

∵x+2y=4,∴x=2,y=1 时取到最小值 18.

94.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则??a12-1????b12-1??的最小值为(

)

A.6

B.7

C.8

D.9

[答案] D

[解析] ∵a+b=1,a>0,b>0,

∴ab≤14,等号在 a=b=12时成立.

∴??a12-1????b12-1??=1-a2a2·1-b2b2

=?1+aa2 ?·b·?1+b2b?a=?1+aa?b?1+b?

=2+abab=a2b+1≥21+1=9,故选 D. 4

95.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则1a

+1b的最小值为( )

A.14

B.12

C.2

D.4

[答案] D

[解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为 4,而直线被圆截得的弦长

为 4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1,

∴1a+1b=??1a+1b??(a+b)=1+1+ba+ab

≥2+2 ba×ab=4 (等号在 a=b=12时成立).

故所求最小值为 4,选 D.

96.(2009·天津)设 x,y∈R,a>1,b>1.若 ax=by=3,a+b=2 3,则1x+1y的最大值

为( )

A.2

3 B.2

C.1

1 D.2

[答案] C [解析] ∵ax=by=3,∴x=loga3,y=logb3, 又 a+b≥2 ab,∴ab≤(a+2 b)2=3.

∴1x+1y=log3a+log3b=log3ab≤1.故选 C.

97.(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末)若 a>0,b>0 且 a+b =4,则下列不等式恒成立的是( )

A.a1b>12

B.1a+1b≤1

C. ab≥2

D.a2+1 b2≤18

[答案] D [解析] ∵a>0,b>0,a+b=4,∴ ab≤a+2 b=2,

∴ab≤4,∴a1b≥14,

∴1a+1b=aa+bb=a4b≥1,故 A、B、C 均错,选 D.

[点评] 对于 D 有,a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥16-2×4=8,∴a2+1 b2≤18.

98.a,b∈R+,则a+2 b, ab,a2+abb三个数的大小顺序是(

)

A.a+2 b≤ ab≤a2+abb

B. ab≤a+2 b≤a2+abb

C.a2+abb≤ ab≤a+2 b

D. ab≤a2+abb≤a+2 b

[答案] C

[解析] 取 a=2,b=8,则a+2 b=5, ab=4,a2+abb=3.2

∴选 C.

比较如下:已知a+2 b≥ ab,又 ab-a2+abb



ab?a+b-2 a+b

ab?=

ab? a- a+b

b?2≥0



ab≥a2+abb.也可作商比较

ab 2ab

= a+b≥1. 2 ab

a+b

99.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则有( )

A.1<ab<a2+2 b2

B.ab<1<a2+2 b2

C.ab<a2+2 b2<1

a2+b2 D. 2 <ab<1

[答案] B [解析] 特值法:取 a=-1,b=3 则 ab=-3,a2+2 b2=5 排除 A、C、D 选 B.

比较如下:

a2+2 b2-1=a2+2b2-2=?a+b?2-2 2-2ab=1-ab

∵a,b∈R 且 a≠b,若 ab≤0,则有 1-ab>0;

若 ab>0,∵a+b=2,∴a,b∈R+,∴2=a+b>2 ab ∴ab<1,∴1-ab>0.总有a2+2 b2-1>0,∴a2+2 b2>1;

由上面可知 1>ab,∴选 B.

100.(2008·四川)已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )

A.(-∞,-1]

B.(-∞,0)∪(1,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

[答案] D

[解析] 设等比数列的公比为 x(x≠0),则有

S3=x+1+1x(x≠0),

∵当 x>0 时,x+1x≥2;x<0 时,x+1x≤-2,

∴S3=x+1+1x的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞),故选 D.

101.(2011·山东潍坊一中期末)设 a,b 是两个实数,且 a≠b,①a5+b5>a3b2+a2b3,②

a2+b2≥2(a-b-1),③ab+ba>2.上述三个式子恒成立的有(

)

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

[答案] B [解析] ①a5+b5-(a3b2+a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+ b)(a2+ab+b2)>0 不恒成立;(a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥

0 恒成立;ab+ba>2 或ab+ba<-2,故选 B.

102.(2010~2011·福建省福州市高二期中)设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数

列,且 a1=b1,a21=b21,则( )

A.a11=b11

B.a11>b11

C.a11<b11

D.a11≥b11

[答案] D

[解析] ∵an>0,bn>0,a1=b1,a21=b21, ∴a11=a1+2 a21=b1+2 b21≥ b1b21=b11,等号成立时,b1=b21,即此时{an},{bn}均为常

数列,故选 D.

103.设 a、b 是正实数,给出以下不等式:

① ab>a2+abb;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+a2b>2,其中恒成立的序号为

() A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

[答案] D

[解析] ∵a、b∈R+时,a+b≥2 ab,∴2a+abb≤1,

∴a2+abb≤ ab,∴①不恒成立,排除 A、B;

∵ab+a2b≥2 2>2 恒成立,故选 D.

104.设 a、b、c 都是正实数,且 a、b 满足1a+9b=1,则使 a+b≥c 恒成立的 c 的取值

范围是( )

A.(0,8]

B.(0,10]

C.(0,12]

D.(0,16]

[答案] D

[解析] 解法 1:∵a、b 都是正实数,且1a+9b=1,

∴a+b=(a+b)·??1a+9b??

=10+ba+9ba≥10+2 ba·9ba=16,

当且仅当ba=9ba即 b=3a 时等号成立, 此时 a=4,b=12,∴(a+b)min=16. ∵a+b≥c 恒成立,∴0<c≤16.

解法 2:由1a+9b=1 得 b+9a=ab, ∴(a-1)(b-9)=9, 又∵1a+9b=1,a>0,b>0,

∴a>1,b>9,
∴(a-1)(b-9)≤???a-1?+2 ?b-9???2
∴a+b≥16,等号在 a-1=b-9=3 时成立, ∴要使 a+b≥c 恒成立,应有 0<c≤16. 105.已知 R1、R2 是阻值不同的两个电阻,现分别按图①②连接,设相应的总阻值分别 为 RA、RB,则 RA 与 RB 的大小关系是( )

A.RA>RB

B.RA=RB

C.RA<RB [答案] A

D.不确定

[解析] RA=R1+2 R2,RB=R21R+1RR22, RA-RB=R1+2 R2-R21R+1RR22=?R1+2?RR21?+2-R42?R1R2 =2?R?R1-1+RR2?22?>0,所以 RA>RB. 106.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对应边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等差数列,

则∠B 的范围是( )

A.(0,π6]

B.(0,π3]

C.(π6,π]

D.(π3,π]

[答案] B

[解析] ∵a、b、c 成等差数列,∴b=a+2 c.

∵cosB=a2+2ca2c-b2=a2+c2-2a??ca+2 c??2

=3a2+83ac2c-2ac

≥2 3a2·83acc2-2ac=6ac8-ac2ac=12(等号在 a=c 时成立).

又∵y=cosx 在(0,π)内是减函数,∴0<B≤3π.

107.若 A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a、b、x∈R),则 m=AB,n=ab,p=

A2+B2,z=a2+b2 满足( )

A.m≥n,p≥z

B.m≤n,p≤z

C.mn≥pz

D.m+z≥p+n

[答案] D

[解析] AB=(a2+b2)sin2xcos2x+ab(sin4x+cos4x)

=ab+(a-b)2sin2xcos2x≥ab,∴m≥n,

p=A2+B2=(A+B)2-2AB=(a+b)2-2AB,

z=a2+b2=(a+b)2-2ab,∴p≤z,

∴m+z≥p+n.

二 填空题

1.若 a>b,则 a3 与 b3 的大小关系是________.

[答案] a3>b3 2.若 x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则 x 与 y 的大小关系是________. [答案] x<y [解析] x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, ∴x<y. 3.给出四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推得1a<1b成立 的是________. [答案] ①、②、④ [解析] 1a<1b?ba-ba<0, ∴①、②、④能使它成立. 4.a≠2、b≠-1、M=a2+b2、N=4a-2b-5,比较 M 与 N 大小的结果为________. [答案] M>N [解析] ∵a≠2,b≠-1,∴M-N=a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2>0,∴M>N.

5.已知 a>b>0,且 c>d>0,则 ad与 bc的大小关系是________.

[答案]

ad>

b c

[解析] ∵c>d>0∴1d>1c>0,

∵a>b>0∴ad>bc>0,



ad>

b c.

6.设 A=log20112200112212121212+ +11,B=log20112200112223232323+ +11,则 A 与 B 的大小关系为________.

[答案] A>B [解析] 设 20121111=x,则 A=log2011xx2++11, B=log2011xx32++11,x>1, ∵xx2++11-xx32++11=?x2+x?x1-??x13?+2 1?>0,log2011x 为增函数, ∴log2011xx2++11>log2011xx23+ +11,即 A>B.

7.设 a>b>0,m>0,n>0,则 p=ba,q=ab,r=ba+ +mm,s=ab+ +nn的大小顺序是________.

[答案] p<r<s<q

[解析] 取 a=4,b=2,m=3,n=1,则 p=12,q=2,r=37,s=53则 p<r<s<q(特值

探路).

具体比较如下:

p-r=ba-ba+ +mm=?ab?- a+am?m?<0,∴p<r,

∵a>b>0,m>0,n>0

∴a+m>b+m>0.a+n>b+n>0

∴ba++mm<1,ab+ +nn>1,∴r<s,

或 r-s=ab++mm-ab+ +nn=?b-?aa+??bm+??ab++mn+ ? n?<0.

∴r<s,

s-q=ab+ +nn-ab=?bb?-b+a?n·n? <0,∴s<q.

∴p<r<s<q

[点评] 由本题可知,小于 1 的正分数,分子、分母加上同一个正数后其值变大,大于

1 的正分数,分子、分母加上同一个正数后,其值变小.

8.不等式 x(3-x)≥x(x+2)+1 的解集是________.

[答案] ?

[解析] 化为:2x2-x+1≤0.△=-7<0.

9.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x -3 -2 -1 0

1

2 34

y6

0 -4 -6 -6 -4 0 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________.

[答案] {x|x<-2 或 x>3}

[解析] 由表知 x=-2 时 y=0,x=3 时,y=0.

∴二次函数 y=ax2+bx+c 可化为

y=a(x+2)(x-3),又当 x=1 时,y=-6,∴a=1.

∴不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<-2 或 x>3.

10.已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是{x|x<-2,或 x>-12},则不等式 ax2

-bx+c>0 的解集为________.

[答案] {x|12<x<2}

[解析] 由条件知,-2 和-12是方程 ax2+bx+c=0 的两根,且 a<0.

∴-2-12=-ba,(-2)×(-12)=ac,

∴b=52a,c=a.

从而不等式 ax2-bx+c>0 化为 a(x2-52x+1)>0.

∵a<0,∴2x2-5x+2<0.

即(x-2)(2x-1)<0,解得12<x<2.

∴不等式的解集为{x|12<x<2}.

11.(2008·山东)若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为

________.

[答案] (5,7)

[解析] 不等式|3x-b|<4?-4<3x-b<4?b-3 4<x<b+3 4,若不等式的整数解只有 1,2,3,

则 b 应满足 0≤b-3 4<1 且 3<b+3 4≤4,即 4≤b<7 且 5<b≤8,

∴5<b<7.

12.若关于 x 的不等式(a-x)(b-x)>0 的解集为{x|x<a 或 x>b},则实数 a,b 的大小

关系是________.

[答案] a<b

13.若关于 x 的不等式 x2-3kx-x+2k2+k<0 的解集中只有一个整数 1,则 k 的取值范

围________.

[答案] (0,12]

[解析] 不等式化为 x2-(3k+1)x+k(2k+1)<0,

由(2k+1)-k>0 得 k>-1.

∴当 k>-1 时, k<x<2k+1,

当 k=-1 时,不等式无解.

当 k<-1 时,2k+1<x<k.

∵不等式的解集中含有整数 1,

∴不等式的解为 k<x<2k+1,

∵不等式的解集中的整数只有 1,

∴???0≤k<1 ??1<2k+1≤2

,∴0<k≤12,

又 k>-1,∴k 的取值范围是(0,12].

14.点 P(1,a)到直线 x-2y+2=0 的距离为3 5 5,且 P 在 3x+y-3>0 表示的区域内,

则 a=________.

[答案] 3

[解析]

由条件知,|1-2a+2|=3 5

5

5,∴a=0



3,又点

P



3x+y-3>0

表示的区域

内,∴3+a-3>0, ∴a>0,∴a=3. 15.△ABC 顶点坐标为:A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3),写出表示△ABC 所在区域的二
元一次不等式组(包括边界)________.

[答案]

??x+2y-1≥0 ?x-y+2≥0 ??2x+y-5≤0

[解析] 如图所示.

可求得直线 AB、BC、CA 的方程分别为 x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0. 由于△ABC 所在区域 Ω 在直线 AB 的右上方,∴x+2y-1≥0; Ω 在直线 BC 右下方,∴x-y+2≥0; Ω 在直线 AC 左下方,∴2x+y-5≤0,
??x+2y-1≥0, 所以△ABC 区域可表示为?x-y+2≥0,
??2x+y-5≤0.

??x≤1, 16.不等式?x-y+1≥0,
??2x+y+2≥0

表示的平面区域的面积是________.

[答案] 6 [解析] 作出平面区域如图△ABC,A(-1,0)、B(1,2)、C(1,-4),S△ABC=12·|BC|·d=12×

6×2=6. (d 表示 A 到直线 BC 的距离.)

17.(2011·辽宁铁岭六校联考)设 a>0.点集 S 内的点(x、y)满足下列所有条件:①a2≤x ≤2a,②a2≤y≤2a,③x+y≥a,④x+a≥y,⑤y+a≥x.那么 S 的边界是一个________边形(填 边数).
[答案] 6

[解析]

?2a≤x≤2a
首先由
??a2≤y≤2a

围成正方形 ABCD,又结合?????xx- -yy≥ ≤- a a 位于二平行直线

l1x-y=-a 和 l2x-y=a 之间.

再结合,x+y≥a 可知.围成的区域是多边形 APQCRS.它是一个六边形.

??x-4y≤-3, 18.已知变量 x、y 满足条件?3x+5y≤25,
??x≥1,

设 z=2x+y,取点(3,2)可求得 z=8,取

点(5,2)可求得 zmax=12,取点(1,1)可求得 zmin=3,取点(0,0)可求得 z=0,点(3,2)叫做________, 点(0,0)叫做________,点(5,2)和点(1,1)均叫做________.

[答案] 可行解,非可行解,最优解.

??0≤x≤4, 19.已知 x、y 满足条件?0≤y≤3,
??x+2y≤8,

则 z=2x+5y 的最大值为________.

[答案] 19

[解析] 可行域如图.

当直线 y=-25x+5z经过直线 y=3 与 x+2y=8 交点(2,3)时,z 取最大值 zmax=19. [点评] 本题中须据直线 x+2y=8 的斜率 k1=-12与直线 2x+5y=z 的斜率 k2=-25比较 大小.k1<k2 以确定经过哪个点时 z 取最大值.(注意直线的斜率 k>0 时.逆时针方向旋转 斜率由小变大.k<0 时,逆时针方向旋转.斜率也是由小变大.即直线与 x 轴夹角越大, 斜率的绝对值越大.)

??x-4y≤-3 20.已知实数 x,y 满足下列条件?3x+5y≤25,
??x≥1

设 t=yx,则 t 的最小值为________.

[答案]

2 5

[解析] 作出可行域为如图所求的△ABC 及其内部,yx表示可行域内的点(x,y)与原点连 线的斜率,由图可知,kOB≤t≤kOC,

由???x-4y=-3 ??3x+5y=25

得 B(5,2),易知 C(1,252),

∴kOB=25,kOC=252, ∴25≤t≤252,故 t 的最小值为25.

??x+y≤1, 21.设 x、y 满足约束条件?y≤x,
??y≥0,

则 z=2x+y 的最大值是________.

[答案] 2 [解析] 可行域如图,当直线 z=2x+y 即 y=-2x+z 经过点 A(1,0)时,zmax=2.

22.由 y≤2,|x|≤y≤|x|+1,围成的几何图形面积为________. [答案] 3

[解析]

??y≤2
?
??|x|≤y≤|x|+1

??y≤2 化为?x≥0
??x≤y≤x+1

??y≤2 或?x≤0
??-x≤y≤-x+1

作出其图形如图中

阴影部分,面积 S=12AB·OM-12CD·NM. =12×4×2-12×2×1=3.

??x+y≥2, 23.(2009·浙江)若实数 x,y 满足不等式组?2x-y≤4,
??x-y≥0.

则 2x+3y 的最小值是________.

[答案] 4 [解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分),

作直线 l0:2x+3y=0 当直线 l0 平移到过点 A(2,0)时,2x+3y 取最小值.(2x+3y)min=2×2+0=4. 24.由直线 x+y+2=0,x+2y+1=0 和 2x+y+1=0 围成的三角形区域(包括边界)用 不等式可表示为______.

[答案]

??x+y+2≥0 ?x+2y+1≤0 ??2x+y+1≤0

[解析] ∵三角形区域在直线 x+y+2=0 的右上方,又原点在直线 x+y+2=0 的右上 方,且 0+0+2>0,
∴三角形区域在 x+y+2≥0 表示的区域内,同理可确定三角形区域在 x+2y+1≤0 和

??x+y+2≥0 2x+y+1≤0 的区域内.故用不等式表示该平面区域为?x+2y+1≤0 .
??2x+y+1≤0

??x-y+3≥0 25.设变量 x、y 满足约束条件?x+y≥0
??-2≤x≤3

,则目标函数 2x+y 的最小值为________.

[答案] -32

[解析] 设 z=2x+y,画出可行域如图,最优解为 M??-32,32??,zmin=-32.

x+y≤5,
??2x+y≤6, ? 26.图中阴影部分的点满足不等式组 x≥0,
??y≥0,
+8y 取得最大值的点的坐标是________.

在这些点中,使目标函数 k=6x

[答案] (0,5)

[解析] ∵直线 k=6x+8y 即 y=-34x+8k的斜率 k1=-34>-1.故经过点(0,5)时.直线的

纵截距8k最大.从而 k 最大.

27.已知 a 是正实数,x= 1 ,y= 2a 2

a1+1,z=

1 a+

,则 a+1

x、y、z

从大到小的

顺序是__________.

[答案] x>z>y

[解析] ∵a>0,∴2 a< a+ a+1<2 a+1

∴1> 2a

1 a+

a+1>2

1 ,即 a+1

x>z>y.

28.设正数 a 使 a2+a-2>0 成立,t>0,比较12logat 与 logat+2 1的大小,结果为__________.

[答案] 12logat≤logat+2 1

[解析] ∵a2+a-2>0,∴a<-2 或 a>1

又 a>0,∴a>1,

∵t>0,∴t+2 1≥ t,∴logat+2 1≥loga t=12logat.

29.已知 a>b>1,P= lga·lgb,Q=12(lga+lgb),R=lg(a+2 b),则 P、Q、R 的大小关系

是________.

[答案] P<Q<R

[解析] 因为 a>b>1,所以 lga>lgb>0,

所以12(lga+lgb)> lga·lgb,即 Q>P,

又因为a+2 b>

ab,所以

a+b lg 2 >lg

ab=12(lga+lgb),所以 R>Q.故 P<Q<R.

[点评] (1)根据 P、Q、R 式子的结构,应用重要不等式,再运用函数 y=lgx 的单调性.

(2)若把条件改为 1>a>b>0,P、Q、R 的大小关系怎样?

30.设点(m,n)在直线 x+y=1 位于第一象限内的图象上运动,则 log2m+log2n 的最大 值是________.

[答案] -2

[解析] ∵(m,n)在直线 x+y=1 位于第一象限的图象上运动,

∴m+n=1 且 m>0,n>0.

∴mn≤??m+2 n??2=14,当且仅当 m=n=12时等号成立.

∴log2m+log2n=log2(mn)≤log214=-2.

∴log2m+log2n 的最大值为-2. 31.已知 x,y 为正数,且 x2+y22=1,则 x 1+y2的最大值是__________.

[答案]

32 4

[解析] 解法 1:∵x2+y22=1,∴y2=2-2x2.

又 x,y∈R+,

∴x 1+y2= x2?1+y2?= x2?3-2x2? = 12?2x2??3-2x2?≤ 22·2x2+?32-2x2?=3 4 2,

等号在 2x2=3-2x2,即 x= 23,y= 22时成立.

解法 2 :∵x>0,∴x 1+y2= 2·错误!) 又 x2+(12+y22)=(x2+y22)+12=32
x2?12+y22?≤x2+?212+y22?=34

∴x

1+y2≤3

4

2 .

等号在 x2=12+y22,即 y= 22,x= 23时成立.

即(x

1+y2)max=3

4

2 .

32.一批救灾物资随 17 列火车以 v 千米/小时的速度匀速直达 400 千米以外的灾区,为

了安全起见,两



火车的













v (20

)2

千米,则这批物资全部运送到灾区最少需

__________小时.

[答案] 8

[解析] 物资全部运到灾区需 t=400+1v6×?2v0?2

=40v0+2v5≥8 小时,等号成立时,4v00=2v5,即 v=100. 故最少要用 8 小时 33.已知 a、b 为实常数,函数 y=(x-a)2+(x-b)2 的最小值为__________. [答案] 12(a-b)2 [分析] 从函数解析式的特点看,本题可化为关于 x 的二次函数,再通过配方求其最小 值(留给读者完成).但若注意到(x-a)+(b-x)为定值,则用变形不等式a2+2 b2≥(a+2 b)2 更简 捷. [解析] y=(x-a)2+(x-b)2≥ 2[?x-a?+2 ?b-x?]2=?a-2b?2. 当且仅当 x-a=b-x,即 x=a+2 b时,上式等号成立. ∴当 x=a+2 b时,ymin=?a-2 b?2. 34.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别

为每平方米 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为__________元. [答案] 1760 [解析] 设水池池底的一边长为 x m,则另一边长为4x m,则总造价为:
y=480+80×??2x+2×4x??×2=480+320??x+4x ??
≥480+320×2 x×4x=1 760. 当且仅当 x=4x 即 x=2 时,y 取最小值 1 760. 所以水池的最低总造价为 1 760 元. 35.已知2x+3y=2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是________. [答案] 6 [分析] 此类题一般利用基本不等式转化为 xy的不等式求解. [解析] 2x+3y≥2 x6y,∴2 x6y≤2,∴xy≥6. 36.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、 BC 的距离乘积的最大值是________. [答案] 3 [解析] 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为 y 轴建立直角坐标系,设 P(x,y),则 AB 方程 为3x+4y=1, ∵x,y∈R+,∴1=3x+4y≥2 1xy2, ∴xy≤3. 37.函数 y=loga(x+3)-1(a>1,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则m1 +2n的最小值为________. [答案] 8 [解析] ∵y=loga(x+3)-1,恒过点(-2,-1), ∴A(-2,-1),又点 A 在直线上, ∴-2m-n+1=0.即 2m+n=1. 又 mn>0,∴m>0,n>0. 而m1 +2n=2mm+n+4m+n 2n =2+mn +2+4nm≥4+2 4=8.

当 n=12,m=14时取“=”.∴m1 +2n的最小值为 8.

三 解答题

1.有粮食和石油两种物质,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机

的运输效果如下表:

方式

效果 种类

轮船运输量(t)

飞机运输量(t)

粮食

300

150

石油

250

100

现在要在一天内运输 2 000 t 粮食和 1 500 t 石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足

的所有不等关系的不等式.

[解析] 设需安排 x 艘轮船和 y 架飞机,则

300x+150y≥2 000
??250 x+100 y≥1 500 ?x≥0 ??y≥0

6x+3y≥40
??5x+2y≥30
,∴
?x≥0 ??y≥0

.

2.如果 30<x<42,16<y<24.分别求 x+y、x-2y 及xy的取值范围. [解析] 46<x+y<66;-48<-2y<-32; ∴-18<x-2y<10; ∵30<x<42,214<1y<116,∴2340<xy<4126, 即54<xy<281. 3.(1)若 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小; (2)设 a>0,b>0 且 a≠b,试比较 aabb 与 abba 的大小. [解析] (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y) ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). (2)根据同底数幂的运算法则. aaabbbba=aa-b·bb-a=(ab)a-b 当 a>b>0 时,ab>1,a-b>0,

则(ab)a-b>1,于是 aabb>abba.

当 b>a>0 时,0<ab<1,a-b<0,

则(ab)a-b>1,于是 aabb>abba.

综上所述,对于不相等的正数 a、b,都有 aabb>abba.

[点评] 实数大小的比较问题,除利用 a-b>0?a>b 外,还常常利用不等式的基本性质

或“ab>1,且 b>0?a>b”来解决,比较法的关键是第二步的变形,一般来说,变形越彻底,

越有利于下一步的判断.

4.设 x>0,y>0,且 x+y>2,求证1+x y与1+y x中至少有一个小于 2.

[解析] 假设都不小于 2,即1+x y≥2,1+y x≥2,

∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.

两式相加得:2+x+y≥2x+2,y∴x+y≤2.

这与 x+y>2 矛盾,∴假设不成立.

故在1+x y与1+y x中至少有一个小于 2.

[点评] 不等式的证明,有些情形下要用反证法.

反证法证题步骤为:①作出与结论相反的假设.

②依据假设和题目条件及已知定理、公理、结论等进行推理,得出矛盾.③否定假设,

肯定原题设结论正确.

反证法常用于否定性命题,惟一性命题,以及结论中出现“至多”、“至少”等限制条

件的命题.

5.实数 a、b、c、d 满足下列三个条件:

①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.

请将 a、b、c、d 按照从大到小的次序排列,并证明你的结论.

[解析]

③?d-b<c-a ???????d-b<b-d ????d<b, ②?c-a=b-d?? ??a-c<c-a ??a<c.

由①式得 b>d>c>a. 6.已知 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.

[解析] f(1)=a-c,f(2)=4a-c.

∴a=13[f(2)-f(1)],c=-43f(1)+13f(2)

∴f(3)=9a-c=83f(2)-53f(1)

∵-1≤f(2)≤5,∴-83≤83f(2)≤430 又-4≤f(1)≤-1,∴53≤-53f(1)≤230 ∴-1≤f(3)≤20. 7.已知 a、b、c 满足:a、b、c∈R+,a2+b2=c2,当 n∈N,n>2 时,比较 cn 与 an+ bn 的大小. [解析] ∵a、b、c∈R+,∴an、bn、cn>0.
而an+cn bn=??ac??n+??bc??n.
∵a2+b2=c2,∴0<ac<1,0<bc<1.
∵n∈N,n>2,∴??ac??n<??ac??2,??bc??n<??bc??2, ∴an+cn bn=??ac??n+??bc??n<a2+c2 b2=1,∴an+bn<cn.
8.老丁同时收到甲、乙两家公司的聘用通知,甲公司给出的年薪为 24 000 元,且以后 每年都比上一年增加年薪 800 元,乙公司给出的年薪为 18 000 元,且以后每年都比上一年 增加年薪 1 550 元.如果老丁对甲、乙两公司的满意度相同,请你给老丁出出主意,他该去 哪家公司应聘?
[解析] 设第 n 年甲、乙两公司给出的年薪分别为 an,bn,则数列{an}、{bn}均为等差 数列,其中 a1=24000,d=800,则其前 n 项和 An=24000n+n?n2-1?×800=400n2+23600n, b1=18000,d′=1550,则其前 n 项和 Bn=18000h+n?n2-1?×1550=775n2+17225n,
令 Bn-An≥0 得 375n2-6375n≥0,∴n≥17. 答:老丁若应聘 17 年以下应去甲公司;应聘 17 年,两公司均可,若应聘 17 年以上, 则应去乙公司. 9.已知函数 f(x)=x3+x,(x∈R), (1)指出 f(x)在(-∞,+∞)上的奇偶性及单调性; (2)若 a,b,c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0,判断 f(a)+f(b)+f(c)的符号. [解析] (1)由定义知,f(x)为奇函数,且为增函数. (2)∵a+b>0,∴a>-b, ∴f(a)>f(-b)=-f(b), 同理,由 b+c>0,得 f(b)>-f(c), 由 c+a>0 得,f(c)>-f(a), 相加得 f(a)+f(b)+f(c)>-[f(a)+f(b)+f(c)],

即 f(a)+f(b)+f(c)>0. [点评] 应用函数的单调性也是比较数的大小中常用的方法. 10.解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0 (2)4x2+4x+1<0 (3)x2-3x+5>0 (4)-3x2+6x>2 [解析] ①{x<-12或 x>2} ②? (3)R
④{x|1- 33<x<1+ 33}. 11.解不等式:1<x2-3x+1<9-x. [解析] 由 x2-3x+1>1 得,x2-3x>0 ∴x<0 或 x>3; 由 x2-3x+1<9-x 得,x2-2x-8<0,∴-2<x<4. 借助数轴可得:{x|x<0 或 x>3}∩{x|-2<x<4}={x|-2<x<0 或 3<x<4}. 12.(2010~2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)某机床厂今年年初用 98 万元购进 一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始, 每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元, 设使用 x 年后数控机床的盈利总额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值). [解析] (1)y=50x-[12x+x?x-2 1?×4]-98 =-2x2+40x-98. (2)解不等式-2x2+40x-98>0 得, 10- 51<x<10+ 51. ∵x∈N,∴3≤x≤17,故工厂从第 3 年开始盈利. 13.已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(单位:m)与速度(单位:km/h)的平方及汽车 总质量成正比,设某辆卡车不装货物以 60 km/h 的速度行驶时,从刹车到停车走了 20 m.如 果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面 20 m 处有障碍物,这时为了能在离障碍 物 5 m 以外处停车,最大限制时速应是多少?(结果保留整数,设卡车司机发现障碍物到踩 刹车需经过 1 s) [解析] 设汽车总质量 x t,速度为 v km/h,刹车距离为 S m,则 S=kv2 x.由条件 k·602x =20. ∴kx=1180. 又速度为 v 时,1s 钟行驶路程为

s1=36v00×1000=51v8. 依题意 20-5-s1≥2kxv2,整理得 v2+25v-1350≤0,∵v≥0,∴v≤5 2421-25, ∴最大限速为 26 km/h. 14.m 为何值时,关于 x 的方程 8x2-(m-1)x+(m-7)=0 的两根: (1)为正数; (2)异号且负根绝对值较大; (3)都大于 1; (4)一根大于 2,一根小于 2. [解析] 设方程两根为 x1,x2 则
??△≥0, (1)?x1+x2>0,
??x1x2>0.

[-?m-1?]2-4×8×?m-7?≥0,
??即 --?m8-1?>0, ?m-8 7>0.

解得 7<m≤9 或 m≥25.

??△>0, (2)?x1+x2<0,
??x1x2<0.

[-?m-1?]2-4×8×?m-7?>0,
??--?m8-1?<0, ?m-8 7<0.

解得 m<1.

??△≥0, (3)?x1+x2>2,
???x1-1??x2-1?>0.

?m-1?2-32?m-7?≥0,
??即 m-8 1>2, ?m-8 7-m-8 1+1>0,

??m≤9或m≥25, ∴?m>17,
??m∈R,

∴m≥25.

??△>0 (4)????x1-2??x2-2?<0

或令 f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7),则 f(2)<0,∴m>27.

15.解下列关于 x 的不等式.

(1)x2-(a+1)x+a>0;

(2)ax2-(a+1)x+1>0(a≠0);

(3)x2-(a+1)x+1>0.

[解析] (1)变形为(x-a)(x-1)>0,当 a>1 时,x>a 或 x<1;当 a=1 时,x∈R 且 x

≠1;当 a<1 时,x>1 或 x<a.

(2)变形为(ax-1)(x-1)>0,令1a=1 得 a=1.

∴当 a=1 时,x∈R 且 x≠1;当 a>1 时,0<1a<1,∴x<1a或 x>1,当 0<a<1 时,x

<1 或 x>1a;当 a<0 时,1a<x<1.

(3)△=(a+1)2-4=a2+2a-3≥0,∴a≤-3 或 a≥1.

∴当 a=1 时,x∈R 且 x≠1;当 a=-3 时,x∈R 且 x≠-1;

当 a<-3 或 a>1 时,x<a+1-

a22+2a-3或 x>a+1+

a2+2a-3 2

当-3<a<1 时,x∈R.

[点评] 注意从以下三个方面讨论:

①二次项系数的正负;

②判别式△的符号;

③两根的大小(特别是 a<0 时).

16.二次函数 f(x)满足 f(-2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,解不等式 f(x)

>-1.

[解析] 设 f(x)=a(x-m)2+8

∴?????aa??- -21- -mm??22+ +88= =- -11 ,

∴m=-32,a=-36,∴f(x)=-36(x+32)2+8,

∴f(x)>-1 即-36(x+32)2+8>-1

∴(x+32)<14,∴-12<x+32<12,

∴-2<x<-1.

[点评] 注意观察所给条件及待解不等式可以发现 f(-2)=f(-1)=-1,且解不等式 f(x)>

-1,故可设 g(x)=f(x)+1,∴条件变为 g(-2)=g(-1)=0,及 g(x)的最大值为 9,从而可知

g(x)的图象是开口向下的抛物线与 x 轴两交点(-2,0),(-1,0),∴f(x)>-1,即 g(x)>0 的解集

为-2<x<-1.

多思少算既简化了解题过程,又优化了思维.

17.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 1 百台时又需可

变成本(即需另增加投入)0.25 万元,市场对此商品的需求量为 5 百台,销售的收入函数为 R(x)

=5x-12x2(万元),(0≤x≤5),其中 x 是产品生产并售出的数量.(单位:百台)

(1)把利润表示为年产量的函数.

(2)年产量为多少时,企业所得利润最大?

[解析] (1)设利润为 y.

则 y=?????RR??x5??--00..55--00..2255xx

?0≤x≤5? ?x>5?.

∴y=???-12x2+4.75 x-0.5?0≤x≤5? . ??12-0.25x ?x>5?

(2)y=-12(x-4.75)2+10.78125,∴x=4.75 时即年产量为 475 台时企业所得利润最大. 18.预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,椅子数不能少于桌子数, 但不多于桌子数的 1.5 倍.问桌子、椅子数应满足什么条件,并在直角坐标系中画出相应的 区域. [解析] 设买桌子 x 张、椅子 y 把.

??50x+20y≤2 000 y≥x 则由题意得
?y≤1.5x ??x,y∈N*

??5x+2y≤200 x-y≤0 即:
?3x-2y≥0 ??x,y∈N*

画出相应平面区域如图,所求桌子、椅子数应为△OAB 平面区域内的整点坐标.

19.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t、B 种矿石 5

t、煤 4 t,生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t.工厂在生产这两种产品 的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t.列出满足 生产条件的关系式,并画出平面区域.

分析:如表

资源

产品 消费量

甲产品 (1 t)

乙产品 (1 t)

资源限额 (t)

A 种矿石

10

4

300

B 种矿石

5

4

200



4

9

360

[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt,则

10x+4y≤300
??5x+4y≤200 ?4x+9y≤360 ??x≥0,y≥0.

平面区域如图所示.

20.经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2)、B(2,1)的线段总有公共点, 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
[解析] 由题意知直线 l 斜率存在,设为 k. 则可设直线 l 的方程为 kx-y-1=0, 由题知:A、B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧,所以有: (k+1)(2k-2)≤0 ∴-1≤k≤1.

[点评]

另外参考解法有

①kPA≤k≤kPB.数形结合法. ②直线 l:y=kx-1,与线段 AB:y=3x-5(1≤x≤2)有公共点

∴方程组???y=kx-1 ??y=3x-5

在 1≤x≤2 上有解.

消去 y 得,x=3-4 k,

∴1≤3-4 k≤2,∴-1≤k≤1.

都不如原解法简便.

??x-2y+1>0, 21.画出不等式组?x+2y+1≥0,
??1<|x-2|≤3

表示的平面区域.

[解析] 不等式 x-2y+1>0 表示直线 x-2y+1=0 右下方的点的集合; 不等式 x+2y+1≥0 表示直线 x+2y+1=0 上及其右上方的点的集合; 不等式 1<|x-2|≤3 可化为-1≤x<1 或 3<x≤5,它表示夹在两平行线 x=-1 和 x=1 之间或夹在两平行线 x=3 和 x=5 之间的带状区域,但不包括直线 x=1 和 x=3 上的点.所 以,原不等式表示的区域如上图所示.
??5x+3y≤15 22.求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件?y≤x+1
??x-5y≤3
[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分.

∵目标函数为 z=3x+5y, ∴作直线 l0:3x+5y=0.当直线 l0 向右上平移时,z 随之增大,在可行域内以经过点 A(32,

52)的直线 l1 所对应的 z 最大.类似地,在可行域内,以经过点 B(-2,-1)的直线 l2 所对应

的 z 最小,∴zmax=17,zmin=-11,∴z 的最大值为 17,最小值为-11.

x<3
?? 2y≥x ? 23.求不等式组 3x+2y≥6
??3y<x+9

表示的平面区域的面积.

[解析] 不等式 x<3 表示直线 x=3 左侧点的集合. 不等式 2y≥x,即 x-2y≤0 表示直线 x-2y=0 上及左上方点的集合. 不等式 3x+2y≥6,即 3x+2y-6≥0 表示直线 3x+2y-6=0 上及右上方点的集合. 不等式 3y<x+9 即 x-3y+9>0 表示直线 x-3y+9=0 右下方点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域为如图阴影部分. 因为平面区域为四边形形状,设顶点分别为 A、B、C、D,如图. 可知 A(0,3)、B(32,34)、C(3,32)、D(3,4) S 四边形 ABCD=S 梯形 AOED-S△COE-S△AOB =12(OA+DE)·OE-12OE·CE-12OA·xB =12(3+4)×3-12×3×32-12×3×32=6 [点评] 本题求平面区域面积的方法还有: 把四边形 ABCD 分割成两个三角形,如△ABC 和△ACD,再求面积.即利用割补的办 法转化成能求面积的几何图形去求解. 24.某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送 180 吨支援物资的任务.已知该公司 有 8 辆载重 6 吨的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每 天往返的次数为:A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次.列出调配车辆的数学关系式,画出平面区 域. [解析] 设每天派出 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆

?? x+y≤10. 24x+30y≥180.
?则 x≤8, ??y≤4
x,y∈N*

?? x+y≤10 4x+5y≥30
?即 x≤8 ??y≤4
x,y∈N*

画出平面区域为图中阴影部分:

25.购买 8 角和 2 元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有 10 元钱, 问有多少种买法?

[解析]

??0.8x+2y≤10. 设购买 8 角和 2 元邮票分别为 x 张、y 张,则?x,y∈N
??x≥2,y≥2

即?????2xyx≥ ≥,x+22y∈5y≤N 25

∴2≤x≤12,2≤y≤5,

当 y=2 时,2x≤15,∴2≤x≤7,有 6 种; 当 y=3 时,2x≤10,∴2≤x≤5 有 4 种; 当 y=4 时,2x≤5,∴2≤x≤2,∴x=2 有一种;

当 y=5 时,由 2x≤0 知 x≤0,∵x≥2,∴无解. 综上可知,不同买法有:6+4+1=11 种. [点评] 本题采用的解法是穷举法.也可以画出可行域.数出其中的整点数求解.

26.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成 A、B、C 三种规格,每根钢管可同时截得三

种规格的短钢管的根数如下表所示:

钢管类型

规格类型 A 规格 B 规格 C 规格

甲种钢管

2

1

4

乙种钢管

2

3

1

今需 A、B、C 三种规格的钢管各 13、16、18 根,问各截这两种钢管多少根可得所需三

种规格钢管,且使所用钢管根数最少. [解析] 设需截甲种钢管 x 根,乙种钢管 y 根,则

?? 2x+2y≥13, x+3y≥16,
?4x+y≥18, ??x≥0,
y≥0.

作出可行域如图:

目标函数为 z=x+y,作出一组平行直线 x+y=t(t 为参数),经过可行域内的点且和原 点距离最近的直线必经过直线 4x+y=18 和直线 x+3y=16 的交点 A(1318,1416),直线方程为 x +y=8141.由于1318和1416都不是整数,所以可行域内的点(3181,4161)不是最优解.
∵7<8141<8,且 x+y=7 与可行域无公共点, ∴经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=8,经过的整点是 B(4,4),它 是最优解. 综上所述知,应截取甲、乙两种钢管各 4 根可得所需三种规格钢管且使所用根数最少. [点评] 此例的解法是,先依条件列出不等式组,作出可行域,不考虑 x、y 为整数的 条件,求出符合题中其他条件的最优解,然后看此最优解是否为非负整数解,若是非负整数 解,则即为所求.若不是非负整数解,则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最 远(或最近)的点的直线,这个非负整数解就是最优解. 27.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨,需经过东车站和西车站 两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨,乙煤矿运往东车站和西车 站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少? [解析] 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤,乙煤矿向东车站运 y 万吨煤,那么总运费 z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)即 z=716-0.5x-0.8y.

??? x、y 应满足

x≥0, y≥0 200-x≥0, 260-y≥0,

?x+y≤280, ??200-x?+?260-y?≤360,

??0≤x≤200

即?0≤y≤260



??100≤x+y≤280

作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.

设直线 x+y=280 与 y=260 的交点为 M,则 M(20,260).把直线 l0:5x+8y=0 向上平 移至经过平面区域上的点 M 时,z 的值最小.
∵点 M 的坐标为(20,260), ∴甲煤矿生产的煤向东车站运 20 万吨,向西车站运 180 万吨,乙煤矿生产的煤全部运 往东车站时,总运费最少. 28.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g,乙种 烟花每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g.已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、 B 药品 400 g、C 药品 240 g.甲种烟花每枚可获利 2 元,乙种烟花每枚可获利 1 元,问每 天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.

[解析]

?? 3x+2y≤120, 4x+11y≤400,
? 设每天生产甲种烟花 x 枚,乙种烟花 y 枚,获利为 z 元,则 4x+6y≤240, ??x≥0
y≥0,

作出可行域如图所示.

目标函数为:z=2x+y.

作直线 l:2x+y=0,将直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 A(40,0) 且与原点的距离最大.此时 z=2x+y 取最大值.

故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润.

29.(2010~2011·辽宁鞍山市高二期中)某承包户承包了两块鱼塘,一块准备放养鲫鱼,

另一块准备放养鲤鱼,现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料 A、B、C,每千克鱼苗所需饲料

量如下表:

鱼类 鱼料 A 鱼料 B 鱼料 C

鲫鱼苗 15kg

5kg

8kg

鲤鱼苗

8kg

5kg

18kg

如果这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍,目前

这位承包户只有饲料 A、B、C 分别为 120kg、50kg、144kg,问如何放养这两种鱼苗,才能

使得成鱼的重量最重.

[解析] 设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为 ω=30x+50y(x,y≥0),其限制条件



作出可行域如图,作直线 l0:3x+5y=0,平移直线

l0 当平移到经过可行域内的点 C(3.6,6.4)时,ω=30x+50y 取最大值,ωmax=428.

因此,当鲫鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg 时,成鱼的重量达到最重 428kg. 30.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需 求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品

的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,

通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:

资金

单位产品所需资金(百元)

月资金供应量 (百元)

空调机

洗衣机

成本

30

20

300

劳动力(工资)

5

10

110

单位利润

6

8

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

[解析] 设生产空调机 x 台,洗衣机 y 台,则 30x+20y≤300,5x+10y≤110,x、y∈N,

??3x+2y≤30 即?x+2y≤22,
??x,y∈N

利润 z=6x+8y.由?????x3+x+2y2=y=2230

得???x=4 ??y=9

,画图可知当直线 6x+8y=z 经

过可行域内点 A(4,9)时,z 取最大值,zmax=6×4+8×9=96(百元).

答:生产空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获最大利润 9600 元. 31.已知 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. [分析] 这是一个不等式问题,似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关,但仔细分 析后可发现,本题的实质是:

已知实数

a、c

满足不等式组???-4≤a-c≤-1 ??-1≤4a-c≤5

,求 9a-c 的最值;此即线性规划问题,

因此可以用线性规划的方法求解.

[解析]

由已知得???-4≤a-c≤-1, ??-1≤4a-c≤5.

a-c≥-4,
??a-c≤-1,

?4a-c≥-1, ??4a-c≤5;

目标函数 f(3)=9a-c.令 z=9a-c 作出可行域,如图

由图可知,目标函数 z=9a-c 分别在点 A、B 处取得最值.

由???4a-c=-1, ??a-c=-1,

得 A(0,1).

由???a-c=-4, ??4a-c=5,

得 B(3,7).

将两组解分别代入 z=9a-c 中得 z 的两个最值分别为-1 和 20.∴-1≤z≤20,

∴f(3)的取值范围为[-1,20].

32.关于 x 的方程 x2+ax+2b=0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内,求ba- -21的取值范围.

[解析] ba- -21可以转化为点(a,b)与 M(1,2)连线的斜率.由题知 x2+ax+2b=0 两根在(0,1)

与(1,2)内,

??b>0 可令 f(x)=x2+ax+2b.必满足 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即?1+a+2b<0
??2+a+b>0

,由线性规划

可知:

点 M(1,2)与阴影部分连线的斜率 k 的取值范围为 kAM<k<kBM, ∵A(-3,1),B(-1,0),∴kAM=14,kBM=1. ∴14<ba- -21<1.

33.设 a、b、c 都是正数,求证:a+1b,b+1c,c+1a三个数中至少有一个不小于 2. [解析] 假设 a+1b,b+1c,c+1a都小于 2,即 a+1b<2,b+1c<2,c+1a<2, 则 a+1b+b+1c+c+1a<6 当 a、b、c 都是正数时, a+1b+b+1c+c+1a =(a+1a)+(b+1b)+(c+1c) ≥2 a·1a+2 b·1b+2 c·1c=6 与上式矛盾. ∴a+1b,b+1c,c+1a至少有一个不小于 2. 34.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将 物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对 吗?证明你的结论. [解析] 不对.设左右臂长分别为 l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为 a、b, 真实重量为 G,则由杠杆平衡原理有: l1·G=l2·a,① l2·G=l1·b,② ①×②得 G2=ab,∴G= ab,由于 l1≠l2,故 a≠b, 由均值不等式a+2 b> ab知说法不对, 真实重量是两次称量结果的几何平均数. 35.某商场预计全年分批购入每台 2 000 元的电视机共 3 600 台.每批都购入 x 台(x 是 自然数)且每批均需付运费 400 元.贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视 机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入 400 台,则全年需用去运输和保管总费用 43 600 元.现在全年只有 24 000 元资金可以支付这笔费用,请问,能否恰当安排每批进货数量, 使资金够用?写出你的结论,并说明理由. [解析] 设总费用为 y 元(y>0),且将题中正比例函数的比例系数设为 k,则 y=3 6x00× 400+k(2 000x),依条件,当 x=400 时,y=43 600,可得 k=5%, 故有 y=1440x000+100x ≥2 1440x000·100x=24 000(元).

当且仅当1440x000=100x,即 x=120 时取等号. 所以只需每批购入 120 台,可使资金够用.

36.设 x+ y≤k x+y对一切 x,y∈R+都成立,求 k 的最小值.

[解析]

∵x,y∈R+时, x+ y≤k

x+y恒成立,即 k≥

x+ y恒成立,令 x+y

p=

x+ y, x+y

只要 k≥pmax 即可,下面求 pmax, ∵p2=x+yx++2y xy≤2(等号在 x=y 时成立)

∴p≤ 2,从而 k≥ 2.∴k 的最小值为 2. 37.已知正常数 a、b 和正变数 x、y,满足 a+b=10,ax+by=1,x+y 的最小值为 18,

求 a、b 的值. [解析] x+y=(x+y)·1=(x+y)·(ax+by)

=a+b+axy+byx≥a+b+2 ab=( a+ b)2

等号在axy=byx即yx= ba时成立

∴x+y 的最小值为( a+ b)2=18 又 a+b=10 ∴ab=16. ∴a,b 是方程 x2-10x+16=0 的两根 ∴a=2,b=8 或 a=8,b=2. 38.(2010~2011·桂林中学高二期中)为迎接世博会,要设计如图的一张矩形广告牌,该 广告牌含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三个栏的面积之和为 60000cm2,四周空白 的宽度为 10cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺 寸(单位:cm),能使整个矩形广告牌面积最小.

[解析] 设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab=20000,∴b=20a000. 广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm(其中 a>0,b>0). 广告牌的面积 S=(a+20)(3b+30)

=30(a+40a000)+60600 ≥30×2 a×40a000+60600=72600 当且仅当 a=40a000,即 a=200 时取等号, 此时 b=100. 故当广告牌矩形栏目的高为 200cm,宽为 100cm 时,可使广告牌的面积最小. 39.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花 钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试求: (1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? [解析] (1)设正面铁栅长 x m,侧面长为 y m,总造价为 z 元,则 z=40x+2×45y+20xy =40x+90y+20xy,仓库面积 S=xy. 由条件知 z≤3 200,即 4x+9y+2xy≤320. ∵x>0,y>0, ∴4x+9y≥2 4x·9y=12 xy. ∴6 S+S≤160,即( S)2+6 S-160≤0. ∴0< S≤10,∴0<S≤100. 故 S 的取值范围是(0,100]. (2)当 S=100 m2 时,4x=9y,且 xy=100. 解之得 x=15(m),y=230(m). 答:仓库面积 S 的取值范围是(0,100],当 S 取到最大允许值 100 m2 时,正面铁栅长 15 m. 40.图画挂在墙上,它的下边缘在观察者的眼睛上方 a 米处,而上边缘在 b 米处,问观 察者站在离墙多远的地方,才能使视角最大?(如图)
[解析] 如图,tanα=ax,tanβ=bx.

∴tanθ=tan(β-α)=1t+anβta-nαtatannαβ =1bx+-axaxb2 =xb+-aaxb,

∵x+axb≥2 x·axb=2 ab(x>0,a>0,b>0). ∴tanθ≤b-a ,
2 ab 当且仅当 x=axb即 x= ab时取“=”. 又∵θ∈(0,π2)时,y=tanθ 是增函数,

∴x= ab时,θ 有最大值. 41.铁路线上 AB 段长 100 公里,工厂 C 到铁路的垂直距离 CA 为 20 公里,现在要在 AB 上某一点 D 处向 C 修一条公路,已知铁路每吨公里与公路每吨公里运费之比为 ,为了 使原材料从供应站 B 到工厂 C 的运费最省,D 点应设在何处? [解析] 设总运费为 y 元,铁路每吨公里运费 3k 元,公路每吨公里 5k 元,k∈R+,又 设 AD=x(公里),则 BD=(100-x)(公里),CD= 400+x2(公里), 则 y=3k·(100-x)+5k· 400+x2
=k(300-3x+5 400+x2) =k[300+(4 400+x2-4x)+( 400+x2+x)] =k[300+ 440×0+40x02+x+( 400+x2+x)]

≥k??300+2· ?

440×0+40x20+x×?

400+x2+x? ?? ?

=380 k(元)

当且仅当

4×400 = 400+x2+x

400+x2+x

即 x=15(公里)时等号成立.

答:当 D 点距离 A 点 15 公里时,运费最省.

42.已知:a、b、c 同号且互不相等,a+b+c=1,

求证:1a+1b+1c>9.

[解析] 左边=1a+1b+1c=a+ab+c+a+bb+c+a+cb+c

=1+ba+ac+1+ab+bc+1+ac+bc =(ba+ab)+(ac+ac)+(bc+bc)+3 ∵a+b+c=1 且 a、b、c 同号.∴a>0,b>0,c>0, ∴ba,ab,ac,ac,bc,bc均大于 0,又 a,b,c 互不相等,由基本不等式得ab+ba>2,ac+ac>2, bc+bc>2 于是,左边>2+2+2+3=9, ∴1a+1b+1c>9. 43.已知 a,b,c∈R+,求证ab2+bc2+ca2≥a+b+c. [解析] ∵a,b,c∈R+,ab2,bc2,ca2均大于 0, 又ab2+b≥2 ab2·b=2a, bc2+c≥2 bc2·c=2b, ca2+a≥2 ca2·a=2c, 三式相加得ab2+b+bc2+c+ca2+a≥2a+2b+2c, ∴ab2+bc2+ca2≥a+b+c. 44.某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元, 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折优惠(即 原价的 90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. [解析] (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨.由题意知,面粉的保 管等其它费用为 3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元,则 y1=1x[9x(x+1)+900]+6×1800 =90x0+9x+10800
≥2 90x0·9x+10800=10980.

当且仅当 9x=90x0,即 x=10 时取等号. 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少每隔 35 天购买一次面粉. 设该厂利用此优惠条件后,每隔 x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2 元,则 y2=1x[9x(x+1)+900]+6×1800×0.90 =90x0+9x+9720(x≥35) 令 f(x)=x+10x0(x≥35),x2>x1≥35,则
f(x1)-f(x2)=??x1+1x010??-??x2+1x020??
=?x2-x1??100-x1x2? x1x2
∵x2>x1≥35. ∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). 即 f(x)=x+10x0,当 x≥35 时为增函数. ∴当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10980. ∴该厂应该接受此优惠条件.

章节测试

一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分.

1.若 a<b<0,则( )

A.1a<1b

B.0<ba<1

C.ab>b2

D.ab>ba

解析:∵a<b<0,∴两边同乘以 b 得 ab>b2,故选 C.

答案:C

2.满足不等式 y2-x2≥0 的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( )

A.

B.

C.

D.

解析:取测试点(0,1)可知 C,D 错;再取测试点(0,-1)可知 A

错,故选 B.

答案:B

3.若 a,b∈R,则下列恒成立的不等式是( )

A.|a+2 b|≥ |ab|

B.ba+ab≥2

C.a2+2 b2≥???a+2 b???2

D.(a+b)???1a+1b???≥4

解析:???a+2 b???2=a2+b24+2ab≤a2+b2+4 a2+b2=a2+2 b2,当且仅当

a=b 时取等号,∴a2+2 b2≥???a+2 b???2.

答案:C

4.在 R 上定义运算☆,a☆b=ab+2a+b,则满足 x☆(x-2)<0

的实数 x 的取值范围为( )

A.(0,2)

B.(-2,1)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)

解析:根据定义得:x☆(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2

<0,解得-2<x<1,所以实数 x 的取值范围为(-2,1),故选 B.

答案:B

5.已知 a,b,c∈R+,且 ab+bc+ca=1,那么下列不等式中正

确的是( )

A.a2+b2+c2≥2

B.(a+b+c)2≥3

C.a1+b1+1c≥2 3

D.abc(a+b+c)≤13

解析:∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,三式相加可

知 2(a2+b2+c2)≥2(bc+ab+ac),

∴a2+b2+c2≥1.

∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥1+2.

∴(a+b+c)2≥3.

答案:B

6.若不等式???13???x2-2ax<33x+a2 恒成立,则 a 的取值范围为(

)

A.0<a<1

B.a>43

C.0<a<34

D.a<34

解析:由题意得-x2+2ax<3x+a2 恒成立,即 x2+(3-2a)x+a2

>0 恒成立.所以 Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得 a>43,故选 B.

答案:B

7.已知变量 x,y 满足???xy≥≥11,, ??x+y-3≤0,

目标函数是 z=2x+y,

则有( ) A.zmax=5,zmin=3 B.zmax=5,z 无最小值 C.zmin=3,z 无最大值 D.z 既无最大值,也无最小值 解析:可行域为:

如图所示:z 在 A 点取得最小值,zmin=3, z 在 B 点取得最大值,zmax=5. 答案:A 8.若关于 x 的方程 9x+(4+a)·3x+4=0 有解,则实数 a 的取值 范围是( ) A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4] C.(-∞,4] D.(-∞,-8]

解析:分离变量:-(4+a)=3x+34x≥4,得 a≤-8.故选 D.

答案:D

9.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式

f?x?-xf?-x?<0 的解集为(

)

A.(-1,0)∪(1,+∞)[来源:gkstk.Com]

B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(0,1)

解析:f?x?-xf?-x?=2fx?x?<0.

(1)当 x>0 时,f(x)<0,

又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(1)=0,

∴0<x<1.

(2)当 x<0 时,f(x)>0,

∵f(x)在(-∞,0)上也为增函数,f(-1)=0,

∴-1<x<0.

答案:D

10.已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=1a+1b+1c,则( )

A.T>0

B.T<0

C.T=0

D.T≥0

解析:方法一:取特殊值,a=2,b=c=-1,

则 T=-23<0,排除 A,C,D,可知选 B.

方法二:由 a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负,不妨设 a

>0,b<0,c<0,

则 T=1a+1b+1c=ab+abbcc+ca=ab+acb?bc+a?=aba-bcc2. ∵ab<0,-c2<0,abc>0,故 T<0,应选 B. 答案:B
第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.函数 y= 6-1x-x2的定义域是__________. 解析:要使函数有意义,只需 6-x-x2>0,即 x2+x-6<0. ∵Δ=1+24=25>0,∴方程 x2+x-6=0 有两个不相等的实数 根分别为-3,2. ∴不等式 x2+x-6<0 的解为-3<x<2, ∴函数的定义域为{x|-3<x<2}. 答案:{x|-3<x<2}[来源:学优] 12.若 x>y>z>1,则 xyz, xy, yz, zx从大到小依次排列 为__________. 解析:取特殊值法,由 x>y>z>1, 可取 x=4,y=3,z=2,分别代入得
xyz=2 6, xy=2 3, yz= 6, zx=2 2. 故 xyz> xy> xz> yz. 答案: xyz> xy> xz> yz 13.已知不等式(x+y)???1x+ay???≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 正实数 a 的最小值为__________. 解析:∵(x+y)???1x+ay???=1+ayx+yx+a≥1+a+2 a=( a+1)2,∴ ( a+1)2≥9,∴a≥4.

答案:4 14.若正数 x,y 满足 2x+y-3=0,则x+xy2y的最小值为__________. 解析:由题意:2x+y-3=0?23x+3y=1,[来源:学优] ∴x+xy2y=2x+1y=???2x+1y???·???23x+3y???=23???yx+xy???+53≥23·2+53=3, 当且仅当 x=y=1 时取得最小值. 答案:3 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分.[来源:gkstk.Com] 15.(12 分)已知 a,b 是不相等的两个正数,求证:(a+b)(a3+ b3)>(a2+b2)2. 证明:∵(a+b)(a3+b3)-(a2+b2)2 =(a4+ab3+ba3+b4)-(a4+2a2b2+b4) =ab(a-b)2,(6 分) ∵a,b∈R+且 a≠b, ∴ab>0,(a-b)2>0, ∴ab(a-b)2>0. ∴(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.(12 分) 16.(12 分)已知函数 f(x)=-3x2+a(6-a)x+c. (1)当 c=19 时,解关于 a 的不等式 f(1)>0. (2)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),求实数 a,c 的值. 解:(1)由已知有:f(1)=-3+a(6-a)+19>0, 即 a2-6a-16<0,解得:-2<a<8. 所以不等式的解集为:(-2,8).(6 分)[来源:学优] (2)由关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3)可知:-1,3 是关 于 x 的 方 程 3x2 - a(6 - a)x - c = 0 的 两 个 根 , 则 有

Δ>0,
???-1+3=a?63-a?, ??-1×3=-3c

解得:a=3± 3,c=9.(12 分)

17.(12 分)已知 α,β 是方程 x2+ax+2b=0 的两根,且 α∈ [0,1], β∈[1,2],a,b∈R,求ba--31的最大值和最小值.

解:∵?????ααβ+=β2=b,-a,

?a=-?α+β?, ∴??b=α2β.

∵0≤α≤1,1≤β≤2,∴1≤α+β≤3,0≤αβ≤2.

∴???-3≤a≤-1, ??0≤b≤1.

(4 分)

建立平面直角坐标系 aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图 所示.
令 k=ba--31,可以看成动点 P(a,b)与定点 A(1,3)的连线的斜率. 取 B(-1,0),C(-3,1),则 kAB=32,kAC=21. ∴12≤ba--31≤32.

故ba--31的最大值是32,最小值是21.(12 分) 18.(14 分)某投资公司计划投资 A,B 两种金融产品,根据市场 调查与预测,A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y1=18- x+18100,B 产品的利润 y2 与投资金额 x 的函数关系为 y2=5x,(注:利 润与投资金额单位:万元) (1)该公司已有 100 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品中,其中 x 万元资金投入 A 产品,试把 A,B 两种产品 利润总和表示为 x 的函数,并写出定义域; (2)试问:怎样分配这 100 万元资金,才能使公司获得最大利润? 其最大利润为多少万元? 解:(1)其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100-x(万元)资金 投入 B 产品,利润总和 f(x)=18-x+18100+1005-x =38-5x-x+18100(x∈[0,100]).(6 分) (2)∵f(x)=40-???x+510+x+18100???,x∈[0,100], ∴由基本不等式得: f(x)≤40-2 36=28,取等号当且仅当x+510=x+18100时,即 x= 20.(12 分) 答:分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品,可 以使公司获得最大利润,最大利润为 28 万元.(14 分)


相关文章:
高中数学不等式知识点总结.doc
高中数学不等式知识点总结 - 弹性学制数学讲义 不等式(4 课时) ★知识梳理
不等式知识点归纳大全.doc
不等式知识点归纳大全 - 《不等式》知识点归纳 一.(1)解不等式是求不等式的解
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点归纳 - 基本不等式知识点总结 向量不等式: ? ? ? ? ?
不等式知识点归纳.doc
不等式知识点归纳 - 第三章不等式 3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性
不等式知识点总结.doc
不等式知识点总结 - 初中高中数学不等式总结。 包含知识、方法和经验汇总。 初中
必修五-不等式知识点总结.doc
必修五-不等式知识点总结 - 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:
基本不等式知识点归纳..doc
基本不等式知识点归纳. - 实用标准文档 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式
基本不等式知识点归纳.-共13页.doc
基本不等式知识点归纳.-共13页 - 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式 ab
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点归纳 - 基本不等式知识点总结 向量不等式: ? ? ? ? ?
基本不等式知识点归纳总结.doc
基本不等式知识点归纳总结 - 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式 ab ? a
高中不等式知识点总结.doc
高中不等式知识点总结 - 1.不等式的解法 (1) 同解不等式 ((1) f (
初中不等式知识点总结.doc
初中不等式知识点总结 - 初中不等式知识点总结 初中不等式知识点总结 一、不等式
高中数学不等式知识点总结.doc
高中数学不等式知识点总结 - 选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①(
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点归纳 - 雌群 看袜则拐踏浓 刺魁摩块耪 窍许搭嘿枝儿 华笨检辑
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点归纳 - 学习必备 欢迎下载 基本不等式知识点归纳 1.基本不等
必修五--不等式的知识点归纳和习题训练.doc
必修五--不等式的知识点归纳和习题训练 - 必修五:不等式 知识点一:不等式关系
高中数学不等式知识点总结教师版.doc
高中数学不等式知识点总结教师版 - 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考
不等式知识点归纳.doc
标签: 高一数学| 不等式| 不等式知识点归纳_高一数学_数学_高中教育_教育
高考不等式知识点总结.doc
高考不等式知识点总结 - 高考不等式知识点总结 高考不等式知识点总结 不等式这部
不等式知识点总结.doc
不等式知识点总结 - 不等式知识点总结 知识点: 1. (1)若 a, b ?