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河北省邯郸市2017届高三上学期质量检测(理数)


河北省邯郸市 2017 届高三上学期质量检测 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 A. 7 ? i

3 ? 4i z ,则 z 等于( ? i 1? i
B. 7 ? i

) D. ?7 ? 7 i

C. 7 ? 7 i

2.设集合 A ? ? x ? x ? 1?? 4 ? x ? ? 0? , B ? x 0 ? x ? 3 ,则 A ? B 等于( A. ? 0, 4 ? B. ? 4,9 ? C. ? ?1,4? ) D.
3 19

?

?



D. ? ?1,9?

3. 若 tan ? ? 4sin 420? ,则 tan ?? ? 60?? 的值为( A. ?
3 5

B.

3 3 5

C.

3 7

4.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 3 且 Sn ?1 ? 2Sn ,则 a 4 等于( A.6 B.12 C. 16 D.24



5. 直线 y ? 2b 与双曲线

x2 y 2 右支分别交于 B、 C 两点,O 为坐标 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左支、 a2 b2


原点,且 ?AOB 为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( A.
5 2

B.

3 2

C.

30 5

D.

3 5 5

6.若函数 f ? x ? ? log0.2 5 ? 4x ? x2 在区间 ? a ? 1, a ? 1? 上递减,且 b ? lg 0.2, c ? 20.2 ,则( A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c

?

?



7.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ,则记为 N ? n ? mod m? ,例如 10 ? 2 ? mod 4? .下面 程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的 i 等 于( A.4 ) B.8 C. 16 D.32

1

8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A.6 B.9 C. 12 D.18



? 2 x ? y ? 6 ? 0, ? ?7 4? a x y ? 仅在点 ? , ? 处取得最大值 9.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 若 a ? ? ?2,9? , 则z ? ?3 4? ? x ? 1 ? 0, ?

的概率为( A.

) B.

9 11

7 11

C.

6 11

D.

5 11

2 10. 已 知 抛 物 线 C : y ? 2 px ? 0 ? p ? 4? 的 焦 点 为 F , 点 P 为 C 上 一 动 点 ,

A ? 4, 0 ? , B p, 2 p ,且 PA 的最小值为 15 ,则等于(
A.4 B.

?

?



7 2

C. 5

D.

9 2

2

f ? x ? g ? x? ?? ? 11.已知 ? ? 0,a ? 0,f ? x? ? a sin? x ? 3a cos? x , g? x? ? 2 cos? x? ? ,h? x? ? 这 3 6? ?

个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示,则函数 g ? x ? ? h ? x ? 的图象的一条对称 轴方程可以为( A. x ? ) B. x ?

?
6

13? 6

C. x ? ?

23? 12

D. x ? ?

29? 12

? x ? x3 , x ? 1, 12.已知函数 f ? x ? ? ? 若关于 x 的方程 f ? f ? x ? ? =a 存在 2 个实数根, 则 a 的取 ? x ? 2, x ? 1,
值范围为( A . ) B .

??24,0?

? ??, ?24? ? ?0, 2?

C.

? ?24,3?

D. ? ??, ?24? ? ?0, 2?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. x 1 ?

?

x 的展开式中 x 2 的系数为

?

5



??? ? ??? ? 14.随机掷一枚质地均匀的骰子, 记向上的点数为 m , 已知向量 AB ? ? m,1? , BC ? ? 2 ? m, ?4? ,
设 X ? AB ? AC ,则 X 的数学期望 E ? X ? ?

??? ? ??? ?



15.在公差大于 1 的等差数列 ?an ? 中,已知 a12 ? 64, a2 ? a3 ? a10 ? 36 ,则数列 ? an ? 的前 20 项 和为 .

16.已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上, AB ? AC ? 5, BC ? 8 , AD ? 底面

ABC , G 为 ?ABC 的重心,且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为
面积为 .

1 ,则球 O 的表 2

3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A、 B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 2sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C . (1)若 b ? 2 a ? 4 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

c c2 的最小值,并确定此时 的值. ab a

18. (本小题满分 12 分) 已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示: (1)试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高? (2)通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势; (3)试以第 3 年的前 4 个月的数据(如下表) ,用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的 利润.
? xi ? x yi ? y
i ?1 n

相关公式: b ? i ?1

?

??

?

? xi ? x

n

?

?

2

? ? y ? bx ? . ? i ?1n ,a 2 2 ? x i ? nx
i ?1

? xi yi ? nx ? y

n

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? pn ,且 a2 , a5 , a10 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?
4n 2 ? 24 n ? 10 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

4

20. (本小题满分 12 分)
D, 底 面 A B C 为 D 矩 形 , 平 面 PAB ? 平 面 A B C , D 四 棱 锥 P ? A B C中
AB ? AP ? 3,AD ? PB ? 2 , E 为线段 AB 上一点,且 AE : EB ? 7: 2 ,点 F、G、M 分别为线

段 PA、PD、BC 的中点. (1)求证: PE ? 平面 ABCD ; (2)若平面 EFG 与直线 CD 交于点 N ,求二面角 P ? MN ? A 的余弦值.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 1? 的焦距为 2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 a 2 b2

4 ? ,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点,线段 AB 的 3
中点为 P . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D ,且 DP ?

3 2 ,求 k 的值. 7

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? ln x ? x ? ln x ? ? 1? a ? R? .
2 (1)若 ax ? ln x ,求证: f ? x ? ? ax ? ln x ?1 ;
2

?

?

(2)若 ?x0 ? ? 0, ?? ? , f ? x0 ? ? 1? x0 ln x0 ? ln x0 ,求 a 的最大值;
2

(3)求证:当 1 ? x ? 2 时, f ? x ? ? ax ? 2 ? ax ? .

5

数学(理科)参考答案
一、选择题 1.A

z?

?1 ? i ?? 3 ? 4i ? ? ?1 ? 7i ? 7 ? i .
i i

2.A ∵ A ? x ? 1 ? x ? 4 ? B ? x 0 ? x ? 9 ,∴ A ? B ? x 0 ? x ? 4 . 3.C ∵ tan ? ? 4sin 60? ? 2 3 ,∴ tan ?? ? 60? ? ?

?

?

?

?

?

?

2 3? 3 3 . ? 1? 2 3 ? 3 7

4.B ∵ S2 ? 2S1 ,∴ a1 ? a2 ? 2a1 ,∴ a1 ? a2 ? 3 ,∴ Sn ? 3 ? 2n?1 ,∴ a4 ? S4 ? S3 ? 12 . 5.B 由 ?ABC 为等腰直角三角形得,?ABO ? 45? ,∴ kOB ? 1 .联立 y ? 2b 与

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
2

得 x ? ? 5a ,∴点 B 的坐标为

?

? 5? b2 3 5a, 2b , 则 5a ? 2b , ∴ e ? 1? 2 ? 1? ? ? ? ? ? a 2 ? 2 ?

?

2 6.D 结 合 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f ? x ? ? log 0.2 5 ? 4 x ? x 的 递 减 区 间 为 ? ?1, 2? ,

?

?

∴ a ? 1 ? ?1, a ? 1 ? 2 ,∴ 0 ? a ? 1 ,又 b ? lg 0.2 ? 0, c ? 20.2 ? 20 ? 1 ,∴ b ? a ? c . 7.C

i ? 2, n ? 13, n ? 1? mod3? ; i ? 4, n ? 17, n ? 2? mod3? , n ? 2? mod5? ;i ? 8, n ? 25, n ? 1? mod3? ; i ? 16, n ? 41, n ? 2mod ?3? , n ? 1? mod5? ,则输出 i ? 16 .
8.B 该 几 何 体 是 一 个 直 三 棱 柱 切 去 右 上 方

1 部分所得,如下图所示,其体积为 4

3 1 ? ? 3 ? 4 ? 2=9 . 4 2

9.B 作出不等式组表示的可行域,可知点 ? , ? 为直线 2 x ? y ? 6 ? 0 与 x ? y ? 1 ? 0 的 交点,所以数形结合可得直线 z ? ax ? y 的斜率 ?a ? ?2 ,即 a ? 2 .故由几何概型可得所

?7 4? ?3 3?

6

求概率为

9?2 7 ? . 9 ? ? ?2 ? 11

2 10.D 设 P ? m, n ? m ? 0, n ? 2 pm ,

?

?

则 PA ?

? m ? 4?

2

? n2 ?

? m ? 4?

2

? 2 pm
2 2

? m2 ? ? 2 p ? 8? m ? 16 ? ? ?m ? ? p ? 4 ?? ? ? 16 ? ? p ? 4 ? ,
当 m ? 4 ? p (∵ 0 ? p ? 4 ,∴ 4 ? p ? 0 )时, PA 取得最小值 16 ? ? p ? 4 ? ? 15
2

又 0 ? p ? 4 ,则 p ? 3 .易知点 B 在抛物线 C 上,则 BF ? p ? 11.C f ? x ? ? 2a sin ? ? x ? ∴ f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

p 3p 9 ? ? . 2 2 2

? ?

??

? ,由 f ? x ?max ? 2 ? 2a 得 a ? 1 , 3?

? ?

??

?, 3?

? ?? ? g ? x ? ? 2cos ? x ? ? ,由图可知, 在 x ? 处没有意义的是曲线 h ? x ? 的图象, 而 g ? x ? 的 3 6? ?
图象在 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? 上的第一个最高点为 ? ? , 2 ? ,从而, g ? x ? 的图象为在 ? ? , 0 ? 上先增 ? 2 ? ? 6 ? ? 2 ?

后减的曲线,剩下的那条曲线就是 f ? x ? 的图象. ∵ T?

1 2

1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,∴ ? ? 2 , 2 ? 3 ? 6? 2 ? ?

∴ f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

??

? ?? ? ? ? ? , h ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ?? x ? ? k? ? , 3? 6 ?? 3 ? ?
? ?

∴ g ? x ? ? h ? x ? ? 2 2 sin ? x ? 令x?

?
6

?

??

5? ? ? ? ? 2 2 sin ? x ? ?, 4? 12 ? ?

5? ? ? = +k? ? x ? ? k? ? k ? Z ? 12 2 12

故选 C.

? x+4, x ? ?1, ? 3 12.B 设 g ? x ? ? f ? f ? x ? ? ? ? x ? 2 ? ? x ? 2 ? , ?1 ? x ? 1, ? 3 ? x ? x ? 2, x ? 1,

7

当 x ? ?1 时, g ? x ? 递增,∴ g ? x ? ? ? ??,3? 当 ?1 ? x ? 1 时, g ? ? x ? ? 1 ? 3 ? x ? 2 ? ? 0 , g ? x ? 递减,∴ g ? x ? ?? ?24,0? .
2

当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 1 ? 3x2 ? 0 , g ? x ? 递减,∴ g ? x ? ? ? ??,2? . 作出 g ? x ? 的图象,由图可知,当 a ?? ??, ?24? ? ?0,2? , f 13. ?10

? f ? x?? ? a 存在 2 个实数根.
3

x 1 ? x 的展开式中 x 2 的项为 xC52 ? x

?

?

5

?

?

? ?10 x2 .

14. 4 ∵ AC ? AB ? BC ? ? 2, ?3? ,∴ X ? AB ? AC ? 2m ? 3 , ∴ X 的分布列为

????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

∴E?X ? ?

1 ? ?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? 4 . 6

15. 812 ∵ a2 ? a5 ? a10 ? 3a5 =36 ,∴ a5 ? 12 .∵ a12 =64 ,∴ a1 ? ?8 . 当 a1 ? 8, d ? 1 ,不合题意.当 a1 ? ?8, d ? 5 ? 1 ,∴ an ? 5n ?13 . 故数列 an 的前 20 项和为 8 ? 3 ? 2 ? 16.

? ?

? 7 ? 87 ? ?17 ? 812 .
2
2 2 2 AE ? AE ? ? 52 ? 42 ? 2 ,因 3 3 3

634? 9

取 BC 的中点 E ,连接 AE ,则 AG ?

为 AD ? 底 面 ABC , 所 以 直 线 DG 与 底 面 ABC 所 成 角 为 ?AGD , 则

ta? n AGD ?

AD 1 ? , 所 以 AD ? 1 , 设 ?ABC 外 接 圆 的 半 径 为 r , 则 AG 2
2

AB 5 25 634 ? AD ? ,从而球 O 的表面积为 2r ? ? ? r ? ,所以 OD2 ? ? ? r2 ? ? s i? n ACB 3 6 34 ? 2 ? 5
4? ? OD 2 ? 634? . 9

8

17.(1)由正弦定理可得 2a 2 ? b2 ? c 2 , ∵ b ? 2 a ? 4 ,∴ c ? 2 6 ,
15 1 由余弦定理可得 cos C ? ? ,∴ sin C ? , 4 4 1 ∴ ?ABC 的面积为 ab sin C ? 15 . 2

(2)∵ 2a2 ? b2 ? c2 ? 2 2a2b2 ? 2 2ab , ∴

c2 ? 2 2 ,当且仅当 2a 2 ? b2 ,即 b ? 2a 时取等号, ab
2 2

此时 c ? 2 2ab ? 4a ,即 c ? 2a , 故

c c2 的最小值为 2 2 ,此时 ? 2 . a ab

18.解:(1)由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高. (2)第 1 年前 7 个月的总利润为 1 ? 2 ? 3 ? 5 ? 6 ? 7 ? 4 ? 28 (百万元), 第 2 年前 7 个月的总利润为 2 ? 5 ? 5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 5=31 (百万元), 第 3 年前 7 个月的总利润为 4 ? 4 ? 6 ? 6 ? 7 ? 6 ? 8=41 (百万元), ∴这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势. (3)∵ x ? 2.5, y ? 5,12 ? 22 ? 32 ? 44 ? 30,1? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 4 ? 6 ? 54 ,

?? ∴b

54 ? 4 ? 2.5 ? 5 ? 0.8 , 30 ? 4 ? 2.52

? ? 5 ? 2.5 ? 8 ? 3 , ∴a

∴? y ? 0.8x ? 3 , 当 x ? 8 时, ? y ? 0.8 ? 8 ? 3=9.4 (百万元),∴估计 8 月份的利润为 940 万元. 19.解:(1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1 ? p .

9

(2)由(1)可得 bn ?

? 2n ? 5?? 2n ? 7 ? ? 5 5 ? 1 1 ? ? ? ? ?1, ? 2n ? 5 ? ? ? 2 n ? 7 ? 2 ? 2 n ? 5 2 n ? 7 ? ?

5?1 1 1 1 1 1 ? 5n 14n 2 ? 54n ? ? n ? ? ∴ Tn ? n ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 ? 7 9 9 11 2n ? 5 2n ? 7 ? 14n ? 49 14n ? 49

1 PB 1 ? , 20.(1)证明:在等腰 ?APB 中, cos ?ABP ? 2 AB 3
4 2 2 1 32 ?2? 则由余弦定理可得 PE 2 ? ? ? ? 22 ? 2 ? ? 2 ? ? ,∴ PE ? . 3 3 3 9 ?3?
2

∴ PE 2 ? BE 2 ? 4 ? PB 2 ,∴ PE ? AB . ∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB , ∴ PE ? 平面 ABCD . (2)解:由已知可得 EN / / AD , 以 E 为坐标原点,EP、EB、EN 分别为 x 轴, y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示, 则 P?

?4 2 ? ? 2 ? , 0, 0 0, ,1? , N ? 0, 0, 2 ? , ? ? 3 ?, M ? ? 3 ? ? ? ???? ? ? ? ? 4 2 2 ? ???? 2 ? , ,1? , MN ? 0, ? ,1? . ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

从而 PM ? ? ? ?

设平面 PMN 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 n ? PM ? 0, n ? MN ? 0 , 即?

???? ?

???? ?

4 2 2 2 x ? y ? z ? 0, ? y ? z ? 0 , 3 3 3

令 y ? 3 ,可得平面 PMN 的一个法向量为 n ? ?

? 3 ? ,3, 2 ? . ? 2 ?

由(1)知平面 AMN 的一个法向量为 EP ? ?

??? ?

?4 2 ? , 0, 0 ? ? 3 ?, ? ?

??? ? cos n, EP ?

4 4 2 35 ? 3 2

?

3 35 , 35

10

由图可知二面角 P ? MN ? A 的平面角为锐角, 故二面角 P ? MN ? A 的余弦值为

3 35 . 35

21.解:(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 意知,
? ? ? 2c ? 2 ? 2 2 2 ,又 b ? 1 , ?a ? b ? c ? 2 4? 4 ?? 2 ?? ?b ? 3 ? ? ?c ? 3 ? ??

4 ,设右焦点的坐标为 ? c,0 ? ,依题 3

解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1, ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 将其代入

x2 y 2 ? ? 1 中得, ?3 ? 4k 2 ? x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 4 3

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 8k 3 ?6k , ? 2k ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

∴ y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2k ? ∵ P 为线段 AB 的中点,

? 4k 2 ?3k ? , ∴点 P 的坐标为 ? , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4 k ?

1 又直线 PD 的斜率为 ? , k

11

直线 PD 的方程为 y ?

?3k 1? 4k 2 ? ? ? x ? ? ?, 3 ? 4k 2 k? 3 ? 4k 2 ?

令 y ? 0 得, x ?

? k2 ? k2 ,由点 的坐标为 ,0 ? , D ? 2 2 3 ? 4k ? 3 ? 4k ?
2 2

? k2 4k 2 ? ? ?3k ? 3 k4 ? k2 3 2 4 2 ∴ DP ? ? ,∴ 17k ? k ? 18 ? 0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k 3 ? 4 k 3 ? 4 k 7 ? ? ? ?
2 ∴ k ? 1 ,∴ k ? ?1 .

22.解:(1)设 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 0? ,则 g ? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 0 ? x ? 1时, g ? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 递减;当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 递增. 所以当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 .
2 ∵ ax ? ln x ,∴ ax ? ln x ? ? ,∴ f ? x ? ? ax ? ln x ?? .
2 2

(2) 解:由 f ? x0 ? ? 1? x0 ln x0 ? ln x0 得 ax02 ? 2ln x0 ? 0 或 x0 ? ln x0 ? 0 (由(1)知不
2

成立舍去) , 即a ?

2 ln x0 , x0 2
2 ?1 ? 2ln x ? 2 ln x x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? , 2 ? x x3
1 1

设 h ? x? ?

当 0 ? x ? e 2 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递增;当 x ? e 2 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递减,所 以当 x ? 0 时,

? 1? 1 1 h ? x ?max ? h ? e 2 ? ? ,∴ amax ? . e ? ? e
(3)证明: f ? x? ? ax2 ? ln x ? x ? ln x ? ? 1 ? ln2 x ? x ? ax2 ln x ? ax3 ? 1

?

?

?

?

? x ? ax ? x ? ax 2 ? 3 = ? ln x ? ? ? ax ? 1 ? 2 ? 4 ?
2

2 2

?

? x ? ax ? x ? ax 2 ? = ? ln x ? ? ?1? 2 ? 4 ?
2

2 2

?

x 2 ? ax ? 1? x 2 ? ax ? 1? ? x ? ax 2 ? ? ? ln x ? ? 1? ? ?1? 2 ? 4 4 ?
2 2

2

.
12

x2 ? ax ? 1? 2 当 1 ? x ? 2 时, ? x ? ? ?4, ?1? ,∴ 1 ? ? 1 ? ? ax ? 1? ? ax ? 2 ? ax ? . 4
2

2

? x ? ax 2 ?ln x ? 故 f ? x ? ? ax ? 2 ? ax ? ,等号若成立,则 ? 2 即 ln x ? x ,由(1)知 ln x ? x 不 ?ax ? 1 ?
成立, 故等号不成立, 从而 f ? x ? ? ax ? 2 ? ax ? .

13


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