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www.58336.com:高中数学第三章不等式2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5_图文

第三章 不等式 §2.1 一元二次不等式的解法 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图像法解一元二次不等式. 3.体会数形结合、分类讨论思想. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 一元二次不等式的概念 思考 我们知道,方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一个元 素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗? 答案 不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都 是不等式的解,而不等式的每一个解均属于解集. 梳理 (1) 形如 ax2 + bx + c>0(≥0) 或 ax2 + bx + c<0(≤0) 的不等式 ( 其中 a≠0) , 叫作一元二次不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式所有解组成的集,叫作一元二次不等式的解集. 知识点二 “三个二次”的关系 思考 分析二次函数y=x2-1与一元二次方程x2-1=0和一元二次不 等式x2-1>0之间的关系. 答案 y>0 y=0 2 2 x -1>0← ― ― y=x -1― ― →x -1=0. 2 梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表. Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 ____________ 有两相异实根 有两相等实根 ____________ b ax2+bx+c=0 (a>0)的根 没有实数根 -2a x1=x2= x1,x2(x1<x2) ____________ ____________ ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x<x1或x>x2} _____________ b {x|x≠-2a } R (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} __________ ? __ ? 知识点三 一元二次不等式的解法 思考 根据上表,尝试解不等式x2+2>3x. 答案 先化为x2-3x+2>0. ∵方程x2-3x+2=0的根x1=1,x2=2, ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}. 梳理 解一元二次方程的步骤 解形如 ax2 + bx + c>0(≥0) 或 ax2 + bx + c<0(≤0) 的一元二次不等式,一 般可分为三步: (1)确定对应方程ax2+bx+c=0的解; (2)画出对应函数y=ax2+bx+c的图像简图; (3)由图像得出不等式的解集. 题型探究 类型一 一元二次不等式的解法 命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2-4x+1>0的解集. 解答 因为Δ=(-4)2-4×4×1=0, 1 所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=2 , ? ? ? ? 1 ? 所以原不等式的解集为 ?x?x≠ ? ? . ? 2? ? ? ? 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体 求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次 方程的根的情况以及二次函数的图像. 跟踪训练1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集. 1 2 ∵2x -3x-2=0的两解为x1=- ,x2=2, 2 解答 且a=2>0, ∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是 1 {x|x≤- 2 或x≥2}. 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式-x2+2x-3>0. 解答 不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ<0,方程x2-2x+3=0无实数解, 而y=x2-2x+3的图像开口向上, 所以原不等式的解集是?. 反思与感悟 将-x2+2x-3>0转化为x2-2x+3<0的过程注意符号的变化,这是解本 题关键之处. 跟踪训练2 求不等式-3x2+6x>2的解集. 解答 不等式可化为3x2-6x+2<0, ∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0, 3 3 ∴x1=1- 3 ,x2=1+ 3 , ∴不等式-3x2+6x>2的解集是 3 3 {x|1- 3 <x<1+ 3 }. 命题角度3 含参数的二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解答 反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判 别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论. 跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0. 解答 当a<0或a>1时,有a<a2,此时,不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当0<a<1时,有a2<a,此时,不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a=0或a=1时,原不等式无解. 综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a=0或a=1时,解集为?. 类型二 例4 “三个二次”间对应关系的应用 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},试求关于x 解答 的不等式bx2+ax+1>0的解集. 由根与系数的关系,可得 ? ? ?-a=1+2, ?a=-3, ? 即? ? ? ?b=1×2, ?b=2, ∴不等式bx2+ax+1>0,即2x2-3x+1>0. 1 2 由 2x -3x+1>0,解得 x<2或 x>1. ∴bx2+ax+1>0 ? ? ? ? 1 ? ? ? 的解集为?x?x<2或x>1? ? ? ? ? . 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练4 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求a,b的值. 解答 方法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两实根. ?

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