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高三数学一轮复习之二次函数课件


二次函数是最重要的初等函数之一,有 着丰富内涵。二次函数的研究对近、现 代数学的发展,影响深远.二次函数是 历年来数学竞赛和高考中的重点考查内 容.同时,它是联系数学和其它学科的 重要的数学基础之一.
? “四个二次型”:二次三项式,二次函数,一

元二次方程,一元二次不等式,合称为“四个 二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0) 是基础,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是 “四 个二次型”的中心。

二次函数的表达式
1.标准式:f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)
2.顶点式:f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0) 3.两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0)

二次函数的图象和性质
? 一.二次函数的图象:抛物线

? 1.开口方向:
? 2.对称轴和函数的单调性: ? 3.顶点坐标: ? 4.最值: ? (1)x∈ R时

( 2 ) x ∈ [m,n](m<n) ? ①(-b/2a)∈[m,n]时, ? 若a>0,则x=-b/2a,ymin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a
?

? ymax=max{f(m),f(n)}(或比较区间端点与对称

?
?

?
?

轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处 取得最大值.) a<0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a, ymin=min{f(m),f(n}(或仿照ymax的方法确定) ②n<-b/2a或m>-b/2a时,二次函数是单调函数, 可根据函数的单调性或图象确定最值. ③函数值大小的比较:设P,Q是二次函数图象 上二点, 则当a>0时,距离对称轴越近的点,其 纵坐标越小,而当a<0时,则反之.

热身训练
1、求下列二次函数的最大值
x=1 4 y y

x=1

或最小值

1
0

(1) y ? ? x ? 2 x ? 3
2

1

x

0 -2
x?? 3 2

x

(2) y ? 2 x 2 ? 4 x 2、求下列二次函数的最大值 或最小值

y
1

( 1) y ? x ? 3x ? 2 (?3 ? x ? 1) ? ymin=4.25 ymax=f(1)=2
2

-3

0

x

(2)

1 2 y ? ? x ? 2 x ? 1 x ?[?3 , 1] 5
26 ymax ? 5 6 ymin ? ? 5

x ? ?5

?当x ? ?3时 当x ? 1时

y
1

-3

0

x

( 3)

1 2 y ? x ? 2 x ? 1 x ? [?1 , 2] x ? ?2 2
ymin 5 ?? 2
-1

y

当x ? ?1时

0

2

x

当x ? 2时 y max ? 5

1、 配方,求二次函数图象的对称 轴方程x=-b/2a; 2、 判断-b/2a是否在闭区间内。 3、根据闭区间函数最值的求法求最植。

3:

求 函 数 ? x 2 ? ax ? 3 (a ? R) 在 区 间?1 , 1] y [

上的最大值与最小值 a 2 a2 解: y ? x 2 ? ax ? 3 ? ( x ? ) ? 3 ?
a 对称轴为 ? ? x 2 a (1) 当 ? ? ?1 即a ? 2时 2
2

2

4

x??

a 2

y

y ? x ? ax ? 3在[?1,上单调递增 1]
?当x ? ?1时 ymin ? 4 ? a
当x ? 1时

-1

1 0

x

ymax ? 4 ? a

a ( 2) 当 ? 1 ? ? ? 0 即 0 ? a ? 0 时 2 a2 a ?当 x ? ? 时 ymin ? 3 ? 4 2 当 x ? 1 时 ymax ? 4 ? a
( 3) 当 0 ? ? a ? 1 即 ? 2 ? a ? 0时 2 a2 a ?当 x ? ? 时 y min ? 3 ? 4 2

y

-1 0 1 y

x

当 x ? ?1时
( 4) 当 ?

y max ? 4 ? a

-1 0 1

x

a ? 1 即 a ? ?2 时 2

y

y ? x 2 ? ax ? 3 在[?1 , 1]上单调递减
?当x ? ?1时

ymax ? 4 ? a
ymin ? 4 ? a

当x ? 1时

-1 0 1

x

4:
解:

求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [t , t ? 1] 上的最大值 和最小值

y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2
对称轴x ? 1
y
0 t 1 t+1

(1) 当 t ? 1 ? 1 即 t ? 0 时 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [t , t ? 1] 上单调递减

x

1 ( 2 ) 当t ? 1 ? 1 且 1 ? t ? t ? 1 ? 1 即 0 ? t ? 时 2 2

ymax ? t 2 ? 2t ? 3 ?当x ? t 时 当x=t+1时 ymin=t2+2

?当x ? t 时 ymax ? t ? 2t ? 3 当x ? 1 时 ymin ? 2

y
0

t t+1

x

1 ( 3) 当 t ? 1 且 1 ? t ? t ? 1 ? 1 即 ? t ? 1 时 2

y
0

?当x ? 1时

ymin ? 2

当x ? t ? 1时
(4) 当 t ? 1 时

ymax ? t ? 2
2

t t+1

x

y ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [t , t ? 1] 上单调递增

?当x=t时

ymin=t2-2t+3

y
1

ymax ? t 2 ? 2 当x=t+1 时

0

t t+1

x

? 小结:

(1)求二次函数解析式要根据题目条件 灵活选用三种形式中的一种. ? (2)求二次函数在闭区间上的最值要 注意对称轴和区间的位置关系及单调性求 解. ? (3)要注意数形结合思想在解题中的 运用.
?


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