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1192.2.1椭圆及其标准方程第3课时(用)


第三课时

1

平面内到两定点F1、F2的距离和为常数(大于 |F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。

一.复习: 1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程是:

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
11:02:02 2

一、补充性性训练
则动点P的轨迹为( A.椭圆

1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,

A

) C.直线F1F2 D.无轨迹

B.线段F1F2

变式练习:
则动点P的轨迹为(

(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,

B) D)

(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7, 则动点P的轨迹为(

x y 2.方程 5 ? 4k ? 1表示的曲线是椭圆,求k的取值范围.

2

2

变式:
2 2

k>0且k≠5/4

x y ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 (1)方程 5 4k
取值范围.
2

k>5/4
2

x y (2)方程 ? ? 1表示焦点坐标为(±2,0)的 5 4k

椭圆,求k的取值范围

k=1/4

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭

圆上一点P到两焦点的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0, -2)和(0, 2),

3 5 并且椭圆经过点 (- , ). 2 2

(2)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2)
3 5 (? , ) (0 ,2)并且经过点 2 2 求椭圆的标准方程.
y
M
2 2

法(1)定义法
解:由椭圆的定义知:
2 2

F2
O

? 3? ? 5 ? ? 3? ? 5 ? 2a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 10 ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ?

2 2 2 c ? 2 , ∴ a ? 10 ,又 b ? a ?c ? 6

x

F1

因为椭圆的焦点在y轴上

y x 所以椭圆的标准方程为: ? ? 1 10 6

2

2

6

法(2)待定系数法
解:由题意可设椭圆的标准方程为

y x ? 2 ?1 2 a b


2

2

? a ? b ? 0?
5 2 3 2 ( ) (? ) 2 ? 2 ?1 a2 b2

∵椭圆的焦点为(0,-2),(0,2)



a 2 ? b2 ? 22
2 2

又∵椭圆过点 ( ? 3 ,5 )∴ 由⑴ ⑵可得 a2 ? 10 b2 ? 6



所以椭圆的标准方程为:

y x ? ?1 10 6

2

2

7

例2:已知椭圆的焦点在x轴上,且经过 点 A( 3 ,-2)和B(-2 3 ,1) , 求椭圆的标准方程

思考:
上例中,如果已知椭圆的 焦点在坐标轴上,如何求解?

8

例 2 已知 B、C 是两个定点, BC ? 6 ,且△ABC 的周长 等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(?3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)

∵ AB ? AC ? BC ? 16 , ∴ BA ? CA ? 10 .

x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 ? ?1 25 16

9

例 1⑴已知动点 P 到点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,∴ c ? 2 . ∵ PF1 ? PF2 ? 12 ,∴ 2a ? 12 ,∴ a ? 6 , ∴ b ? a ? c ? 36 ? 4 ? 32 2 2 x y ∴所求的轨迹方程为 ? ? 1. 32 36 2 2 ⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x ? 4 y ? 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2 2 2
10

(第二次月考12题)当点p圆 x? +y? =4 上运动时,它与定点Q(3,0)连线的中 点M的轨迹方程?

例3、在圆 x ? y ? 4 上任取一点P,过点P 作X轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上 运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么? 为什么? y
2 2

相关点法
即:利用中间变量
o

P

M

x

求曲线方程.
12

练习 已知线段AB, B点的坐标(6,0), A点在曲线y=x2+3上运动,求AB的中点 M的轨迹方程. 2
y
y=x +3

相关点法

A (x0,y0)
M (x,y)

O

B(6,0) x

例3 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是4/9,求点M的轨迹方程。
解:设点M 的坐标为( x, y ),因为点A的坐标是(?5, 0), 所以,直线AM 的斜率k AM

y 同理,直线BM 的斜率kBM ? ( x ? 5). x ?5 y y 4 由已知有 ? ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9
x2 y2 化简,得点M 的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

y ? ( x ? ?5) x?5


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