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福建省漳州外国语学校2014-2015学年高二数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)

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福建省漳州外国语学校 2014-2015 学年高二上学期第二次月考数学试 卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有 一个选项正确) 1. (5 分)在下列命题中,真命题是() 2 A. “x=2 时,x ﹣3x+2=0”的否命题 2 B. “若 b=3,则 b =9”的逆命题 C. 若 ac>bc,则 a>b D. “相似三角形的对应角相等”的逆否命题

2. (5 分)“sinθ = A. 充分不必要条件 C. 充要条件

”是“θ =

”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. (5 分)已知向量 A. 0° B. 45° C. 90°

,则 与 的夹角为() D. 180°

4. (5 分)从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率为() A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等,且为 D. 都相等,且为

5. (5 分)椭圆 4x +3y =48 的焦点坐标是() A. ( 0,± ) B. (± ,0 ) C. (0,±2) 6. (5 分)双曲线 3x ﹣y =3 的渐近线方程是() A. y=±3x B. y=± x C. y=± x
2 2

2

2

D. (±2,0 )

D. y=±

x

7. (5 分)已知 M 为抛物线 y =4x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点 P(3,1) ,则|MP|+|MF| 的最小值为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2

8. (5 分)P 是双曲线 的值为() A. 33

上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|

B. 33 或 1

C. 1

D. 25 或 9

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9. (5 分) (必修 3 做)如图,大正方形靶盘的边长为 ,四个全等的直角三角形围成一个 小正方形,即阴影部分.较短的直角边长为 2,现向大正方形靶盘投掷飞镖,则飞镖落在阴影 区域的概率为()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|: |PF2|=4:3:2,则曲线 C 的离心率等于() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 11. (4 分)已知命题 p:? x∈R,cosx≤1,则?p 命题是. 12. (4 分)某抛物线形拱桥的跨度为 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根柱支 撑,其中最高支柱的高度是. 13. (4 分)已知点 A(0,﹣1) ,当点 B 在曲线 y=2x +1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程是.
2

14. (4 分)已知

,则

的最小值是.

15. (4 分) 已知 F1、 F2 为椭圆 C: 的点 P 共有个.

=1 的左、 右焦点, 则在该椭圆上能够满足∠F1PF2=90°

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知命题 p:
x

表示焦点在 x 轴的双曲线,命题 q:f(x)=(5﹣

2m) 是增函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 17. (13 分)某校 2015 届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部 分数据如下,请根据此解答如下问题:

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)求班级的总人数; (2)将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100)之间的概率. 分组 频数 频率 [50,60) 0.08 [60,70) 7 [70,80) 10 [80,90) [90,100) 2

18. (13 分)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y=± (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为

x,且双曲线过点(





的直线交双曲线于 A,B,求|AB|.

19. (13 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

20. (14 分)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2 沿 BD 翻折,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)求证:CD⊥AB;

,∠ABC=90°,如图 1.把△ABD

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°?若存在,求出 若不存在,说明理由. 的值;

21. (14 分) 已知 F(﹣ 1, 0) , F( 0) 为平面内的两个定点, 动点 P 满足 1 2 1, 记点 P 的轨迹为曲线 Γ . (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)设点 O 为坐标原点,点 A,B,C 是曲线 Γ 上的不同三点,且 (ⅰ)试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论; (ⅱ)当直线 AB 过点 F1 时,求直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. .



福建省漳州外国语学校 2014-2015 学年高二上学期第二次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有 一个选项正确) 1. (5 分)在下列命题中,真命题是() 2 A. “x=2 时,x ﹣3x+2=0”的否命题 2 B. “若 b=3,则 b =9”的逆命题 C. 若 ac>bc,则 a>b D. “相似三角形的对应角相等”的逆否命题 考点: 四种命题的真假关系. 2 分析: A、写出其否命题,“x≠2 时,x ﹣3x+2≠0”的否命题然后再举反例作判断; 2 2 B、写出其逆命题:若 b =9,则 b=3,根据(±3) =9,即可判断; C、若 c<0,则有 a<b,从而进行判断; D、根据原命题与逆否命题之间的关系进行判断; 2 2 解答: 解:A、“x=2 时,x ﹣3x+2=0”的否命题为 x≠2 时,x ﹣3x+2≠0”,因为当 x=1 时 2 x ﹣3x+2=0,∴A 错误; 2 2 2 B、“若 b=3,则 b =9”的逆命题:若 b =9,则 b=3,∵b =9? b=±3,故 B 错误; C、若 c<0,∵ac>bc,∴a<b,故 C 错误; D、∵根据相似三角形的性质,其对应角相等,是真命题,再由于原命题和其逆否命题的关系 可知“相似三角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题,故 D 正确;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 D. 点评: 本题考查真命题的概念和相似三角形的性质以及运用反例说明问题的方法.

2. (5 分)“sinθ = A. 充分不必要条件 C. 充要条件

”是“θ =

”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案. 解答: 解:sinθ = θ = 推出 sinθ = 推不出 θ = ,不是充分条件,

,是必要条件,

故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了三角函数问题,是一道基础题.

3. (5 分)已知向量 A. 0° B. 45° C. 90°

,则 与 的夹角为() D. 180°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 设则 与 的夹角为 θ 由向量夹角的定义可得, 可得 θ =90° 解答: 解:设则 与 的夹角为 θ 由向量夹角的定义可得, ∵0°≤θ ≤180° ∴θ =90° 故选 C 点评: 解决本题的关键需掌握:向量数量积的坐标表示,还要知道向量的夹角的范围[0, π ],只有数列掌握基础知识,才能在解题时灵活应用. 4. (5 分)从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率为() A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等,且为 D. 都相等,且为 0°≤θ ≤180°

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考点: 系统抽样方法;简单随机抽样. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个系统抽样,在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个 数,从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,因为不能整除,要剔除一部分个体,在剔除过程 中每个个体被抽到的概率相等. 解答: 解:由题意知本题是一个系统抽样, 在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数, 从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,因为不能整除,要剔除一部分个体, 在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等 ∴得到每个个体被抽到的概率是 故选 C. 点评: 本题考查系统抽样和简单随机抽样,不管用什么方法抽样,在抽样过程中每个个体 被抽到的概率都相等,本题是一个基础题. 5. (5 分)椭圆 4x +3y =48 的焦点坐标是() A. ( 0,± ) B. (± ,0 ) C. (0,±2) 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 化椭圆方程 4x +3y =48 为标准方程 解答: 解:椭圆 4x +3y =48 可化为 + =1;
2 2 2 2 2 2

D. (±2,0 )

+

=1;从而求焦点坐标.

故 c=2;且在 y 轴, 故焦点坐标为(0,±2) ; 故选 C. 点评: 本题考查了椭圆的方程的化简与椭圆的几何性质应用,属于基础题. 6. (5 分)双曲线 3x ﹣y =3 的渐近线方程是() A. y=±3x B. y=± x C. y=± x D. y=± x
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 双曲线 3x ﹣y =3 的标准形式为 得到双曲线的渐近线.
2 2

, 其渐近线方程是

, 整理后就

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解答: 解:双曲线 3x ﹣y =3 的标准形式为

2

2



其渐近线方程是



整理得 . 故选 C. 点评: 把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解. 7. (5 分)已知 M 为抛物线 y =4x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点 P(3,1) ,则|MP|+|MF| 的最小值为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设点 M 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为 求|MP|+|MD|取得最小,进而可推断出当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,答案可得. 解答: 解:设点 M 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD| ∴要求|MP|+|MF|取得最小值,即求|MP|+|MD|取得最小, 当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,为 3﹣(﹣1)=4. 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当 D,M,P 三点共 线时|PM|+|MD|最小,是解题的关键.
2

8. (5 分)P 是双曲线 的值为() A. 33

上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|

B. 33 或 1

C. 1

D. 25 或 9

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,根据|PF1|=17<c+a=18,则 P 在双曲线的左支上,再由双曲 线的定义,即可得到所求值. 解答: 解:双曲线 c= = =10, 的 a=8,b=6,

由于|PF1|=17<c+a=18, 则 P 在双曲线的左支上, 由双曲线的定义,可得, |PF2|﹣|PF1|=2a=16,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则有|PF2|=16+|PF1|=16+17=33. 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质、定义,考查运算能力,属于基础题和易错题. 9. (5 分) (必修 3 做)如图,大正方形靶盘的边长为 ,四个全等的直角三角形围成一个 小正方形,即阴影部分.较短的直角边长为 2,现向大正方形靶盘投掷飞镖,则飞镖落在阴影 区域的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据几何概率的求法,针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比,根 据题意,可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积,进而可得答案. 解答: 解:根据题意,“赵爽弦图”中,四个全等的直角三角直角边分别是 3 和 2, 则阴影部分的正方形的边长为 1,面积为 1; 大正方形的边长为 , 面积为 13; 故针头扎在阴影部分的概率为 ;

故选 C. 点评: 用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比;难点是得到两个正方形的边长. 10. (5 分)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|: |PF2|=4:3:2,则曲线 C 的离心率等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 可设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,讨论曲线为椭圆或双曲线,运用椭圆或双曲线 的定义,及离心率公式,即可得到结论. 解答: 解:由于曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2, 可设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t, 若曲线为椭圆,则由离心率公式,可得 e= = = ;

若曲线为双曲线,则由离心率公式,可得 e=

=

= .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 A. 点评: 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质:离心率,考查运算能力,属于基础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 11. (4 分)已知命题 p:? x∈R,cosx≤1,则?p 命题是? x∈R,cosx>1. 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 分析: 本题中所给的命题是一个全称命题,故其否定是一个特称命题,将量词改为存在量 词,否定结论即可 解答: 解:命题 p:? x∈R,cosx≤1,是一个全称命题 ∴?p:? x∈R,cosx>1, 故答案:? x∈R,cosx>1 点评: 本题研究命题的否定,解题的关键是理解全称命题的否定的书写规则,其否定是一 个特称命题,要将原命题中的全称量词改为存在量词. 12. (4 分)某抛物线形拱桥的跨度为 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根柱支 撑,其中最高支柱的高度是 3.84 米. 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;应用题. 2 分析: 本题利用解析法解决.先建立适当坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) ,把点 B(10,﹣4)代入抛物线方程,求得 p,得到抛物线方程,进而把 x=2 代入抛物线方程求得 y, 可得最高支柱的高度. 解答: 解:建立如图所示的直角坐标系, 2 设抛物线方程为 x =﹣2py(p>0) , ∵过定点 B(10,﹣4) , 代入 x =﹣2py,得 p= ∴x =﹣25y. 当 x=2 时,y= , =3.84(m) ,
2 2



∴最长支柱长为 4﹣|y|=4﹣ 故答案为:3.84 米.

点评: 本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程.解应用题需要把文字语言转化 为形式化数学语言.本题就是要利用解析法解决,介入一个抛物线方程,利用抛物线的性质来 解决问题.

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13. (4 分)已知点 A(0,﹣1) ,当点 B 在曲线 y=2x +1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方 2 程是 y=4x . 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 设出 M 的坐标,求出 P 的坐标,动点 P 在抛物线 y=2x +1 上运动,点 P 满足抛物线 方程,代入求解,即可得到 M 的轨迹方程. 解答: 解:设 M 的坐标(x,y) ,由题意点 B 与点 A(0,﹣1)所连线段的中点 M,可知 B (2x,2y+1) , 2 2 2 动点 B 在抛物线 y=2x +1 上运动,所以 2y+1=2(2x) +1,所以 y=4x . 2 所以点 B 与点 A(0,﹣1)所连线段的中 M 的轨迹方程是:y=4x . 2 故答案为:y=4x . 点评: 本题是中档题,考查点的轨迹方程的求法,相关点法,是常见的求轨迹方程的方法, 注意中点坐标的应用.

2

14. (4 分)已知

,则

的最小值是



考点: 空间向量的加减法;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 根据向量 、 的坐标,可得向量 得到 = =(1+t,2t﹣1,0) ,结合向量的模的公式, 的最小值.

,最后利用二次函数求最值的方法,可得 ,

解答: 解:∵ ∴向量 可得向量
2

=(1+t,2t﹣1,0) 的模
2

=

=

∵5t ﹣2t+2=5(t﹣ ) + ∴当且仅当 t= 时,5t ﹣2t+2 的最小值为 所以当 t= 时, 故答案为: 点评: 本题给出两个含有字母参数的向量,求它们差的长度的最小值,着重考查了空间向 量的坐标运算和二次函数的最值等知识点,属于基础题. 的最小值是 =
2

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15. (4 分) 已知 F1、 F2 为椭圆 C: 的点 P 共有 4 个.

=1 的左、 右焦点, 则在该椭圆上能够满足∠F1PF2=90°

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆方程求得椭圆的长半轴长及离心率,设出 P 的坐标,由焦半径公式得到左右 焦半径,结合勾股定理求得 P 的坐标得答案. 解答: 解:设 P(x0,y0)为椭圆 由 a =9,b =4,得 c =a ﹣b =5,c= ∴2c=2 . 由焦半径公式得: 若∠F1PF2=90°, 则 ,解得: .
2 2 2 2 2

=1 上的一点, .





∴椭圆上能够满足∠F1PF2=90°的点 P 共有 4 个. 故答案为:4. 点评: 本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了焦半径公式的运用,是基础题. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知命题 p:
x

表示焦点在 x 轴的双曲线,命题 q:f(x)=(5﹣

2m) 是增函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 首先,求解当命题 p,q 为真命题时,实数 m 的取值范围,然后结合条件,p、q 中一 个真,另一个为假命题,进行讨论求解. 解答: 解:由命题 p:得 ,







?(2 分)
x

根据命题 q:f(x)=(5﹣2m) 是增函数,得 5﹣2m>1 即 m<2?(4 分) 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故 p、q 中一个真,另一个为假命题.?(6 分) 若 p 真 q 假,此时 m 的解集为空集?(8 分) 若 p 假 q 真,则 因此,实数 m 的取值范围 ,?(11 分) ,?(13 分)

点评: 本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真值表等知识,属于中档题. 17. (13 分)某校 2015 届高三某班的一次测试成绩的频率分布表以及频率分布直方图中的部 分数据如下,请根据此解答如下问题: (1)求班级的总人数; (2)将频率分布表及频率分布直方图的空余位置补充完整; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100)之间的概率. 分组 频数 频率 [50,60) 0.08 [60,70) 7 [70,80) 10 [80,90) [90,100) 2

考点: 频率分布直方图;频率分布表. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)分数在[90,100)的频率为 0.008×10=0.08,频数为 2,即可求得本次考试的 总人数; (2)[50,60)频数为 2;[60,70)频率为 =0.28;[70,80)频率为 =0.4;[80,90)

频数为 4,频率为 0.16,可得频率分布表及频率分布直方图的空余位置; (3)用列举法列举出所有的基本事件,找出符合题意得基本事件个数,利用古典概型概率计 算公式即可求出结果. 解答: 解: (1)分数在[90,100)的频率为 0.008×10=0.08,频数为 2,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴全班人数为 =25; =0.28;[70,80)频率为 =0.4;[80,90)

(2)[50,60)频数为 2;[60,70)频率为 频数为 4,频率为 0.16,频率分布表 分组 频数 频率 [50,60) 2 0.08 [60,70) 7 0.28 [70,80) 10 0.40 [80,90) 4 0.16 [90,100) 2 0.08

频率分布直方图 在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为

; =15 个,

(3)将[80,90)之间的频数为 4,[90,100)之间的频数为 2,

其中,至少有一个在[90,100)之间的基本事件有 7 个, 故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是 0.7. 点评: 本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质,以及古典概型概率计算公式的应用, 此题是基础题. 18. (13 分)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 y=± (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过双曲线右焦点 F 作倾斜角为 x,且双曲线过点( , )

的直线交双曲线于 A,B,求|AB|.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设双曲线方程为:3x ﹣y =λ ,点 代入,即可求双曲线的方程; (Ⅱ)直线 AB 的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理及弦长公式,即可求|AB|. 解答: 解: (Ⅰ)设双曲线方程为:3x ﹣y =λ ,点 所以所求双曲线方程为: ?(6 分)
2 2 2 2

代入得:λ =3,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)直线 AB 的方程为:y=x﹣2, 由 得:2x +4x﹣7=0,?(10 分)
2



.?(12 分)

点评: 本题考查双曲线方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,属于 中档题. 19. (13 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 利用向量法

能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值. (2)分别求出平面 ABA1 的法向量和平面 ADC1 的法向量,利用向量法能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值. 解答: 解: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

则由题意知 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) , A1(0,0,4) ,D(1,1,0) ,C1(0,2,4) , ∴ , =(1,﹣1,﹣4) ,

∴cos<

>=

=

=



∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 (2) 设平面 ADC1 的法向量为



是平面 ABA1 的一个法向量, ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵ ,



,取 z=1,得 y=﹣2,x=2,

∴平面 ADC1 的法向量为 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 θ , ∴cosθ =|cos< ∴sinθ = >|=| = . |= ,



∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为



点评: 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法,考查平面与平面所成角的正弦值的 求法,解题时要注意向量法的合理运用. 20. (14 分)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2 ,∠ABC=90°,如图 1.把△ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)求证:CD⊥AB; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°?若存在,求出 若不存在,说明理由. 的值;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;点、线、面 间的距离计算. 专题: 综合题;空间角. 分析: (Ⅰ)先证明 CD⊥BD,利用平面 ABD⊥平面 BCD,可得 CD⊥平面 ABD,利用线面垂直 的性质可得 CD⊥AB; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 ACD 的一个法向量为 M 到平面 ACD 的距离; (Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,设 ,可得 ,利用向量的夹角公式,建立 ,进而可求点

方程,即可求得结论. 解答: (Ⅰ)证明:由已知条件可得 BD=2,CD=2,CD⊥BD.?(2 分) ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD. ∴CD⊥平面 ABD.?(3 分) 又∵AB? 平面 ABD,∴CD⊥AB.?(4 分) (Ⅱ)解:以点 D 为原点,BD 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标 系,如图.由已知可得 A(1,0,1) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,0) ,M(1,1, 0) . ∴ 设平面 ACD 的法向量为 令 x=1,得平面 ACD 的一个法向量为 ,则 , .?(6 分) ,∴

∴点 M 到平面 ACD 的距离

.?(8 分)

(Ⅲ)解:假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°.?(9 分) 设 ∴ 又∵平面 ACD 的法向量 ,则 N(2﹣2λ ,2λ ,0) , , 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,

∴ 可得 8λ +2λ ﹣1=0, ∴ (舍去) .
2

,?(11 分)

综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60°,此时

.?(13 分)

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点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想. 21. (14 分) 已知 F(﹣ 1, 0) , F( 0) 为平面内的两个定点, 动点 P 满足 1 2 1, 记点 P 的轨迹为曲线 Γ . (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)设点 O 为坐标原点,点 A,B,C 是曲线 Γ 上的不同三点,且 (ⅰ)试探究:直线 AB 与 OC 的斜率之积是否为定值?证明你的结论; (ⅱ)当直线 AB 过点 F1 时,求直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的定义,可知点 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)为焦点的椭 圆,进而可得曲线 Γ 的方程; (Ⅱ) 将 转化为坐标之间的关系. (ⅰ) 设直线 AB 的方程代入椭圆方程并整理, . ,

利用韦达定理,确定点 C 的坐标,利用斜率公式可得直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值; (ⅱ) 先判断直线 AB 的斜率存在,确定点 C 的坐标代入椭圆方程,可求 k 的值,进而分类求出直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积. 解答: 解: (Ⅰ) 由条件可知, 点 P 到两定点 F1 (﹣1, 0) , F2 (1, 0) 的距离之和为定值 , 所以点 P 的轨迹是以 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)为焦点的椭圆.?(2 分) 又 ,c=1,所以 b=1, 故所求方程为 .?(4 分)

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) . 由 ,得 x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.?(5 分)

(ⅰ)可设直线 AB 的方程为 y=kx+n(k≠0) , 2 2 2 2 2 代入 x +2y =2 并整理得, (1+2k )x +4knx+2n ﹣2=0, 依题意,△>0,则 从而可得点 C 的坐标为 , , . ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为 ,所以直线 AB 与 OC 的斜率之积为定值.?(8 分) ,由 ,

(ⅱ)若 AB⊥x 轴时, 得点 C(2,0) ,所以点 C 不在椭圆 Γ 上,不合题意. 因此直线 AB 的斜率存在.?(9 分) 由(ⅰ)可知,当直线 AB 过点 F1 时,有 n=k,点 C 的坐标为



代入 x +2y =2 得,

2

2

,即 4k =1+2k ,

2

2

所以 (1)当

. 时,由(ⅰ)知,

?(11 分) ,从而 . ,

故 AB、OC 及 x 轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为 1,且底边上的高 所求等腰三角形的面积 (2)当 时,又由(ⅰ)知, . ,从而 . .?(13 分) ,

同理可求直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为

综合(1) (2) ,直线 AB、OC 与 x 轴所围成的三角形的面积为

点评: 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.

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