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必修5 解三角形复习 经典

解三角形复习
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)
(2) sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式

1 ? 底?高 ; 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论

(1) S ?ABC ?

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) (3)在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2 (4)

二、典型例题
题型 1 边角互化 [例 1 ]在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则角 C 的度数为

b、 [例 2 ] 若 a 、 则函数 f ( x ) 的图象与 x 轴 【 c 是 ?ABC 的三边,f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ,



A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点

D、至少有一个交点

题型 2 三角形解的个数 [例 3]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ;



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60?

题型 3 面积问题
例 4.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积 2

题型 4 判断三角形形状 [例 5] 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的形状。

例 6.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 B.直角三角形 D.等边三角形



1 [例 7]在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且 sin A ? sin C ? p sin B( p ? R) 且 ac ? b 2 4 5 (1)当 p ? , b ? 1 时,求 a , c 的值; (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。 4

例 8. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 最大值。

B?C 取得最大值,并求出这个 2

题型 6、解三角形的实际应用 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处 时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海 里?


120 A 2

B2

105

B1


A1



如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,
0

0

0

AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

三、课堂练习:
1、满足 A ? 45? ,c= 6 ,a=2 的 ?ABC 的个数为 m,则 a m 为

2、已知 a=5,b= 5 3 , A ? 30? ,解三角形。

3、在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , b ? x , A ? 60? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围 是【 】 B、 0 ? x ≤ 4 C、 4 ≤ x ≤
8 3 3
8 3 3

A、 x ? 4

D、 4 ? x ?

1 2 2 2 4、在 ?ABC 中,若 S ? 4 (a ? b ? c ), 则角 C=

5、设 R 是 ?ABC 外接圆的半径,且 2R(sin2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,试求 ?ABC 面积的最大值

6、在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=33, sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD。 13 5

7、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,若

a cos B ? ,试确定 ?ABC 形状。 b cos A

8、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,已知
sin C ; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2, 求 ?ABC 的面积。 4

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

(1)求

四、课后作业
1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( ) A B C 等边三角形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

D 等腰三角形
王新敞
奎屯 新疆

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于( A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3

) D.2

3. 不解三角形,下列判断中正确的是( A.a=7,b=14,A=300 有两解 C.a=6,b=9,A=450 有两解

) B.a=30,b=25,A=1500 有一解 D.a=9,c=10,B=600 无解

4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 1 2 1 2 A. ? B. C. ? D. 4 3 4 3





5. 在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则 A.3 3 C.
8 3 3

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C 2 39 B. 3 39 D. 2

)

6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( A.79 B.69 C.5 D.-5

)

7、在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sin A ? 2 sin B cos C ,则 ?ABC 是 A、等边三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰直角三角形

1 8、△ABC 中若面积 S= ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) 则角 C= 4

9、 清源山是国家级风景名胜区, 山顶有一铁塔 AB , 在塔顶 A 处测得山下水平面上一点 C 的俯角为 ? , 在塔底 B 处测得点 C 的俯角为 ? ,若铁塔的高为 h m ,则清源山的高度为 A、 C、
h sin ? cos ? sin(? ? ? ) h sin ? sin ? sin(? ? ? )

m。

B、 D、

h cos? sin ? sin(? ? ? ) h cos? cos ? sin(? ? ? )

10、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小

? (2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小 4


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