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《1.2.2 空间两条直线的位置关系——2.异面直线(1)》教学案1

《1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)》教学案
教学目标:
1.了解空间两条直线的位置关系; 2.理解并掌握公理4及等角定理; 3.初步培养学生空间想象能力,抽象概括能力,让学生初步了解将空间问题平面化是 处理空间问题的基本策略.
教材分析及教材内容的定位:
本节课是研究空间线线位置关系的基础,异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4 是等角定理的基础,而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础,也是判断空间两角 相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一,而这个思想的形成需要一个 过程,本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.
教学重点:
异面直线的定义,公理4及等角定理.
教学难点:
异面直线的定义,等角定理的证明,空间问题平面化思想的渗透.
教学方法:
启发引导学生概括空间两条直线的位置关系,类比平面几何中的结论学习公理4及等角 定理.
教学过程: 一、问题情境
1.在平面几何中,两条直线的位置关系有哪些?观察教室中的墙角线、电棒等所在的 直线,说说空间两条直线有哪些位置关系?

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出下列两条直线的位置关系:

(1)AB和AD; (2)AB和CD; (3)AB和C1D1;(4)AB和B1C1;

D1

C1

1

A1 B1

D AA

C C B

3.在上图中,∠CAB的两边和∠C1A1B1的两边在位置上有何关系?这两角的大小呢?
二、学生活动
1.说出教室内墙角线所在的直线之间的位置关系,由此概括空间两条直线位置关系; 2.观察正方体中各棱所在的直线的位置关系,由此得出公理4; 3.由问题情境3,概括等角定理.
三、建构数学
1.引导学生描述异面直线的定义; 2.空间两条直线的位置关系有以下三种: (1)相交直线:在同一个平面内,有且只有一个的两条直线; (2)平行直线:在同一个平面内,没有公共点的两条直线; (3)异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线; 从有无公共点的角度,可以将空间两条直线的位置关系分成:相交直线和不相交直线两 类; 从是否共面的角度,可以将空间两条直线的位置关系分成:共面直线和不共面直线两类; 3.平行的传递性: 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示:

a∥b b∥c

?a∥c

4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两 个角相等.
思考:如果将定理中“方向相同”这一条件去掉,结论会是怎样的呢?

四、数学运用

1.例题.

例1 如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E、F分别为AB、BC的中点,求证:EF

∥A1C1.

D1
1
A1

C1
BB1

DD

AA

E

1 CC

B

F
B

变式:如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点,四边形EFGH的形状是平行四 边形吗?为什么?如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD,那么四边形E FGH的形状还是平行四边形吗?

A

E

H

折叠

B D

F

G

C

A E
B F C

H
D G

例2 如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E1,E分别为A1D1,AD的中点,求证:

∠C1E1B1=∠CEB.

D1 E1
A1
D E

C1
B1 1
C

A

B

2.练习. (1)若两直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系________________. (2)直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线,则a和b的位置关系是__ _______. (3)如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,∠AOB=40o,则∠A1O1B1=_________.

(4)如图已知AA1,BB1,CC1不共面,AA1=∥BB1,BB1 =∥CC1,求证:△ABC≌△A1B1

C1.

A

A1

C

C1

B

B1

五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容: 1.异面直线的概念; 2.空间两条直线的位置关系; 3.公理4和等角定理; 4.公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三 角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.