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2018年秋高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念及简单表示法学案新人教A版必修5

第 1 课时 数列的概念及简单表示法 学习目标:1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的 前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点). [自 主 预 习·探 新 知] 1.数列的概念及一般形式 思考 1:(1)数列的项和它的项数是否相同? (2)数列 1,2,3,4,5,数列 5,3,2,4,1 与{1,2,3,4,5}有什么区别? [提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的 数,是一个函数值,也就是相当于 f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的 值,相当于 f(n)中的 n.(2)数列 1,2,3,4,5 和数列 5,3,2,4,1 为两个不同的数列,因为二者的元 素顺序不同,而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集 合中的元素具有无序性. 2.数列的分类 类别 按项的 个数 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项的 变化趋 势 摆动数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个 数列的通项公式. 4.数列与函数的关系 递减数列 常数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数 列 -1- 从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表: 定义域 解析式 值域 表示方法 正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 数列的通项公式 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 (1)通项公式(解析法);(2)列表法;(3)图象法 + 思考:数列的通项公式 an=f(n)与函数解析式 y=f(x)有什么异同? [提示] 如图,数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 * {1,2,…,n})为定义域的函数,an=f(n)当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域,数列中 的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非 空数集. [基础自测] 1.思考辨析 (1)数列 1,1,1,…是无穷数列.( ) ) (2)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列.( (3)有些数列没有通项公式.( [答案] (1)√ (2)× (3)√ 提示:(1)正确.每项都为 1 的常数列,有无穷多项. ) (2)错误.虽然都是由 1,2,3,4 四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,不 是同一个数列. (3)正确.某些数列的第 n 项 an 和 n 之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项公式, 否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式. 2.600 是数列 1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项. 24 [an=n(n+1)=600=24×25,所以 n=24.] 2 3.数列{an}满足 an=log2(n +3)-2,则 log23 是这个数列的第________项. 【导学号:91432112】 3 [令 an=log2(n +3)-2=log23,解得 n=3.] 7, 10, 13,…中的第 26 项为________. 2 4.数列 1,2, 2 19 [因为 a1=1= 1,a2=2= 4, a3= 7,a4= 10,a5= 13,所以 an= 3n-2, 所以 a26= 3×26-2= 76=2 19.] [合 作 探 究·攻 重 难] 数列的概念及分类 -2- 已知下列数列: ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016; 1 1 1 ②1, , ,…, n-1,…; 2 4 2 2 3 - ·n ③1,- , ,…, ,…; 3 5 2n-1 ④1,0,-1,…,sin ⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有穷数列是 ________ ,无穷数列是 ________ ,递增数列是 ________ ,递减数列是 ________,常数列是________,摆动数列是________(填序号). ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数 n-1 nπ 2 ,…; 列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,是无穷数列,也是周期为 4 的周期数列;⑤为递增数 列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.] [规律方法] 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点: (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性; (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性); (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集 合中的元素没有顺序(即无序性); (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物. 2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是 常数列要从项的变化趋势来分析;而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限. [跟踪训练] 1.给出下列数列: (1)2010 ~ 2017 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 : 万 人 ) 构 成 数 列 82,93,105,118,132,147,163,180. (2)无穷多个 3构成数列 3, 3, 3, 3,…. (3)-2 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂,…构成数列-2,4,-8,16,-32,…. 其中, 有穷数列是________, 无穷数列是________, 递增数列是________, 常数列是________, 摆动数