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定义域与值域讲义 (学生版)






函数的定义域与值域
1、 掌握定义域的求法

教 学 目 的

2、 掌握复合函数定义域求法 3、 掌握值域的几种重要求法

重 难 点

1、 定义域 2、 值域









【基础知识网络总结与巩固】
一、函数及其表示
设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数 的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个 函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函 数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

二、区间的概念及表示法
设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足 a ? x ? b 的实 数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分 别 记 做 [ a, b) , ( a, b] ; 满 足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做

[a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b .

1

三、求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域 应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.

四、求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小 (大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度 不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得 值域. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最 值.二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在
2

a( y) ? 0 时,由于 x , y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.分子、分
母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别 式法求值域(主要适用于定义域为 R 的函数).

2

④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.

【重难点例题启发】
知识点 1 求相关函数的定义域
求下列函数的定义域: 【例 1】

(1) f(x)=

3x 2 +lg(3x+1); 1? x

(2) f(x)=

2 x ? x2 0 +(3-2x) . 1g (2 x ? 1)

[精要点评]会求函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础,求解时要注意找全限制条件,并正确取出各部分的 公共部分,且最后结论一定要写成集合或区间的形式.

【举一反三】
1、 求函数 f(x)=

25 ? x2 +lgsinx 的定义域.

3

2、求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

【例 2】求抽象函数求定义域 记住两句话:地位相同范围相同,定义域是关于 x 的。 1)设 f ( x ) 的定义域是[?3,

2 ],求函数 f ( x ? 2) 的定义域。

2) 已知 y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求 f(x)的定义域;

【举一反三】
已知函数 f(x)的定义域为 ? ?

1? ? ? 1 1? , ? ,求函数 y ? f ? x 2 ? x ? ? 的定义域. 2? ? ? 2 2?

4

知识点 2

函数的定义域的应用
y ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. a ?1

【例 3】若函数

[思维引导] 可先求出使函数有意义的不等式(组),再对其中的参数进行分类讨论使问题获解.

[精要点评]解决本题关键的是理解函数的定义域是 R 的意义,并会对函数式进行分类讨论,特别要注意不要遗 漏对第一种情况 a -1=0 的讨论.
2

【举一反三】
已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围. ax ? ax ? 3
3

2

知识点 3
1、直接法:

函数值域的求法

例 1:求函数

y ? x 2 ? 6 x ? 10 的值域。

5

例 2:求函数

y ? x ? 1的值域。

2、配方法: 例 1:求函数

y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。

例2:求 函 数

y ? x 2 ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的 值域。

例 3:求函数

y ? ?2x2 ? 5x ? 6 的值域。

3、分离常数法: 例 1:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5

6

例 2:求函数 y ?

x2 ? x 的值域. x2 ? x ?1

例 3:求函数 y ?

x ?1 得值域. 3x ? 2

4、换元法: 例 1:求函数

y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。

例2: 求 函 数

y ? x ? x ? 1 的 值 域。

5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例 1:求函数

y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

7

6、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域 的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易 于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例 1:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。

【举一反三】 求下列函数的值域:
(1)

y?

5x ? 3 x?3

(2)

y ? ? x2 ? x ? 2

(3)

y?

2x 2 ? 2x ? 3 x2 ? x ?1

(4 ) y

? 4x ? 1 ? 3x

8

【课后作业练习】
2 ? 1 ?1 ? x , x ? 1, 1. (2008·山东卷文改编)设函数 f(x)= ? 则 f( ) =___________. 2 f ? 2? ? ? x ? x ? 2, x ? 1,

2. ( 2009·江西卷文)函数 y=

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为___________. x

3. (2008·江西卷文)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2] ,则函数 g(x)=

f (2 x ) 的定义域是___________. x ?1

4. 函数 y=

x2 的定义域是___________,值域是___________. x2 ? 1


5. 设 x 取实数,则 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是( A、 f ( x ) ? x , g ( x ) ? x 2 B、 f ( x ) ?

( x )2 x , g( x ) ? x ( x )2

C、 f ( x ) ? 1 , g(x) ? (x ? 1)

0

D、 f ( x ) ? )

x2 ? 9 , g( x ) ? x ? 3 x?3

6.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是(

A.y=(

x )2

B.y=

3

x3

C.y= )

x2

x2 D.y= x

7. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ⑵

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ⑷

? x2



f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;
f 2 ( x) ? 2x ? 5 。
C.⑷ D.⑶、⑸

⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 , A.⑴、⑵ B.⑵、⑶

8.求函数的定义域 (1)

f ( x) ?

( x ? 1) 0 x ?x

(2)g(x)=

x ?1 ? 1? x ? 2

9

(3) 已知 y=f(x+3)的定义域为[1,3],求 f(x-1)的定义域.

(4)若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) + f ( x ? ) 定义域

1 4

1 4

9.求下列函数的值域: (1) y=3x -x+2,x∈[1,3]; (2 ) y =
2

3x ? 1 ; x?2

(3) y=x+4

1? x ;

(4 ) y =

1 2 x2 ? x ? 1 (x> ). 2 2x ?1

10


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