当前位置:首页 >> 数学 >>

线性代数第二章 矩阵_图文

第2章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 矩阵的定义 矩阵的运算 方阵的逆矩阵 分块矩阵

矩阵

矩阵的初等变换 矩阵的秩 矩阵与线性方程组

2.1

矩阵的定义

? a11 a12 ? a1n ? ? ? A ? ? ? 矩阵 ? ? ? ? aij ?m?n ,常用字母 A, B, C ,?表示。 ?a ? ? m1 am 2 ? amn ?

由定义可知,矩阵和行列式是两个截然不同的概念.矩阵 是一张数表,行列式则是一个数值.下面给出一些以后经 常要用到的特殊矩阵: (1)当 m ? n时,称 A 为 n 阶方阵或 n 阶矩阵,由一个方阵 ? b1 ? 组成的行列式称为方阵 A 的行列式,记作 A 。

? ? b2 ? ? (2)称 ? ? ? a1, a2 ,?, an ?为行矩阵或 n 维行向量;称 ? ? ? ? ? 为列矩阵或 m 维列向量. ? ? ? bm ?

线性代数

第二章 矩阵

第1节 矩阵的定义

为了统一,今后若不特殊声明,凡是向量,都是指列 向量形式,即将 n 维向量视为一个 n ? 1矩阵。 (3)
Om?n ?0 ? 0 ? ? ?? ? ?0 0 ? 0? ? 0 ? 0 ? 称为零矩阵 。 ? ?? ? 0 ? 0 ? m?n

? a11 ? (4) ? ? 称为 n 阶对角矩阵,简称对角阵。 a22 ? ? ?? ? ? ? ? ? ann ? ?

?1 ? ? (5)n 阶对角阵 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?

称为 n 阶单位矩阵,记作 I 或 E

(6) n 阶对角阵 ? a
? ? ? ? ?

? ? a ? ? ? ? a?

称为 n 阶数量矩阵,记作aI 或 aE

? a11 a12 ? a1n ? (7) ? ? a ? a 22 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? a nn ? ?

与? ?

a11 a22 ? an 2

? a21 ? ? ? ? an1

? n ?称为 ? ? ? ? ? ann ?

阶上(下)三角矩阵

n 阶方阵满足 aij ? a ji (i , j ? 1, 2,?, n),称为对称矩阵; (8)

aij ? ?a ji (i , j ? 1, 2,?, n),称为反对称矩阵.

2.2

矩阵的运算

一、矩阵的相等
定义1 设 A ? (aij )m?n , n?l 且 B ? (bij )k?l ,若 m ? k ,

aij ? bij ,i ? 1, 2,?, m; j ? 1, 2,?, n,
则称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记作 A ? B 。 行列式相等与矩阵相等有本质区别.例如

?1 0? ?1 2? ? ??? ? 0 1 0 1 ? ? ? ? ,

1 0 1 2 ? 0 1 0 1



线性代数

第二章 矩阵

第2节 矩阵的运算

二、三、矩阵的线性运算 定义2 设有二个 m ? n 矩阵 A ? ? aij ?m?n , B ? ? bij ?m?n ,它们的加法 定义为 a12 ? b12 ? a1n ? b1n ? ? a11 ? b11
? ? A? B ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? m1 m1 am 2 ? bm 2 ? amn ? bmn ?

定义3 数 k 与矩阵 A 的乘法(简称数乘)定义为 ? ka11 ka12 ? kA ? ? ? ? ka ? ?a11 ?a12 ? ?a1n ? ? m1 kam 2 ? ? ? ? ? ?为矩阵 A 的负矩阵,记作 ? A ? ?
? ?a m1 ?am 2 ? ?amn ?

ka1n ? ? ? ? ? kamn ? ? , ?

显然 A ? (? A) ? O ,由负矩阵概念,可定义矩阵的减法:

A ? B ? A ? ( ? B)

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

例1 设

? 1 ?1 2 ? ? 1 0 0? A ? ? ?2 0 3 ? , I ? ? 0 1 0 ? ? 1 1 ?2 ? ? 0 0 1? ? ? ? ?

求:

2 A ? 3I

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

四、矩阵的乘法 定义4 设矩阵 A ? ? aij ? , B ? ? bij ? , 那么矩阵C ? ? cij ?m?n m ?k k ?n 其中 k ? i ? 1,?, m ?
cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? aik bkj ? ? aisbsj ? ? j ? 1, ? , n s ?1 ? ?

称为矩阵 A 与 B 的乘积,记作 C ? AB 。
m

?

m

Ak k Bn ?n

AB为m ? n矩阵
第j列

第i行?
A

??
B

?

Cij

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

例2

? 4 1? 1 0 3 设 A?? ? 2 1 0? ?, B ? ? ? 1 1 ?, 求 AB ? 2 0? ? ? ? ?

例3

1 1 ?, B ? ? 1 ? 1?, 求 设 A?? AB, BA ? 2 2? ? ?1 1 ? ? ? ? ?

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

矩阵乘法不同于一般数的乘法,应注意以下事项: 1)矩阵乘法不满足交换律。 2)矩阵乘法不满足消去律。 3)若矩阵乘法有 AB ? 0 ,不见得有 A ? 0 或B ? 0 。
矩阵乘法运算规律: 1)矩阵乘法的结合律:

? AB ?C ? A?BC ?

2)数乘与矩阵乘法的结合律:?kA?B ? k ? AB ? ? A?kB? 3)矩阵乘法对加法的分配律:A?B ? C ? ? AB ? AC ?B ? C ?A ? BA ? CA

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

引进了矩阵乘法,要注意应用m Akk Bn ? m Cn 。 ? b1 ? n b2 ? ? ? a b ? a1 a2 ? an ? ? ? ? ? i ?1 i i ?b ? ? n?
? b1a1 b1a2 ? b1 ? ? b2 a1 b2 a2 ? b2 ? a a ? a ? n? ?? ? ? ? ?? 1 2 ?b ? ?b a b a ? n? ? n 1 n 2 ? ? ? ? b1an ? b2 an ? ? ? bn an ? ?

设 A ? ? aij ?

m?n

? b1 ? ? x1 ? ,X ? ? ? ? , ? ?? ? ? ?x ? ?b ? n ? ? ? m?

则 AX ? ?

a11 x1 ? ? ? a1n xn ? b1 ? ? 表示线性方程组 ? ?? ? ?am1 x1 ? ? ? amn xn ? bm

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

例4 X ?i ? ?i ? 1,?, s ? 为线性方程组AX ? ? 的解向量, 若 k1 ? ? ? k s ? 1,则 k1 X ?1? ? ? ? k s X ? s ? 亦为 AX ? ? 的解向量。
m ? n 矩阵 单位矩阵在矩阵的乘法中有以下特殊作用:对于 A有
I m A ? AI n ? A

? aI ? A ? A ? aI ? ? aA
m n

线性代数

第三章 矩阵代数

第1节 矩阵的运算

五、方阵的幂与多项式
定义5 设 A 为 n 阶方阵, k 是正整数,称k 个A 连乘积为 k AA ? A ,并约定A0 ? I 。 A 的 k 次幂,记做 A ? ? ? ? ? ?
k 个A

并且有: Ak Al ? Ak ?l

?A ?
k

l

? Akl

但是,若 A 、 B 均为 n 阶方阵:

? AB ?

k

? Ak B k

定义6 设变量 x 的 m次多项式为

f ( x) ? a0 ? a1 x ? ?? am x m
A 是 n 阶方阵,I 是与 A 同阶的单位阵,则称
f ( A) ? a0 I ? a1 A ? ?? am Am

为 A 的方阵多项式.显然, f ( A) 仍然是一个 n 阶方阵.
?2 1 1? ? ? 2 A ? 3 1 2 例5 设 f ( x ) ? x ? x ? 1 , ? ? ,求 f ( A) ? 1 ?1 0 ? ? ?

六、矩阵的转置与对称矩阵 定义7 一个 m ? n 矩阵 A ,若将其行改为列,得到一个 n ? m 矩阵 AT ,称 AT 为 A的转置矩阵,记作 AT 或 A' 。 即

? a11 a12 ? a21 a22 ? A? ? ? ? ? a m1 a m 2

a1n ? ? ? a2 n ? ? ? ? ? amn ? ?

? a11 ? a 12 T ? A ? ? ? ? a1n

a21 ? am1 ? ? a22 ? am 2 ? ? ? ? ? a2 n ? amn ?

显然矩阵 A 的 ?i, j ?元即为转置矩阵AT 的 ? j, i ?元,故若 A ? ? aij ?
可记 AT ? ? a ji ? n?m 。

m? n

? 1 2 5? 例如, A ? ? ? ? 6 4 3?
(1)
( AT )T ? A

,则

?1 6? ? ? T A ? ? 2 4? ?5 3? ? ?

矩阵运算满足以下运算规律:
T T T ( A ? B ) ? A ? B (2)

(3)

(kA)T ? kAT

T T T (4) ( AB)T ? BT AT ,( A1 A2 ? Ak )T ? Ak Ak ?1 ? A1

利用矩阵转置的定义,讨论 n 阶对称矩阵和反对称矩阵

(1)当 A 为 n 阶对称矩阵时,有

aij ? a ji (i, j ? 1,2,?, n) ? AT ? A
(2)当 A 为

n

阶反对称矩阵时,有

aij ? ?a ji (i, j ? 1,2,?, n) ? AT ? ? A

七、方阵的行列式
定义8 由 n 阶方阵 A 的元素按原来的顺序构成的行列式称 为方阵 A 的行列式,记为 A 。 方阵的行列式满足以下运算规律: 设 A, B 为

n

阶方阵, k 为数,则

(1) AT ? A
(2) kA ? k n A (3) AB ? A B

A ? 2 ,求 ?2 A 例6 设 A 为3阶矩阵,

例7 设 A, B 同为 n 阶方阵,如果 AB ? O ,证明: A ? 0 或 B ? 0

2.3

方阵的逆矩阵

一、可逆矩阵和逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶矩阵B ,使得

AB ? BA ? I n
则称 A 为可逆矩阵,称 B 为 A 的逆矩阵,并记为 B ? A?1

定理1 可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的。

二、可逆矩阵的判别及求逆矩阵的方法

Aij 为元素aij 的代数余子式,则矩阵 定义2 设 A ? (aij )n?n ,
? A11 ? ? A12 ? ? ? ? A1n A21 ? A22 ? A2 n An1 ? ? ? An 2 ? ? ? ? ? Ann ?

* A A 称为 的伴随矩阵,记为

,且有性质:
*

AA ? A A ? A I
*

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆
?1

* A 定理2 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件为 A ? 0 ,且A ? A

推论 设 A、B 均为 n 阶矩阵,且满足 AB ? I(或BA ? I) 则 A、B 均可逆,且 B ? A?1 , A ? B ?1 。 例1

1 2 ,验证 A 是否可逆,若可逆求A?1 。 A?? ?3 9? ? ? ?

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

三、逆矩阵的性质 (1)若 A可逆,则 A?1 也可逆,且 ? A?1 ??1 ? A (2)若 A、B 均为 n 阶可逆矩阵,则AB 也可逆,且 ? AB ??1 ? B ?1 A?1 (3)若 A 可逆,则 AT也可逆,且 ( AT )?1 ? ( A?1 )T ?1 1 A?1 kA (4)若 A可逆, ,则 也可逆,且 ? kA ? ? k?0 k

(5)若 A可逆,则 A?1 ? A

?1

例2 A 为 n 阶可逆矩阵,A? 为 A 的伴随矩阵,证明:

A ? A
*

n ?1

A 可逆, 例3 设 n 阶矩阵A 满足A2 ? 3 A ? I ? 0 ,试证:
并求 A?1 。若条件改为 A2 ? 3 A ? 2I ? 0 ,结论是否成立?

A ? I 可逆,并求 ? A ? I ? 。 又已知条件不变,试证:
?1

1 ?1 * A ? (3 A ) ? 2 A 例4 设 A是三阶方阵, 2 ,求行列式

例5 设矩阵 A 和 X 满足关系式 AX ? A ? 2 X

,求矩阵 X

2.4

分块矩阵

一、分块矩阵的概念
定义1 用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小 块,每个小块叫做矩阵的子块(子矩阵),把这些子块当作 数来处理的矩阵叫做分块矩阵.

对于同一个矩阵可有不同的分块法,采用不同的分块方法得 到的是不同的分块矩阵.例如,
? 4 0 0 ? 2 ?1 ? ? ? 0 ? 5 0 ? ? 1 3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 ? ?1 4 ? ?0 2 0 ? 2 0? ? ? 1 ?1 0 ? 1 3 ? ? ? ?
?4 0 ? ? 0 ?5 ?0 0 ? ?? ? ?0 2 ? ? 1 ?1 ? ? ?1? ? ? 0 ?1 ? 3 ? ? 1 ?1 ? 4 ? ? ? ? ? ? ?? ? 0 2 ? 0? ? ? 0 1 ? 3? ? ? 0 2

A ? (aij )m?n 下面介绍几种常用的分块形式:

(1)行分块:把矩阵的每一行看成一个行向量,即以 A 的 m 个行向量为子块所成的分块矩阵,记为

? ?1 ? ? ? ?2 ? ? A? ? ? ? ? ? ??m ?
其中 ?i ? ? ai1, ai 2 ,?, ain ? , (i ? 1, 2,?, m)

(2)列分块:把矩阵的每一列看成一个列向量,即以 A 的 n 个 列向量为子块所成的分块矩阵,记为

A ? ? ?1, ? 2 ,?, ? n ?
其中 ? j ? a1 j , a2 j ,?, amj

?

?

T

, ( j ? 1, 2,?, n)

(3)n 阶准对角阵:又称为分块对角阵,即分块阵A 的非 零子块均位于主对角线上,其余的子块为零矩阵,记为

? A1 0 ? 0 ? ? ? 0 A2 ? 0 ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? sAs ? 其中 Ai (i ? 1, 2,? s) 分别是 ri 阶方阵 (? ri ? n)
i ?1

(4) n 阶三角分块阵 形如

? A11 ? A?? ? ? ?

A12 ? A22

A1s ?或 ? ? A2 s ? ? ? ? ? Ass ?

? A11 ? ? A21 ? ? ? ? As1

A22 ? As 2

? ? ? ? ? ? ? Ass ?

的分块矩阵,分别称为上三角分块阵或下三角分块阵,其中 Aii

(i ? 1, 2,? s) 是方阵 。
重要结论:准对角阵和上(下)三角分块阵的行列式都是它们 的主对角线上各子块的行列式的乘积,即
s

A ? ? Aii
i ?1

二、分块矩阵的运算

1 . 分块矩阵的加法


m ? n 矩阵 A、B 和作同样的分块:
A12 ? A22 ? Ar 2 A1s ? ? ? A2 s ? ? ? ? ? Ars ?
? B11 ? B21 ? B? ? ? ? ? Br1
A12 ? B12 ? Ar 2 ? Br 2 ?

? A11 ? A21 ? A? ? ? ? ? Ar1
其中 Aij 与

B12 ? B1s ? ? B22 ? B2 s ? ? ? ? ? Br 2 ? Brs ?

? A11 ? B11 ? A21 ? B21 ? A? B ? ? ? ? ? Ar1 ? Br1

Bij 为同型的子块,则

A22 ? B22

A1s ? B1s ? ? ? A2 s ? B2 s ? ? ? ? ? Ars ? Brs ?

2. 分块矩阵的数量乘法

A ? ( Aij )r?s

? kA11 ? kA21 ? kA ? ? ? ? ? kAr1

kA12 ? kA1s ? ? kA22 ? kA2 s ? ? ? ? ? kAr 2 ? kArs ?

例1 设 A ? (? ,? ,? , ? ) ,B ? (? , ? , ? , ? ) 都是四阶方阵 A 1 2 3 1 2 3

的列分块矩阵,已知
3. 分块矩阵的乘法 设

B ? ?2 ,求 A ? B . A ?1 ,

A

为 m ? l 矩阵,B 为 l ? n 矩阵,将

分块阵与

t ? s分块阵,即
A12 ? A22 ? Ar 2 A1t ? ? ? A2 t ? ? ? ? ? Art ?

A



B 分别分成 r ?t
B12 ? B1s ? ? B22 ? B2 s ? ? ? ? ? Bt 2 ? Bts ?

? A11 ? A21 ? A? ? ? ? ? Ar1

? B11 ? B21 ? B? ? ? ? ? Bt1

其中 Ai1 , Ai 2 ,?, Ait 的列数分别与 B1 j , B2 j ,?, Btj 的行数对应相等, 则

? C11 ? C1s ? ? ? C ? AB ? ? ? ? ? ?C ? C ? rs ? ? r1
其中

Cij ? ? Aik Bkj (i ? 1, 2,?, r ; j ? 1, 2,?, s)
k ?1

t

例2 设 A 为 m ? l 矩阵, B为 l ? n 矩阵,若将 B 列分块,求 AB 或者将

A

行分块,求 AB

4. 分块矩阵的转置

? A11 ? A21 ? A? ? ? ? ? Ar1

A12 ? A22 ? Ar 2

A1s ? ? ? A2 s ? ? ? ? ? Ars ?

T ? A11 ? T A12 T ? A ? ? ? 则 ? ? AT ? 1s

T A21 ? T A22 ? T A2 s

ArT1 ? T ? ? Ar 2 ? ? ? ? T ? ? Ars ?

即“内外一起转”

三、分块对角阵的运算性质 1.分块对角阵的加法、数量乘法和乘法

? A1 ? 0 ? A? ? ? ? ?0

0 A2 ? 0

0? ? ? 0? ? ? ? ? As ? ?
0 A2 ? B2 ? 0

? B1 ? 0 ? B? ? ? ? ?0
? 0

0 B2 ? 0

0? ? ? 0? ? ? ? ? Bs ? ?

? A1 ? B1 ? 0 ? A? B ? ? ? ? ? 0

? ? ? 0 ? ? ? ? ? As ? Bs ?

? kA1 ? 0 ? kA ? ? ? ? ? 0

0 kA2 ? 0

0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? kAs ? ?

? A1 B1 ? 0 ? AB ? ? ? ? ? 0
其中

0 A2 B2 ? 0

0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? As Bs ? ?

Ai 与 Bi 为同型的方阵。

2.分块对角阵的逆

? A1 ? 0 A?? ? ? ? ?0
可逆,且

0 A2 ? 0

0? ? ? 0 ? ,其中 A1 , A2 ,?, As都可逆,则 A ? ? ? ? As ? ?

? A1?1 ? 0 ?1 ? A ? ? ? ? ? 0 ?

0 A2 ?1 ? 0

0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? As ? ?

例3 设

?1 ? ?1 A ? ?0 ? ?0 ?0 ?

1 0 2 0 0 0

0? ? 0 0 0? 3 ?1 0 ? ? 4 ?2 0 ? 0 0 5? ? 0



A ?1

2.5

矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换与初等矩阵 定义1 对矩阵进行下列变换称为矩阵的初等行(列)变换: (1)将矩阵的第 i 行(列)和第

j 行(列)元素互换,记作

ri ? rj (ci ? c j )
(2)用一个非零的数 k 乘以矩阵 A 的第 i 行(列)元素,记作

kri (kci )
(3)将矩阵 A 的第 i 行(列)元素乘以 行(列),记作

k 加到矩阵的第 j

rj ? kri (c j ? kci )
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

例1 利用初等行变换化矩阵

6 ? ?3 2 9 ? ? ? 1 ? 3 4 ? 17 ? A?? ? 1 4 ?7 3 ? ? ? ? ?1 ?4 7 ?3 ?
为阶梯形矩阵和最简形矩阵。

阶梯形矩阵:

?0 ? ?0 ?? ? T ? ?0 ? ?0 ?? ? ?0 ?
其中

? 0 a1 j1 ? * ? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? 0
?0

* ? 0 0 ? 0

? ?

* * ?

0 ? 0 0 ? 0

? 0 a2 j2 ? ? 0 ? 0 ? ? 0

? arjr ? ? 0 ? 0

* ? *? ? * ? *? ? ?? ? * ? *? ? 0 ? 0? ? ?? ? 0 ? 0? ?

?a
i ?1

r

iji

最简行矩阵:

?0 ? ?0 ?? ? T ? ?0 ?0 ? ?? ?0 ?

? 0 1 ? * 0 ? 0 * ? *? ? ? 0 0 ? 0 1 ? 0 * ? *? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0 0 ? 0 0 ? 1 * ? *? ? 0 0 ? 0 0 ? 0 0 ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 0 0 ? 0 0 ? 0 0 ? 0? ?

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

定义2 由单位矩阵经一次初等变换,得到的矩阵称为 初等矩阵。 初等矩阵有以下类型:

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

(1)把 n 阶单位矩阵 I 的第 i 行(列)与第 j 行(列)互换。

?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 0 ? 1 ? ? 第i 行 ? ? 1 ? P ? i, j ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? 第j行 ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? ?

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

(2)把 n 阶单位矩阵 I 的第 i 行(列)同乘一个非零常数 k 。

?1 ? ? ? ? ? ? 1 P ? i ? k ?? ? ? k ? ? 第i 行 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ?

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

(3)把 n 阶单位矩阵 I 的第 j 行(第 i 列)的 k 倍加到第 i 行 (第 j 列)上。

?1 ? ? ? ? ? 1 ? k ? ? ? 第i 行 ? P ? i, j ? k ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? 第j 行 ? ? ? ? ? 1 ? ?

由初等矩阵的定义,通过计算可得

P(i, j ) ? ?1
P(i(k )) ? k (k ? 0)
所以初等矩阵均可逆,且

P(i, j(k )) ? 1

P(i, j ) ? P(i, j )
P(i, j (k )) ? P(i, j (?k ))
?1

?1

1 P (i (k )) ? P (i ( )) k
?1

即初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵.

例2 设矩阵

? 2 1 2 3? ? ? A ? ?4 1 3 5? ? 2 0 1 2? ? ?

求(1)P(1,3) A ;(2) AP(3(2)) ; (3) P(2,1(?2)) A .

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

初等矩阵在矩阵乘法中起到了特殊的作用。 定理1 (1)对 m? n 矩阵 A 作一次初等行变换,就相当于在 A 的左边乘一个与初等行变换对应的 m 阶初等矩阵; (2)对 A作一次初等列变换,就相当于在 A的右边乘一个 与该初等列变换对应的 n阶初等矩阵。
? 0 0 1 ? ? a11 ? ?? 0 1 0 ? ? ? a21 ? 1 0 0?? a ? ? ? 31
? a11 ? ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33

a12 a22 a32
?1 a14 ? ? ?? 0 a24 ? ?0 ? a34 ? ? ?0

a13 a23 a33
0 1 0 k

a14 ? ? a31 ? ? a24 ? ? ? a21 ? a34 ? ? ? a11
0 0 1 0 0? ? ? a11 0? ? ? ? a21 ? 0 a31 ? ? ? 1?

a32 a 22 a12

a 33 a 23 a13

a 34 ? ? a 24 ? a14 ? ?
a13 a23 a33 a14 ? ? a24 ? a34 ? ?

a12 ? ka14 a22 ? ka24 a32 ? ka34

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

例3

? a11 a12 a13 ? ? a31 a32 ? 3a33 a33 ? A ? ? a21 a22 a23 ? ,B ? ? a21 a22 ? 3a23 a23 ? ?a a a ? ? a a ? 3a a ? 13 13 ? ? 31 32 33 ? ? 11 12

求:初等矩阵 P , P2 ,使 B ? PAP 。 1 2 1

二、矩阵的等价标准形 定义3 若矩阵 A 经过若干次初等变换变成矩阵 B,则称矩阵 A 与矩阵 B 等价,记为 A ? B . 矩阵之间的等价关系有以下三条性质: (1)反身性

A? A


(2)对称性

A ? B ,则 B ? A A ? B , B ? C ,则 A ? C

(3)传递性



定理2 任何一个矩阵 A ? (aij )m?n 都可以经过有限次初等变换 化成下面形式的矩阵

Dm?n
称为矩阵

? Ir O ? ?? ? ?O O?

A 的等价标准形。
? 2 0 ?1 3 ? ? ? A ? ? 1 2 ?2 4 ? ? 0 1 3 ?1 ? ? ?

例4 求矩阵

的等价标准形.

定理3 对于任意一个 m? n 矩阵 A ,一定存在 m 阶可逆 矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ,使得

? Ir O ? PAQ ? ? ? ? O O?
三、 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 定理4 n阶方阵 A 是可逆矩阵的充要条件是存在可逆矩阵

P, Q ,使得 PAQ ? I n(即
干个初等方阵的乘积.

A ? I ).

定理5 n 阶方阵 A 是可逆矩阵的充要条件是 A 可以写成若

对 n 阶可逆矩阵 A ,一定存在 n 阶可逆矩阵 P, Q ,使得

PAQ ? ( PA)Q ? I n
这说明 Q 是 PA 的逆矩阵,从而

QPA ? Q( PA) ? I n
其中

P ? Ps ? P2 P 1

, Q ? Q1Q2 ?Qt ,则

Q1Q2 ?Qt Ps ? P2 P 1 A ? In
上式两边右乘 A ?1,得
?1 Q1Q2 ?Qt Ps ? P PI ? A 2 1 n

由此我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法:

? A I ? ?????? ? I
仅作初等行变换 n

n

A

?1

?

同理,对矩阵方程 AX ? B ,也可由

? A B ? ?????? ? I
仅作初等行变换

n

A B

?1

?



X?A B
上述求逆矩阵和求矩阵方程的方法统称为初等变换法.

?1

线性代数

第三章 矩阵代数

第2节 矩阵的逆

? 1 ?3 2 ? 例5 用初等变换法求 A ? ? ? 3 0 1 ? 的逆矩阵 ? 1 1 ? 1? ? ?

例6 用初等变换法求 X ,使得 XA ? B,其中

?0 2 1? ? ? A ? ? 2 ?1 3 ? ? ? 3 3 ?4 ? ? ?

? 1 2 3? B?? ? ? 2 ?3 1 ?

2.6 矩阵的秩

线性代数

第二章 线性方程组

第3节 矩阵的秩

一、矩阵秩的概念

? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? 定义1 m ? n 矩阵 A ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ?

中任选 k 行、 k 列,位于这些行列交点处的 k 2个元素按 原来的次序构成一个 k 阶行列式,称之为矩阵 A的 k 阶 子式(或称 k 阶子行列式),显然 k ? min?m, n?。

定义2 在 m ? n 矩阵

A 中,非零子式的最高阶数称为 A

的秩,记为 r ( A) 或秩 ( A) 当 A ? O 时,规定 r ( A) ? 0 ;对任意一个非零矩阵 ,由于它至少有一个非零元素,故

A

0 ? r ( A) ? min ?m, n?
定义2’若矩阵

r ?1

A 中,有一个 r 阶子式不等于零,而所有的 阶子式(如果有的话)都等于零,则称矩阵 A 的秩为 r


,记为r ( A) ? r 或秩 ( A) ? r

线性代数

第二章 线性方程组

第3节 矩阵的秩

例1

试求下列矩阵的秩

? 1 ?1 3 0 ? ? ? A ? ? ?2 1 ?2 1 ? ? ? 1 ?1 5 2 ? ? ?

?1 ? 0 ? A? ?0 ? ?0

2 0 0 0

3 6 0 0

4 7 1 0

5? ? 8? 0? ? 0?

由此可知,阶梯形矩阵的秩等于它非零行的个数.

二、用矩阵的初等行变换求矩阵的秩 定理1 对于任意一个非零矩阵,都可以通过初等行变换把它 化成阶梯形矩阵. 定理2 初等变换不改变矩阵的秩. 由上述定理可知,为求矩阵的秩,只要对矩阵施行初等行 变换,化为阶梯形矩阵,再看阶梯形矩阵非零行的个数即 为矩阵的秩.

1 0? ?1 0 2 ? ? 例2 求矩阵 3 ? 1 12 27 5 ? A?? ?0 5 1 4 6? ? ? ? 1 1 ?1 ?11 ?2 ?

的秩。

三、矩阵秩的若干性质 设 A ? (aij )m?n ,B ? (bij )m?n ,则 (1) (2)

0 ? r ( A) ? min ?m, n?
r ( AT ) ? r ( A)

(3)若P 为m 阶可逆矩阵, Q 为 n 阶可逆矩阵,则

r ( PA) ? r ( AQ) ? r ( PAQ) ? r ( A)
(4)若 A 为 n 阶可逆矩阵

? A ? 0 ? r ( A) ? n

(5)

r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)

(6)设 A ? (aij )m?k , B ? (bij )k?n ,则

r ( AB) ? min ?r ( A), r ( B)?

2.7 矩阵与线性方程组

讨论一般的 n 元线性方程组,形式如下:

当 则称为非齐次线性方程组。 由 n 个数 当

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 (7.1) ? ???????????? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm b1 ? b2 ? ? ? bm ? 0 时,称为齐次线性方程组;否
k1 , k2 ,?, kn
组成的有序数组

? k1 , k2 ,? , kn ?
T

T



x1 , x2 ,?, xn 分别用 k1 , k2 ,?, kn代入后,方程组中每
为方程组的解

个等式都变成恒等式,称 X ? ? k1 , k2 ,? , kn ?
向量,简称为解.

对于方程组,有以下三个问题需要解决.

(1)如何判定方程组是否有解?
(2)如果方程组有解,它有多少个解? (3)如何求出线性方程组的全部解?

利用矩阵这个工具,可以方便地解决上述问题.下面我们

通过具体的例子来介绍这个方法.

例1 求解线性方程组

? ?3 x1 ? 2 x2 ? 8 x3 ? 17 ? ? 2 x1 ? 5 x2 ? 3 x3 ? 3 ? x ? 7 x ? 5x ? 2 1 2 3 ?
? x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? ?1 ?2 x ? 6 x ? 3 x ? 5 ? 1 2 3 ? ?3 x1 ? 9 x2 ? 10 x3 ? 2 ? ? x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? 6

? x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? ?1 ? ?2 x1 ? 6 x2 ? 3 x3 ? 5 ? x ? 3x ? 5x ? 4 2 3 ? 1
以上三个例子的解法就是高斯消元法.这种解法可以用于

一般的线性方程组,消元的结果,总可以得到一个与原方
程组同解的“标准”的阶梯形方程组或出现矛盾方程,即 可得下列一般形式:

? x1 ? c12 x2 ? ? ? c1n xn ? d1 ? x 2 ? ? ? c2 n x n ? d 2 ? ? ?????? ? ? x r ? ? ? cr n x n ? d r ? ? 0 ? d r ?1 ?
由此方程组很容易看出,方程组(7.1)的解有下列三种情 形: (1)若 (2)若 (3)若

dr ?1 ? 0 ,则方程组(7.1)无解;

dr ?1 ? 0 ,且 r ? n ,则方程组(7.1)有唯一解 dr ?1 ? 0 ,且 r ? n
,则方程组(7.1)有无穷解

分析一下消元过程,我们对线性方程组作了三种变换: (1)把一个方程的倍数加到另一个方程上;

(2)互换两个方程的位置;
(3)用一个非零数乘某一个方程. 这三种变换称为线性方程组的初等变换.

在线性方程组的求解过程中,只有系数和常数项进行了运算,
因此,为了书写方便,对于一个线性方程组可以只写出它的系 数和常数项,并把他们按原来的次序排成一张表:

? a11 a12 ? a1n b1 ? ? ? a a ? a b 22 2n 2 ? ? A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn bm ? 这张表称为线性方程组的增广矩阵.只列出方程组中未知量
系数的表称为方程组的系数矩阵:

? a11 a12 ? a21 a22 ? A? ? ? ? ? a m1 a m 2

a1n ? ? ? a2 n ? ? ? ? ? amn ? ?

一个线性方程组与一个增广矩阵相对应,每个方程式与矩阵

的一行相对应,因此方程组的三种初等变换对应了矩阵的三
种初等行变换: (1)把矩阵的一行的倍数加到另一行上; (2)互换矩阵两行的位置; (3)用一个非零数乘矩阵的某一行.

例2 解线性方程组

? ? x1 ? 4 x2 ? x3 ? 1 ? ? x2 ? x3 ? 1 ? ? x ? 3x ? 2 x ? 0 2 3 ? 1

将高斯消元法用于求解一般齐次线性方程组:

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ???????????? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
定理1 在齐次线性方程组中,

(7.6)

r ( A) ? r ? n ? (7.6) 仅有全零解

r ( A) ? r ? n ? (7.6) 有无穷多解,即有非零解。

?0? ? ? 0? ? X? ??? ? ? ?0?



定理2 齐次线性方程组(7.6)中,若方程个数 m ? n (未知量 个数),则(7.6)必有非零解. 定理3

n 元齐次线性方程组
?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ???????????? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0

只有全零解的充分必要条件是方程组的系数行列式不等于零.

推论

n 元齐次线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ???????????? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0
的系数行列式等于零的充分必要条件是方程组有非零解.