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2013-2014学年荔湾区青年教师解题比赛数学试题(含答案)

2013-2014 学年荔湾区教师解题比赛数学试题
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
]

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的. 1. 如果复数 (m ? 3m) ? (m ? 5m ? 6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为(
2 2



A. 0
2

B. 2
2

C. 0 或 3

D. 2 或 3 )

2. 已知双曲线 x ? my ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值为( A. 4 B.

1 4

C. ?

1 4

D. ?4

3. 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示,则四棱 锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是( A. 3 C. 6 B. 2 5 D. 8 ) )

4. 下列结论中正确的是(

①“ p ? q ” 为真是“ p ? q ” 为真的充分不必要条件; ②“ p ? q ”为假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; ③“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件; ④“ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件; A. ①② B.①③ C. ②④ D. ③④

5. 如图 2 为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象, 其中 A 、 那么 f (?1) ? B 两点之间的距离为 5, ( ) A. 2 B. 3 C. ? 3
1

D. ?1

6. 在 ?ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使 ?ABD 为
?

锐角三角形的概率为( A.

) C.

5 6

B.

2 3

1 2

D.

1 3

7. 已知正项等比数列 ? an ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为( m n 3 5 A. B. 2 3

) C.

25 6

D. 不存在

8. 定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a, b ? ,则关于空间向量上述运算的以 下结论中,① a ? b ? b ? a ,② ? (a ? b) ? (?a) ? b ,③ (a + b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) , ④ (a + b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) . 恒成立的有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 ) D. 4 个

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 如图 3 所示的程序框图,若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 10. 若函数 f ( x) ? lg ? 则常数 a .

? 2x ? ? a ? 在其定义域上是奇函数, ? 1? x ?
.

11. 现有 4 种不同颜色要对如图 4 所示的四个部分进行 着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不 同的着色方法共有 种.

12. 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,则方程 f ( x) ? log 3 x 的解个数是 个.

? x ? y ≥ 2, ? 13. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, 若目标函数 z ? y ? ax 仅 ?0 ≤ y ≤ 3, ?
在点 (5,3) 处取得最小值,则实数 a 的取值范围为 .

2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. ( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 所 示 , 在 ?ABC 中 ,

?ABC ? 90? ,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的
圆与 AB 交于点 E , 与 AC 切于点 D , 连结 DB 、DE 、OC , 已知 AD ? 2 , AE ? 1 ,则 CD ? . 15. (坐标系与参数方程选做题) 直线 ?

? x ? ?2 ? 4t , ( t 为参数) ? y ? ?1 ? 3t
.

被圆 ?

? x ? 2 ? 5cos ? , ( ? 为参数)所截得的弦长为 ? y ? 1 ? 5sin ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 cos C ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 2 ,求 b 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能 力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力 为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听 觉记忆能力为中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值; (2) 从 40 人中任意抽取 3 人, 求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率; (3) 从 40 人中任意抽取 3 人, 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数 为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? .

3

18.(本小题满分 14 分) 如图6,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD ,线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂 直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C 、 D 的点, AE ? 3 ,圆 O 的直径为9. (1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ; (2)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值.

设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? n(an ? a1 ) , n ? N (1)证明:数列 ? an ? 是等差数列;

19.(本小题满分 14 分)

*

(2)若公差 d ? 0 ,S9 ? 45 ,且 a1 , a4 , a 1 6 成等比数列,求不超过 P ? 最大整数的值.

2013

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 的 2 ai ai ?1

20.(本小题满分14分)

已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,

QF ? FP?FQ . 且 QP?
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两 点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

21.(本小题满分 14 分)

ln x ?x. x (1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值; 1? n 1? n * (3)试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln ? 2 恒成立. n n
已知函数 f ( x) ?

4

2013-2014 学年荔湾区教师解题比赛数学试题 参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 A

二、填空题: 题号 答案 9 5 10 11 48 12 4 13 14 3 15 6

?1

a ?1

三、解答题: 16. (1)因为 cos C ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0 , 所以 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0 , 即 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 ,即 sin A(sin B ? 3 cos B) ? 0 , 因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B , 所以 tan B ? 3 , B ? (0, ? ) ,所以 B ?
2 2 2

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,即 b ? (a ? c) ? 3ac , 因为 a ? c ? 2 ,所以 b ? 4 ? 3ac ≥ 4 ? 3 ? ?
2

?a?c? ? ? 1 ,当且仅当 a ? c ? 1时等号成立, ? 2 ?

2

所以 b ≥1 ,又因为 b ? a ? c ? 2 ,所以 b 的取值范围为 [1, 2) 17.解: (1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上 的学生共有 ?10 ? a ? 人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上” 为事件 A ,则 P( A) ?

10 ? a 2 ? ,解得 a ? 6 . 40 5

所以 b ? 40 ? (32 ? a) ? 40 ? 38 ? 2 . 答: a 的值为 6, b 的值为 2. (2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法 1:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B ,
5

所以 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

C3 124 123 32 ? 1? ? . 3 C40 247 247

答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率为

123 . 247

方法 2:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 所以 P ? B ? ?
2 2 1 3 C1 123 8 C32 ? C8 C32 ? C8 ? . 3 C40 247

答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率为

123 . 247
3

(3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C40 ,其中具有听觉记忆能力或视觉记 能力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记 能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 C 24 C16 , 所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或 超常的概率为 P(? ? k ) ?
3? k Ck 24 C16 , ? k ? 0,1, 2,3? C3 40

k

3? k

? 的可能取值为 0,1,2,3,
因为 P (? ? 0) ?
3 2 C0 C1 14 72 24 C16 24 C16 ? P ( ? ? 1) ? ? , , 3 3 C40 247 C40 247

P (? ? 2) ?

1 0 C2 C3 552 253 24 C16 24 C16 ? P ( ? ? 3) ? ? , , 3 3 C 40 1235 C40 1235

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

14 247

72 247

552 1235

253 1235

14 72 552 253 2223 9 ? ? . ?3 ? ?1? ?2 ? 247 247 1235 1235 1235 5 9 答:随机变量 ? 的数学期望为 . 5
所以 E? ? 0 ?
6

18. (1)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ABCD ? 平面 ADE . (2)解法 1:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2 2 2 由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .

∴ DE ?

AD 2 ? AE 2 ? 6 .

过点 E 作 EF ? AD 于点 F ,作 FG ? AB 交 BC 于点 G ,连结 GE , 由于 AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE , ∴ EF ? AB . ∵ AD ? AB ? A , ∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? EF . ∵ BC ? FG , EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG . ∵ EG ? 平面 EFG , ∴ BC ? EG . ∴ ?FGE 是二面角 D ? BC ? E 的平面角. 在 Rt △ ADE 中, AD ? 3 5 , AE ? 3 , DE ? 6 , ∵ AD ? EF ? AE ? DE ,
7

G F

∴ EF ?

AE ? DE 3 ? 6 6 5 ? ? . AD 5 3 5

在 Rt △ EFG 中, FG ? AB ? 3 5 , ∴ tan ?EGF ?

EF 2 2 ? .故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为 . FG 5 5

解法 2:∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2 2 2 由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .

∴ DE ?

AD 2 ? AE 2 ? 6 .

以 D 为坐标原点,分别以 ED 、CD 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立如图所示的空间直角坐标 系,则 D ? 0, 0, 0 ? , E ? ?6, 0, 0 ? , C 0, ?3 5, 0 , A ? ?6, 0,3 ? , B ?6, ?3 5,3 . 设平面 ABCD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

?

?

?

?

??? ? ? n ? DA ? 0, ? ? ?6 x1 ? 3 z1 ? 0, ? 1 则 ? ???? 即? ? ?3 5 y1 ? 0. ? ?n1 ?DC ? 0. ?
取 x1 ? 1 ,则 n1 ? ?1, 0, 2 ? 是平面 ABCD 的一个法向量. 设平面 BCE 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? , x

z

y

??? ? ? ?n2 ?EB ? 0, ? ??3 5 y2 ? 3z2 ? 0, 则 ? ??? 即? ? ? ?n2 ?EC ? 0. ? ?6 x2 ? 3 5 y2 ? 0.
取 y2 ? 2 ,则 n2 ? ∵ cos n1 , n2 ?

?

5, 2, 2 5 是平面 ABCD 的一个法向量.

?

?1,0, 2?? 5, 2, 2 5 n1 ?n2 5 , ? ? n1 ? n2 1 ? 0 ? 4 ? 5 ? 4 ? 20 29
2 2 2 .∴ tan n1 , n2 ? .故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为 . 5 5 29
8

?

?

∴ sin n1 , n2 ?

19. (1) 2Sn ? n(an ? a1 )

① ②

当 n ≥ 2 时, 2Sn ?1 ? (n ? 1)(an ?1 ? a1 )

① ? ②得 2an ? n(an ? a1 ) ? (n ? 1)(an ?1 ? a1 ) 整理得 (n ? 2)an ? a1 ? (n ? 1)an ?1 所以 (n ? 1)an ?1 ? a1 ? nan ④ ③

③ ? ④得 (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan , 即 2(n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ?1 , 即 2an ? an ?1 ? an ?1 , 即 an?1 ? an ? an ? an?1 ( n ≥ 2 ) 所以数列 ? an ? 是等差数列. (2)因为 S9 ? 45 , 所以 9a1 ? 36d ? 45 ,即 a1 ? 4d ? 5 因为 a1 , a4 , a16 成等比数列且 d ? 0 , 所以 (a1 ? 3d ) ? a1 (a1 ? 15d ) ,整理得 a1 ? d ,
2

由?

?a1 ? 4d ? 5, 解得 a1 ? d ? 1 , ?a1 ? d
*

所以 an ? n , n ? N , 所以 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 1? 2 ? ? 2 an an ?1 n (n ? 1) 2

n 2 ( n ? 1) 2 ? n 2 ? ( n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2

?

n 2 (n ? 1) 2 ? 2n(n ? 1) ? 1 [n(n ? 1) ? 1]2 n(n ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? 1? ? , 2 2 2 2 n (n ? 1) n (n ? 1) n(n ? 1) n n ?1
2013

所以 P ?

?
i ?1

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2013 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2014 ? 2 ai ai ?1 2 2 3 2013 2014 2014 1? 1 1 ? 2 的最大整数为 2013. 2 ai ai ?1
9

所以不超过 P ?

2013

?
i ?1

20. (1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,

QF ? FP?FQ , 因为 QP?
所以 ? 0, y ? 1?? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1??? x, ?2 ? .
2 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y .
2

2 (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a ? 4b .



圆 M 的半径为 MD ? a 2 ? ? b ? 2? .
2

圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? .
2 2 2 2

令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? ,
2 2 2 2

整理得 x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .
2



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , 所以 l1 ?

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?
2

2

?4 .
2

l l l 2 ? l2 2 所以 1 ? 2 ? 1 ? l2 l1 l1l2

? a ? 2? ? 4 ? ? a ? 2? ? 4 ? 2 2 ? a ? 2? ? 4 ? ? a ? 2? ? 4


2a 2 ? 16 a 4 ? 64

?2

?a

16a 2 , ? 2 1? 4 a 4 ? 64 a ? 64

2

? 8?

2

当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ?2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1
10

21. (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 ? ln x 1 ? x 2 ? ln x , ? 1 ? x2 x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (0,1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数, 所以 f ( x)max ? f (1) ? ?1 (2)由(1)得函数 f ( x) 在 (0,1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数.

1 时, f ( x) 在 [m, 2m] 上是增函数, 2 ln(2m) 所以 f ( x)max ? f (2m) ? ? 2m 2m 1 ②当 m ≤1≤ 2m ,即 ≤ m ≤ 1时, f ( x) 在 [m,1] 上是增函数,在 (1, 2m] 上是减函数, 2
①当 0 ? 2m ? 1 ,即 0 ? m ? 所以 f ( x)max ? f (1) ? ?1 ③当 m ? 1时, f ( x) 在 [m, 2m] 上是减函数, 所以 f ( x) max ? f (m) ? 综上所述,当 0 ? m ?

ln m ?m m

1 ln(2m) 1 时, f ( x) 的最大值为 ? 2m ;当 ≤ m ≤ 1时, f ( x) 的最 2 2m 2 ln m 大值为 ?1 ;当 m ? 1时, f ( x) 的最大值为 ?m. m ln x (3)由(1)得当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? ?1 ,即 ln x ? x( x ? 1) x
令x?

n ?1 n ?1? n ?1 ? n ?1 ,得 ln ? ? 1? , ? n n ? n n ?

所以 ln

1? n 1? n ? 2 . n n

11