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专题:常见递推数列通项公式的求法


专题:常见递推数列通项公式的求法
一. 教学内容: 专题:常见递推数列通项公式的求法 二. 教学重、难点: 1. 重点: 递推关系的几种形式。 2. 难点: 灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】 典型例题】
[例 1] a n +1 = ka n + b 型。 (1) k = 1 时, a n +1 ? a n = b ? {a n } 是等差数列, a n = b ? n + ( a1 ? b) (2) k ≠ 1 时,设 a n +1 + m = k (a n + m) ∴ a n +1 = ka n + km ? m

比较系数: km ? m = b



m=

b k ?1



{a n +

b b a1 + } k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1 a n = ( a1 + b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1



an +

b b = ( a1 + ) ? k n ?1 k ?1 k ?1



[例 2] a n +1 = ka n + f ( n) 型。 (1) k = 1 时, a n +1 ? a n = f ( n) ,若 f (n ) 可求和,则可用累加消项的方法。

例:已知 {a n } 满足 a1 = 1 , 解:

a n+1 ? a n =

1 n( n + 1) 求 {a n } 的通项公式。



a n +1 ? a n =

1 1 1 = ? n( n + 1) n n + 1



a n ? a n ?1 =

1 1 ? n ?1 n

a n ?1 ? a n ? 2 =

1 1 ? n ? 2 n ?1

a n ? 2 ? a n ?3 = a3 ? a 2 =

1 1 ? n ? 3 n ? 2 …… a 2 ? a1 = 1 ? 1 2 1 n


1 1 ? 2 3

对这( n ? 1 )个式子求和得:

a n ? a1 = 1 ?

an = 2 ?

1 n

(2) k ≠ 1 时,当 f ( n ) = an + b 则可设 a n +1 + A( n + 1) + B = k ( a n + An + B ) ∴ a n +1 = ka n + ( k ? 1) An + ( k ? 1) B ? A

?(k ? 1) A = a ? ∴ ?( k ? 1) B ? A = b

解得:

A=

b a a B= + k ? 1 ( k ? 1) 2 k ?1 ,

∴ {a n + An + B} 是以 a1 + A + B 为首项, k 为公比的等比数列
n ?1 ∴ a n + An + B = ( a1 + A + B ) ? k n ?1 ? An ? B ∴ a n = ( a1 + A + B ) ? k

将 A、B 代入即可

n (3) f ( n) = q ( q ≠ 0,1)

等式两边同时除以 q

n +1

a n +1 k a n 1 = ? n + n +1 q q q 得q
k 1 Cn + q q
∴ {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型



Cn =

an qn



C n +1 =

[例 3] a n+1 = f ( n) ? a n 型。 (1)若 f (n ) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n ) 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。

例:已知:

a1 =

1 2n ? 1 an = a n ?1 3, 2n + 1 ( n ≥ 2 )求数列 {a n } 的通项。

a n a n ?1 a n ? 2 a3 a 2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? L ? = ? ? L ? = a 2 a1 2n + 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n + 1 解: a n ?1 a n ? 2 a n ?3
a n = a1 ? 3 1 = 2n + 1 2n + 1



an = k ?
[例 4]

m ? a n ?1 m + a n ?1 型。
1 1 k =k? + a n ?1 m ∴ an

1 1 1 = k( + ) a n ?1 m 考虑函数倒数关系有 a n Cn = 1 an



则 {C n } 可归为 a n +1 = ka n + b 型。

练习: 1. 已知 {a n } 满足 a1 = 3 , a n +1 = 2a n + 1 求通项公式。 解: 设 a n +1 + m = 2( a n + m)

a n +1 = 2a n + m

∴ m =1

∴ {a n +1 + 1} 是以 4 为首项,2 为公比为等比数列
n ?1 ∴ an + 1 = 4 ? 2 n +1 ∴ an = 2 ? 1

* 2. 已知 {a n } 的首项 a1 = 1 , a n +1 = a n + 2n ( n ∈ N )求通项公式。

解:

a n ? a n ?1 = 2(n ? 1) a n ?1 ? a n ?2 = 2(n ? 2) a n ?2 ? a n ?3 = 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 = 2 × 2

+ a 2 ? a1 = 2 × 1
a n ? a1 = 2[1 + 2 + L + ( n ? 1)] = n 2 ? n

2 ∴ an = n ? n ? 1

3. 已知 {a n } 中, 解:

a n +1 =

n an n + 2 且 a1 = 2 求数列通项公式。

a n a n?1 a n ?2 a3 a 2 n ? 1 n ? 2 n ? 3 n ? 4 2 1 2 L ? L ? = ? ? = ? ? ? a n ?1 a n ?2 a n ?3 a 2 a1 n + 1 n n ? 1 n ? 2 4 3 n(n + 1) an 2 = n(n + 1) ∴ a1
a n +1 = an = 4 n( n + 1)



4. 数列 {a n } 中, 解:

2 n +1 ? a n 2 n +1 + a n , a1 = 2 ,求 {a n } 的通项。

1 a n+1

2 n +1 + a n = n +1 2 an

1
∴ a n +1

= 1 2

1 1 + n +1 an 2 bn = bn ?1 + 1 2n



bn =

1 an



bn +1 = bn +

n +1





bn ? bn ?1 =

1 2n 1

bn ?1 ? bn ? 2 = bn ? 2 ? bn ? 3 = b3 ? b2 = + b2 ? b1 = 1 23 1 22

2 n ?1 1 2 n ? 2 ……

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 1 1 2 = 2 = ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 = 2 + 3 + L + n 1? 2 2 2 2

1 1 1 2n ?1 bn = ? n + = 2 2 2 2n ∴
5. 已知: a1 = 1 , n ≥ 2 时, 解:

2n an = n 2 ?1 ∴
1 a n ?1 + 2n ? 1 2 ,求 {a n } 的通项公式。

an =

1 a n + An + B = [ a n ?1 + A( n ? 1) + B ] 2 设 an = 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ?? 2 A = 2 ? ? ?? 1 A ? 1 B = ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A = ?4 ? 解得: ? B = 6

∴ a1 ? 4 + 6 = 3

1 {a n ? 4n + 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列 ∴ 1 a n ? 4n + 6 = 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an = 3 2 n ?1 + 4n ? 6



【模拟试题】 模拟试题】
n 1. 已知 {a n } 中, a1 = 3 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。

2. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 3a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。
n 3. 已知 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 2 a n ?1 + 2 ( n ≥ 2 )求 a n 。

4. 已知 {a n } 中, a1 = 4 ,

an = 4 ?

4 a n ?1 ( n ≥ 2 )求 a n 。 an =
2 2S n 2S n ? 1 ( n ≥ 2 )

5. 已知 {a n } 中, a1 = 1 ,其前 n 项和 S n 与 a n 满足

1 } S n 为等差数列 (2)求 {a n } 的通项公式 (1)求证: {

1 S n = ( a n + 2) 2 8 6. 已知在正整数数列 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 1 = a n ? 30 (2)若 bn 2 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值

(1)求证: {a n } 是等差数列

【试题答案】 试题答案】
1. 解:
n n ?1 由 a n +1 = a n + 2 ,得 a n = a n ?1 + 2

∴ a n ? a n ?1 = 2

n ?1

a n ?1 ? a n ? 2 = 2 n ? 2 ……

+ a 2 ? a1 = 2
2(1 ? 2 n ?1 ) a n ? a1 = = 2n ? 2 1? 2 ∴
2. 解: 由 a n = 3a n ?1 + 2 得: a n + 1 = 3( a n ?1 + 1)
n n ∴ a n = 2 ? 2 + a1 = 2 + 1

an + 1 =3 ∴ a n?1 + 1

即 {a n + 1} 是等比数列
n ?1 n ?1 ∴ a n = ( a1 + 1) ? 3 ? 1 = 2 ? 3 ? 1

a n + 1 = ( a1 + 1) ? 3 n ?1
3. 解:

a n a n ?1 ? n ?1 = 1 n 2 由 a n = 2 a n ?1 + 2 得 2
n



{

an 1 an } = + (n ? 1) n 2 成等差数列, 2 n 2 4 2(a n ? 2) = an an

n n ?1 ∴ an = n ? 2 ? 2

4. 解:

a n +1 ? 2 = 2 ?
1
∴ a n +1 ? 2

1
∴ a n +1 ? 2

=

an 1 1 = + 2(a n ? 2) 2 a n ? 2 ( n ≥ 1 )

?

1 1 1 bn = = a n ? 2 2 ( n ≥ 1 )设 an ? 2
1 (n ≥ 1) 2 1 1 1 n = + (n ? 1) ? = 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2 an = 2 +2 n



bn +1 ? bn =

∴ {bn } 是等差数列

5. 解:

(1)

S n ? S n ?1 =

2 2S n 2S n ? 1

∴ S n ?1 ? S n = 2 S n S n ?1

1 1 ? =2 S n S n ?1 1 = 2n ? 1 Sn ∴

{


1 } S n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列

(2)

Sn =

1 2n ? 1

1 2 ) ?2 2n ? 1 = an = (n ≥ 2) 2 1 4n ? 8n + 3 2? ?1 2n ? 1 ∴ 2(
?1 ? an = ? ?2 ? 4 n 2 ? 8n + 3 ? ∴ n =1 ( n ≥ 2)

又 ∵ a1 = 1 6. 解:

1 a1 = S1 = (a1 + 2) 2 8 (1)

∴ a1 = 2

1 1 a n = S n ? S n ?1 = (a n + 2) 2 ? (a n ?1 + 2) 2 n ≥ 2 时, 8 8
整理得: ( a n + a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 4) = 0 ∵ {a n } 是正整数数列 ∴ a n + a n ?1 ≠ 0 ∴ a n ? a n ?1 = 4 ∴ a n = 4n ? 2

∴ {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

(2)

bn =

1 (4n ? 2) ? 30 = 2n ? 31 2
2 ∴ S n = n ? 30n

∴ {bn } 为等差数列

2 ∴ 当 n = 15 时, S n 的最小值为 15 ? 30 × 15 = ?225


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