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直线方程x


第 3 期 高中数学教与学

直线方程 x = m y + n 的简单运用
武增明
(云南省玉溪第一中学 , 653100 )

在解析几何中 , 直线与圆锥曲线的位置 关系是经久不衰的热点 , 在设直线方程时 , 我 们总习惯用与直线斜率有关的直线方程 , 即 点斜式或斜截式 . 这当然没有错 , 但由于这些 直线方程不能表示与 x 轴垂直的直线 , 故在解 答时 , 容易忽视对斜率不存在的情形或者运 算较繁 , 需要讨论几种情形 . 如果当我们知道 直线的斜率不为零时 , 可将其方程设为 x =
m y + n. 这样不仅可以避免讨论直线斜率的存

角为 α(α ≠ 0 ) , 则 m = co tα . 一, 简求" 焦点三角形 " 面积的最值 例 1 设 F1 , F2 是椭圆 2 x + 3 y 大值 .
2 2

= 6的

在性 , 而且有时可大大简化运算 . 下面我们首先来看看直线方程 x = m y +
n 的特征 , 第一是直线与 x 轴的交点为 ( n, 0 ) ;

第二是此方程能表示与 x 轴垂直的直线 (m =
0 ) , 但不能表示与 y 轴垂直的直线 ; 第三是所 1
m

表示直线的斜率为

( m ≠ 0 ) , 若直线的倾斜

正解 令
+ =

x + 4 = t ( t ≥ 2) , 则 y = t

2

1
t

在 [ 2, + ∞) 上是增函数 , 从而 y ≥ 2 +

1 2

5 5 , 故最小值为 . 2 2

例 4 已知 x > 0, y > 0, x + y = 1, 求
+

1
x

2
y

的最小值 . 错解 ∵x > 0, y > 0, ∴x + y ≥ 2 由 x + y = 1, 得 xy ≤
1 , 4 2
xy xy,

① ②
1
x +



1
x

+

2
y +

≥2
2
y

由 ①得

1
x

≥ 4 2, 所以

2
y

的最

左, 右焦点 , 弦 AB 过 F2 . 求 & F1 AB 的面积的最 分析 显然过焦点 F2 的直线 AB 的倾斜
2 2

角不为零 , 故可设其直线方程为 x = m y + 1, 与椭圆 2 x + 3 y = 6 联立 , 消去 x, 整理得
( 2m
2

+ 3 ) y + 4m y - 4 = 0.

2

又设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则
y1 + y2 =

2m

- 4m - 4 , y1 y2 = , 2 2 +3 2m + 3

于是 S& F AB =
1

1 | F1 F2 |· y1 - y2 | | 2
( y1 + y2 )
2

=

- 4 y1 y2

小值为 4 2.

剖析 式 ①等号成立时有 x = y, 式 ②
1
x =

等号成立时有
+

2
y

, 显然二者矛盾 , 因此

1
x

2
y

最小值为 4 2 是错的 .

正解 ∵x > 0, y > 0, x + y = 1, ∴
1
x +

2
y

=

x + y 2 ( x + y) + x y

=3 +

y 2x ≥ 3 + 2 2. + x y



1
x

+

2
y

最小值为 3 + 2 2.

所以在利用基本不等式解题时 , 一定要保

证三个条件均满足缺一不可 , 在连续使用基本 不等式时要保证所有等号成立条件一致 .

·4 7 ·

高中数学教与学 2010 年
=
=
2

- 4m 2 2m + 3
2

2

+

16 2m
2

=

+3

4p , 4 sin α 2p 2 . sin α

2

48 ( m + 1 ) 2 2 , ( 2m + 3 )

从而 | AB | =

令 m + 1 = t ( t ≥ 1) , 则
S& F AB = 4 3 ·
1 1

评注 在设直线方程为 x = m y + n时 , 要 注意 m 与其倾斜角 α的关系 .
1 1
t . +4

三, 简易判断动直线是否过定点 例 3 已知点 A ( x0 , 2 ) 在曲线 C: y = 4 x 上 , 过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD, A E, 且 AD,
A E 的斜率分别为 k1 ,2 满足 k1 k2 = 2, 试判断 k
2

4t +

可证明函数 f ( t) = 4 t +

1
t

, 当 t ≥ 1时为

增函数 , 故 t = 1 时 , f ( t) 的最小值为 f ( 1 ) =
5.

动直线 D E 是否过定点 ? 证明你的结论 . 分析 因为动直线 D E 与 x轴相交 , 且倾 斜角可能为 90 ° , 又动直线 D E 的倾斜角不可 能为零 , 故设动直线 D E的方程为 x = m y + n, 以期给运算带来简化 . 又设 D
y1
2

避免了对直线 AB 的斜率存在与不存在的讨 论 . 本 题 恰 好 是 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 ,
S & F AB
1

轴上的某点 , 或在要考虑斜率不存在的直线 方程时 , 设此方程形式不仅能显示出其优越 性 , 而且能回避陷入僵局的情形 . 二, 简求弦长或弦长的最值 例 2 过抛物线 y = 2 px ( p > 0 ) 的焦点
2

F 的一条直线和抛物线相交于 A, B 两点 , 若直

线 AB 的斜率角为 α(α ≠ 0 ) , 求证 :
| AB | =

点斜式 , 则需要讨论其倾斜角 α为直角与非直 角两种情形 . 由于直线 AB 不与 y 轴垂直 , 故设直线 AB
p

的方程为 x = m y +

A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) .

所以 S & F AB 的最大值为
2

4 3 . 3

此时 m = 0, 即直线 AB 垂直于 x 轴 . 评注 设直线 AB 的方程为 x = m y + 1,

4

, y1 , E y1 - 2 y1
2

y2

2

4
=

, y2 , 易知 A ( 1, 2 ) ,

则 k1 =

4 3 达到最大值 . 因此 , 在已知直线过 x 3

4

- 1

. y1 + 2

4

同理得 k2 =

. y2 + 2 (3 )

4

因为 k1 k2 = 2, 所以
y1 y2 + 2 ( y1 + y2 ) - 4 = 0.
2

把 x = m y + n 与 y = 4 x 联立 , 消去 x, 整 理得
y - 4m y - 4 n = 0.
2

2p 2 . sin α

式 , 得 n = 2m - 1, 因此动直线 D E 的方程为 x
+ 1 = m ( y + 2 ) , 由此知 , 动直线 D E 过定点 ( - 1, - 2 ) .

分析 若设直线 AB 的方程为斜截式或

+ n, 避免了对倾斜角为 90 ° 的情形的讨论 , 并

(其中 m = co tα) , 又设

且由于其方程的常数项为 n, 在将直线方程代 入曲线方程时 , 简化了运算 . 根据题设条件 , 选用恰当的直线方程形 式是达到求简目的的重要手段 , 一旦灵活选 用恰当的方程 , 就可以大大简化求解过程 . 当 直线过圆锥曲线在 x 轴上的焦点或直线和圆

将 x = my +

p

2

与 y = 2 px 联立 , 消去 x,

2

整理得
y - 2 pm y - p
2 2 2 2

= 0,
2 2

于是 y1 + y2 = 2 pm = 2 pco tα, y1 y2 = - p .
| AB | = ( 1 + m ) [ ( y1 + y2 )
2 2 2 2

锥曲线相交 , 且与 x 轴相交时 , 常常可以设出 直线方程为 x = m y + n, 这样既避免了讨论 , 又提高了解题速度 .

- 4 y1 y2 ]

= ( 1 + co t α) ( 4 p co t α + 4 p )

·48·

于是 y1 + y2 = 4m , y1 y2 = - 4 n, 代入 ( 3 )

评注 设出动直线 D E 的方程为 x = m y


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