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13-14学年高二下学期期末模拟试卷(数学理)

13-14 学年度第二学期期末模拟试题 高二数学理科
一、填空题: 1.将 M 点的极坐标 ( ?4 2 , 3 ? ) 化为直角坐标为 4 2. 若 a∈R,且 ;.

3 ? ai 为纯虚数,则 a 的值为_________; 1? i
? x ? sin ? ? cos? (?为参数) 化为普通方程式为 _________________。 ? y ? 1 ? sin 2?

3.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设是____________;

4. 曲线 C1:4. ?

5. 某机械零件由 2 道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序的废品率为 b, 假设这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为___________; 6.甲乙两队进行排球比赛, 采用五局三胜制, 已知每局比赛中甲胜的概率为

2 , 乙胜的概率为 3

1 ,则在甲队以 2:0 领先的情况下, 乙队获胜的概率为_________; 3
7.下列命题中正确的个数是 .
cos ?

(1).过点(a,π )且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ =- a (2).过点(a,

? )且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ = a 2 sin ?
2

(3).两圆ρ =cosθ 与ρ =sinθ 的圆心距为 2 8、用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” ( n ? N ? )时,从
n

“ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子____________ A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 2 k ?1

9. 有 6 名学生,其中有 3 名会唱歌,2 名会跳舞;1 名既会唱歌也会跳舞; 现从中选出 2 名会唱歌的,1 名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法_________种;
2 3 10. 若 对 于 任 意 的 实 数 x , 有 x3 ? a , 则 a2 的 值 为 0 ? a 1( x?2) ? a 2 ( x? 2) ? a 3 ( x? 2)

________;

11.在十进制中 2004 ? 4 ?100 ? 0 ?101 ? 0 ?102 ? 2 ?103 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成
十进制为______________; 12. 已知某一随机变量 X 的概率分布列如下,且 E(X)=6.3, 则 a 的值为______;V(X)=______; X P 4 0.5 a 0.1 9 b

-1-

13. 已知 ? x2 ?

? ?

1 ? 且当 x ? [0,1] ? 的展开式中的常数项为 T ,f ( x) 是以 T 为周期的偶函数, 5 x3 ?

5

时, f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的 取值范围是___________;
2 * 2 14. 若函数式 f ( n) 表示 n ? 1(n ? N ) 的各位上的数字之和, 如 14 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 所

f (n) ? f (n), f2 (n) ? f [ f1 (n)], 以 f (14) ? 17 ,记 1


, f k ?1(n) ? f [ f k (n)], k ? N * ,

f 2010(17) ?
1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2
? an x n .

二、解答题: 15.(14 分) 已知 ( x ?

1 设 ( x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? 2
(1)求 a5 的值; (2)求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? (3)求 ai (i ? 0,1, 2,

? (?1)n an 的值;

n) 的最大值.

16.(14 分)已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)将 C1 , C2 的方程化为普通方程; ( 2 ) 若 C1 上 的 点 P 对 应 的 参 数 为 t ?

? , Q 为 C2 上 的 动 点 , 求 PQ 中 点 M 到 直 线 2

C3 : x ? 2 y ? 7 ? 0距离的最小值.

-2-

17.(14 分) 曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? cos ? , C2 的极坐标方程为 ? ? 1 ? cos ? ,点 A 的极 坐标是 (2, 0) . (1)求曲线 C1 上的动点 P 到点 A 距离的最大值; (2)求 C2 在它所在的平面内绕点 A 旋转一周而形成图形的面积.

18(16 分)某国际旅行社现有翻译 11 人,其中有 5 人只会英语,4 人只会日语, 另 2 人既会英语有会日语,现从这 11 人中选 4 人当英语翻译,再从 其余人从 4 人当日语翻译,共有多少种不同的安排方法?

-3-

19、(16 分)已知 A 1, A 2, A 3, 考试获得通过的概率均为

, A10 等 10 所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的

1 . 2

(1)如果该同学 10 所高校的考试都参加,试求恰有 2 所通过的概率; (2)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元,该同学决定按 A 1, A 2, A 3,

, A10 顺

序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考试 所需费用 ? 的分布列及数学期望.

20.(16 分)已知 m ,n 为正整数, (1)证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x) ≥1 ? mx ;
m

(2)对于 n ≥ 6 ,已知 (1 ?
n n

1 n 1 m n 1 2, ,n ; ) ? , 求证: (1 ? ) ? ( ) m , m ? 1, n?3 2 n?3 2
n n

(3)求出满足等式 3 ? 4 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 3) 的所有正整数 n .

-4-

13-14 学年度第二学期期末模拟试题 高二数学理科参考答案
一、填空题: 1. 1. (4,?4) 5. (1 ? a)(1 ? b) 11. 254 二、解答题: 2. 3 3. y ? x 2 (| x |? 6.

2 ) ; 4. 假设三内角都大于 60 度
8. 2( 2k

1 27

7. 3 个; 13. (0 ,

? 1) ;
8

9. 15;

10. -6

12. 7;5.61

1 ) 4

14.

1 1 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍) 15. 解: (1)由题设,得 C0 ? C2 ? C1 n ? n ? 2? n , 即 4 2

7 ?1? Tr ?1 ? C8r x8?r ? ? ,令 8 ? r ? 5 ? r ? 3? a5 ? 4 ?2?
(2)在等式的两边取 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

r

? a8 ?

1 256

1 ? 1 1 r ?1 ?1 r ≥ , C8 ≥ r ?1 C8 , ? r ? ?2 ? 8 ? r 2(r ? 1) 2 (3)设第 r+1 的系数最大,则 ? 即? 解得 r=2 或 r=3. ? 1 Cr ≥ 1 Cr ?1 . ?1 ≥ 1 . 8 8 ? ? 2r 9 ? 1 ? 2r 2r ?1 ?

所以 ai 系数最大值为 7 . 16. 解: (1) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1.???????6 分 64 9

(2)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4), Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) , 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | , 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,M 到 C3 的距离 d ?
所以 d 取得最小值

8 5 .???????14 分 5

17.解:(1)方程 ? ? cos ? 表示圆心在 ( , 0) ,半径为

(2)设 P ( ? ,? ) 是曲线 C 上的任意一点,则 | OP |? ? ? 1 ? cos ? ,由余弦定理,得
| AP |2 ?| OP |2 ? | OA |2 ?2 | OP | ? | OA | cos? ? (1 ? cos? )2 ? 2 2 ?4(1 ? cos? )cos? ?

1 2

1 的圆,所以 P 到点 A 距离的最大值为 2 2
16 1 ? 3(cos? ? )2 3 3

当 cos? ? ? 时,| AP | 有最大值为

1 3

16 。将点 A(2,0)代入曲线 C 的极坐标方程是满足的, 3

知点 A 在曲线 C 上,所以曲线 C 在它所在的平面内绕点 A 旋转一周而形成的图形是以点 A 为

-5-

圆心, | AP |? 18. 185

16 16 为半径的圆,其面积为 ? . 3 3

19.(1)因为该同学通过各校考试的概率均为

1 ,所以该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试 2

?1? 的概率为 P ? C ? ? ?2?
2 10

2

45 ? 1? ?1 ? ? ? 1024 . ? 2?

8

(2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi ( 1 ? i ? 10, i ? Z ).

?1 ,1 ? i ? 9, i ? Z ? ? 2i ∵ Pi ? ? , ? 1 , i ? 10 ? ? 29

∴所以该同学参加考试所需费用 ? 的分布列如下:

?
P

a
1 2

2a

3a

4a

5a

6a

7a

8a

9a

10 a

1 1 1 1 5 4 6 2 2 2 27 1 1 1 1 ∴ E? ? ( ?1 ? 2 ? 2 ? ? 9 ? 9 ? 9 ? 10) a , 2 2 2 2 1 1 1 令 S ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 9 ? 9 , ?(1) 2 2 2 1 1 1 1 1 则 S ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 9 ? 8 ? 10 ? 9 , ?(2) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 由(1)-(2)得 S ? ? 2 ? ? 9 ? 10 ? 9 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 所以 S ? 1 ? ? 2 ? ? 8 ? 9 ? 9 , 2 2 2 2
所以 E? ? ?1 ?

1 22

1 23

1 28

1 29

1 29

? ?

1 1 ? ? 2 22

?

1 1 1 ? ? 1 ? 9 ? 9 ? 9 ?10 ? a ? ?1 ? ? 8 2 2 2 ? ? 2

?

1? ?a 29 ?

1 210 a ? 2 ?1 ? 1 ? a ? 1023 a (元). ? ? 10 ? 1 512 ? 2 ? 1? 2 1?

Ks5u

20.第(1)小题共 5 分;第(2)小题共 5 分;第(3)小题共 6 分 解法 1: (1)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式成立;当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2 x ? x ,右边 ? 1 ? 2 x ,
2

因为 x

2

≥ 0 ,所以左边≥ 右边,原不等式成立;??????2 分
k

(ⅱ)假设当 m ? k 时,不等式成立,即 (1 ? x)
-6-

≥1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时,

∵ x ? ?1 ,∴1 ? x ? 0 ,于是在不等式 (1 ? x)k ≥1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k · (1 ? x) ≥ (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ≥1 ? (k ? 1) x ,
所以 (1 ? x)k ?1 ≥1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ)知,对一切正整数 m ,不等式都成立.??????5 分

1 ? m ? (2)证:当 n ≥ 6,m ≤ n 时,由(Ⅰ)得: 1 ? ?1 ? ?0, ? ≥1 ? n?3 ? n?3?
(令 x ? ?

m

1 , 易知 x ? ?1 )??7 分 n?3
n nm
n m ?? 1 ? ? ?1? , 2, ,n .?10 分 ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ,m ?1 n ? 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? m

m ? 1 ? ? ? 于是 ?1 ? ? ≤ ?1 ? ? ? n?3? ? n?3?

(3)解:由(Ⅱ)知,当 n ≥ 6 时,

1 ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? n?3? ? n?3?
? n ? 2 ? ? n ?1 ? ∴? ? ?? ? ? ? n?3? ? n?3?
即3 ?4 ?
n n
n n

n

n

n ? 1 ?1? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ? n?3? 2 ? 2?
n

n

2

1 ?1? ? ? ? ? 1? n ? 1 , 2 ?2?

n

? 3 ? ?? ? ? 1 .??????12 分 ? n?3?

? (n ? 2)n ? (n ? 3)n .即当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .

, 2, 3, 4, 5 的情形: 故只需要讨论 n ? 1
当 n ? 1 时, 3 ? 4 ,等式不成立;
2 2 2 当 n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 ,等式成立; 3 3 3 3 当 n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 ,等式成立; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 当 n ? 4 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 为偶数, 7 为奇数,故 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ,等式不成立;

当 n ? 5 时,同 n ? 4 的情形可分析出,等式不成立. 3 .??????????16 分 综上,所求的 n 只有 n ? 2, 解法 2: (1)证:当 x ? 0 或 m ? 1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时, m ≥ 2 , (1 ? x) ? 1 ? mx .
m



2 2 (ⅰ)当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2 x ? x ,右边 ? 1 ? 2 x ,因为 x ? 0 ,所以 x ? 0 ,即左边 ? 右

边,不等式①成立; (ⅱ)假设当 m ? k (k ≥ 2) 时,不等式①成立,即 (1 ? x) ? 1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时,
k

-7-

因为 x ? ?1 ,所以 1 ? x ? 0 .又因为 x ? 0,k ≥ 2 ,所以 kx 2 ? 0 .

于是在不等式 (1 ? x)k ? 1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k · (1 ? x) ? (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ?1) x ? kx2 ? 1 ? (k ?1) x ,
所以 (1 ? x)k ?1 ? 1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.
m m n ?? 1 ? ? ?1? 1 ? 1 ? (2)证:当 n ≥ 6 , m ≤ n 时,∵?1 ? , ∴ ?? 1 ? ? ? ?? ? , ? ? n ? 3 ? ? ? ? n?3? 2 ? ? ? ? 2? n

而由(Ⅰ) , ?1 ?

? ?

1 ? m ?0, ? ≥1 ? n?3? n?3
n

m

n m m ?? m ? 1 ? ? ?1? ? ∴?1 ? ? ≤ ?? 1 ? ? ? ?? ? . ? n?3? ?? n ? 3 ? ? ? ?2? ?

(3)解:假设存在正整数 n0 ≥ 6 使等式 3n0 ? 4n0 ?

? (n0 ? 2)n0 ? (n0 ? 3)n0 成立,

n0

? 3 ? ? 4 ? 即有 ? ? ?? ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?
n0

n0

n0

?n ?2? ?? 0 ? ? 1. ? n0 ? 3 ?
n0

n0

? 3 ? ? 4 ? 又由(Ⅱ)可得 ? ? ?? ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?
n0 n0

?n ?2? ?? 0 ? ? n0 ? 3 ?
n0

? 1 ? ? ?1 ? ? ? n0 ? 3 ?

?1? ?1? ? ? ? ?? ? ? 2? ? 2?

n0

n0 ?1

?

?

1 1 ? 1 ? n0 ? 1 ,与②式矛盾. 2 2

故当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n . 下同解法 1.

-8-


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