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辽宁省沈阳铁路实验中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题

沈阳铁路实验中学 2015-2016 学年度上学期期中考试

高三数学(文)
满分:150 分 一、选择题 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,5},B={1,3,4,6},则集合 A ? CUB=( A、{3} B、{2,5} C、{1,4,6} D、{2,3,5} ) 时间:120 分钟

第 I 卷(选择题)

1 ? 2i 2.若复数 z ? 的共轭复数是 z ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则点(a,b)为 i
( ) A. (一 1.2) B. (-2,1) C. (1,-2) D. (2,一 1) ) D.非充分非必要条件

3. a 、 b ? R , “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ? 2ab ”成立的( A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 )

4.函数 f ? x ? ? x3 ? 2 的零点所在的区间是( A.

? ?2,0?

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

5.将函数 y ? sin( 2 x ? ) 图象向左平移 A. x ?

?
12

? 6

?
4

个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( D. x ? ?



B. x ?

?
6

C. x ?

?
3
2017 2016

?
12
开始

6.执行如图所示的程序框图,输出的 A.

s为

(

)

2015 2016

B.

2014 2016 C. 2015 2015

D.

k ? 1, s ? 0

? y?2 ? 7.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 ? x ? y ?1 ?
z ? 3x ? y 的最小值为(
A.-1 B.8 C.11 ) D.12

k ≤ 2015?




s ? s?

1 k ( k ? 1)

输出s 结束

k ? k ?1

8.已知 {an } 是等比数列,其中 a1 , a8 是关于 x 的方程 x ? 2 x sin ? ? 3 sin ? ? 0 的两根,且
2

(a1 ? a8 )2 ? 2a3a6 ? 6 ,则锐角 ? 的值为(
A.

) D.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

5? 12

9.将某正方体工件进行切削,把它加工成一个体积尽可能大的新工件,新工件的三视图如图

新工件的体积 所示,则原工件材料的利用率为(材料的利用率= 原工件的体积 ) (
7 A、 8 6 B、 7 5 C、 6 4 D、 5
的最小值是 2,则实数 c 的取值范围是 C.c<0 D.c∈R



10.若函数 f ( x) ? A.c≤1

x2 ? c ?1 x2 ? c

B.c≥1

11.若函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3mx2 ? 6 x 在区间 (2, ??) 上为增函数,则实数 m 的取值范围是() A. ( ??, 2) B. ( ??, 2] C. (??, )

5 2

D. (??, ]

5 2

12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ?? ?2,0? 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 ? ?2,6? 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不 2
同实根,则 a 的取值范围是( A. 3 4 ? a ? 2 B. 1 ? a ? 2 ) C. 3 4 ? a ? 6 9 D. 1 ? a ? 3 7

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13.已知 α ,β 是两个不同的平面,下列四个条件: ①存在一条直线 a,a⊥α ,a⊥β ; ②存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ⊥β ; ③存在两条平行直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α ; ④存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α . 其中是平面 α ∥平面 β 的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号). 14.具有线性相关关系的变量 x,y,满足一组数据如下表所示:

若 y 与 x 的回归直线方程为 y ? 3 x ?

^

3 ,则 m 的值是 2

. .

15.已知函数 f ( x) ? x ? 4ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

?? 3a ? 1? x ? 4a, ? x ? 0 ? ? 16.已知函数 f ? x ? ? ? ? 若 f ? 4? ? 1 ,则实数 a 的取值范围是____. ? ? f ? log 1 x ? , ? x ? 0 ? ? ? 2 ?
三、解答题 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S ?ABC . 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 的首项 al=1, an ?1 ?

4an (n ? N * ) . an ? 2

(1)证明:数列 {

1 1 n (2)设 bn ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . ? } 是等比数列; an 2 an

19. (本小题满分 12 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. (1)求证: BD ? AE ; (2)求证: AC // 平面 B1DE ; (3)求三棱锥 A ? B1DE 的体积. 20. (本小题满分 12 分)某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或 反对) ,进行了如下的调查研究.全年级共有 1350 人,男女生比例为 8:7,现按分层抽样方 法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为 列联表:

1 ,通过对被抽取学生的问卷调查,得到如下 2x2 9

(1) 完成列联表, 并判断能否有 99. 9%的把握认为态度与性别有关? (2)若某班有 6 名男生被抽到,其中 2 人支持,4 人反对;有 4 名女 生被抽到,其中 2 人支持,2 人反对,现从这 10 人中随机抽取一男一 女进一步调查原因.求其中恰有一人支持一人反对的概率.

21. (本小题满分 12 分)已知 f(x)= ax ? x ln x(a ? R) 。 (1)曲线 y ? f ( x) 在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)<x 在(1,+ ? )恒成立,求 a 的取值范围。 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4 一 1:几何证明选讲】 如图,已知圆的两条弦 AB, CD,延长 AB,CD 交于圆外一点 E,过 E 作 AD 的平行线交 CB 的延 长线于 F,过点 F 作圆的切线 FG,G 为切点.求证: (1)△EFC∽△BFE; (2)FG=FE
2

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C: ?

? ? x ? 3 cos ? ,以平面直角坐标系 xOy (? 为参数) y ? sin ? ? ?

的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:

? (cos? ? sin ? ) =6.
(1)在曲线 C 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值; (2)过点 M(一 1,0)且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A, B 两点,求点 M 到 A,B 两点的距 离之积. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设 f(x)=|x+2|+|2x-1|-m. (1)当 m=5 时.解不等式 f(x)≥0; (2)若 f(x)≥

3 ,对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围. 2
高三数学文科期中考试参考答案

1.B 试题分析:因为 ? U B ? ?2,4,5? ,所以 A ? (? U B) ? ?2,5?,故选 B.考点:集合的运算. 2.B 试题分析:∵ z ?
1 ? 2i ? ?2 ? i, ∴ z ? ?2 ? i ,故选 B.考点:复数的计算. i

2 2 3.A 试题分析:这是基本不等式的一种形式, a ? b ? 2ab 当且仅当 a=b 时取等号.

考点:1.基本不等式;2.充要条件. 4.C 试题分析:由零点存在定理,计算 f(1)=-1<0,f(2)=6>0,所以,函数 f ? x ? ? x3 ? 2 的零点 所在的区间是(1,2),故选 C。考点:本题主要考查函数零点存在定理。 点评:简单题,函数在区间(a,b)满足 f(a)f(b)<0,则函数在区间(a,b)至少存在一个 零点。 5.A 试题分析:将函数 y ? sin( 2 x ? ) 图象向左平移

4 k? ? ? (k ? z ) ,只有选项 A 满足. 其对称轴的方程为 2 x ? ? k? ? , x ? 3 2 2 12

?

?

? 6

?

个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像,

? 3

考点:三角函数的图像的性质. 6.A 试题分析:由程序框图,当 k ? 2015 时,还应该进入循环,而当 k ? 2016 时,不再进入

循环,故输出结果为 7.B

2015 ,故选 A.考点:程序框图. 2016

试题分析:作出不等式组

? y?2 ? ?x ? y ? 4 ? x ? y ?1 ?

表示的平面区域,得到如图的 ?ABC 及其内部,其中

5 3 A(2,2), B ( , ), C (3,2) 2 2 .设 z ? f ( x, y) ? 3x ? y, 将直线 l : z ? 3x ? y 进行平移,当 l 经过点
A(2,2) 时,目标函数 z 达到最小值? zmin ? f (2,2) ? 8 .故选:B

考点:不等式的解法及应用. 8 . C. 试 题 分 析 : ∵ 等 比 数 列 {an } , ∴ a3 a6 ? a1 a8 , 又 ∵ a1 , a8 是 关 于 x 的 方 程

x2 ? 2 x sin ? ? 3 sin ? ? 0 的 两 根 , ∴ a1 ? a8 ? 2sin ? , a1a8 ? ? 3 sin ? , ∴

(a1 ? a8 )2 ? 2a3a6 ? 6 ? 4sin2 ? ? ?2 3sin ? ? 6 ,
即 sin ? ?

? 3 或 sin ? ? ? 3 (舍去) ,又∵锐角 ? ,∴ ? ? . 3 2

考点:1.等比数列的性质;2.三角函数的性质. 9.C 试题分析:如图,不妨设正方体的棱长为 1,则切削部分为三棱锥 A ? A1 B1 D1 ,其体积为 又正方体的体积为 1,则剩余部分(新工件)的体积为
5 ,故选 C. 6 1 , 6

考点:三视图. 10.A 11.D 试题分析: f ( x) ? 6 x ? 6mx ? 6 ;由已知条件知 x ? (2, ??) 时, f ( x) ? 0 恒成立;
' 2 '

设 g ( x) ? 6 x2 ? 6mx ? 6 ,则 g ( x) ? 0 在 (2, ??) 上恒成立; ∴(1)若 ? ? 36(m2 ? 4) ? 0 ,即 ?2 ? m ? 2 ,满足 g ( x) ? 0 在 (2, ??) 上恒成立;

m ? ?2 ? (2)若 ? ? 36(m ? 4) ? 0 ,即 m ? ?2 ,或 m ? 2 ,则需: ? ; 2 ? ? g (2) ? 30 ? 12m ? 0
2

5 5 ;∴ m ? ?2 或 2 ? m ? ; 2 2 5 5 ∴综上得 m ? ;∴实数 m 的取值范围是 (??, ] .故选 D. 2 2
解得 m ? 考点:二次函数的性质. 12 . A 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 , f ( x) ? loga ( x ? 2) 的 图 像 如 右 图 所 示 , 若 要 保 证

f ( x) ? loga ( x ? 2) 有三个交点,只需 loga 4 ? 3 ? log a 8 ,即 4 ? a3 ? 8 , 3 4 ? a ? 2 .

13.①④ ①正确,此时必有 α ∥β ;②错误,因为此时两平面平行或相交均可;③错误, 当两直线 a,b 在两平面内分别与两平面的交线平行即可;④正确,由于 α ∥β ,经过直线 α 的平面与平面 β 交于 a′, 则 a∥a′, 即 a′∥α , 又 b∥α , 因为 a, b 为异面直线, 故 a′, b 为相交直线,由面面平行的判定定理可知 α ∥β ,综上可知①④是平面 α ∥平面 β 的充分 条件.

8?? 8?? ) ,∵回 ,∴样本中心点是坐标为 (1.5, 4 4 ^ 3 8?? ? 3 ? 1.5 ? 1.5 ,∴ 归直线必过样本中心点,y 与 x 的回归直线方程为 y ? 3 x ? ,∴ 2 4 m ? 4 ,故答案为:4.考点:线性回归方程.
14.4 试题分析:由题意, x ? 1.5 , y ? 15. 3x ? y ? 4 ? 0
' 试题分析: 函数 f ( x) ? x ? 4ln x , 所以函数 f ( x) ? 1 ?

4 , 切线的斜率为: ﹣3, 切点为: ( 1, x

1)所以切线方程为: 3x ? y ? 4 ? 0 ,故答案为: 3x ? y ? 4 ? 0 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 16.a ?

1 2

试题分析: 由题意 f ? 4 ? ? f (log 1 4) ? f (?2) ? (3a ? 1) ? (?2) ? 4a ? 1 , 解得 a ?
2

1 . 2

考点:利用分段函数求参数的取值范围. 17. (1) A ?

?
3

; (2)

3 3 . 2

试题分析: (1)将已知条件用余弦二倍角公式展开再化简可得 cos A ,从而可得角 A . (2)根 据正弦定理将 sin B ? 2sin C 转化为边 b, c 间的关系,再根据余弦定理得另一组 b, c 间的关系 式,解方程组可得 b, c 的值.由三角形面积公式即可求得其面积.

1 试题解析:解: (1)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A , 2

? cos A ?

1 ? ?0 ? A ? ? , ? A ? . . 2 3 b c sin B b ? ? ?2 (2)由 可得: sin B sin C sin C c ? b ? 2c

cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 4c 2 ? c 2 ? 9 1 ? ? 2bc 2 4c 2
S? 1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2
1 n ? n. n ?1 2 2

解得: c ? 3 , b ? 2 3

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 18. (1)证明详见解析; (2) Sn ? 2 ?

试题分析:本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的 前 n 项和等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问, 先将已知表达式取倒数,再分离常数、用配凑法证明数列 {

1 1 ? } 是等比数列;第二问,结 an 2

合第一问的结论,利用等比数列的通项公式,先计算出 a n ,再计算 bn ,用错位相减法求和, 在化简过程中用等比数列的前 n 项和计算即可. 4an 试题解析: (1)证明:∵ an ?1 ? , an ? 2
∴ a ?2 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? n ? ? ,∴ ? ? ? ? ?, an ?1 4an 4 2an an ?1 2 2 ? an 2 ?

∴ 又 a1 ? 1,

? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ,所以数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. a1 2 2 a 2 2 2 ? n ? 1 1 1 ?1? ? ? ?? ? an 2 2 ? 2 ?
n ?1

(2)解:由(1)知

?

n n n 1 ,∴ bn ? ? ? n , n an 2 2 2

设 Sn ?

1 2 3 n ? ? ? … ? n ,① 2 22 23 2

1 1 2 n ?1 n 则 Sn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n?1 ,② 2 2 2 2 2
1? 1 ?1 ? 1 1 1 1 n 2 ? 2n 由①-②得, Sn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 ? ? ? ? n ? 1? 1 ? n , 2n ?1 2n 2n ?1

∴ Sn ? 2 ?

1 n ? . 2n?1 2n

考点:等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前 n 项和. 19. (1)详见解析; (2)详见解析; (3)

2 3

试题分析: (1)因为 AE ? 平面 AEC ,所以为证 BD ? AE ,应根据线面垂直的判定定理先 证 BD ? 平面 AEC . (2)连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE ,可得 G 为 AC1 中点.根 据中位线可得 AC // GE , 根据线面平行的判定定理可证得 AC // 平面 B1DE . (3) 因为 AC // 平面 B1DE , 所以点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离, 可知 VA?B1DE ? VC?B1DE , 从而易求得三棱锥 A ? B1DE 得体积.

【证明】连接 BD,AE. 因四边形 ABCD 为正方形,故 BD ? AC , 因 EC ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD,故 EC ? BD ,又 EC ? AC ? C , 故 BD ? 平面 AEC , AE ? 平面 AEC ,故 BD ? AE . ⑵.连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE , 则 G 为 AC1 中点,而 E 为 C1C 的中点,故 GE 为三角形 ACC1 的中位线,

AC // GE , GE ? 平面 B1DE , AC ? 平面 B1DE ,故 AC // 平面 B1DE .
⑶.由⑵知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离, 故三棱锥 A ? B1DE 的体积 VA?B1DE ? VC?B1DE ,

2 1 2 ? 而 VC ?B DE ? VD?B CE ? 1 ? SB CE ? DC ? 1 ? ? ? ?1? 2 ? ? 2 ? ,三棱锥 A ? B1DE 的体积为 3 . 1 1 1 3 3 ?2 3 ?

考点:1 线面平行;2 线面垂直;3 棱锥的体积. 20. (1)没有 99.9%的把握认为态度与性别有关; (2) P ?
1 . 2

试题分析:本题主要考查线性相关、概率、分层抽样等基础知识,考查学生的分析问题解决 问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先利用每人被抽到的概率均为 总人数 150 人,再利用男女生 比例为 8:7,计算出男女生人数,从而列联表就填全了,再根据列联表,利用 k 2 的公式计算, 与 10.828 比较大小,得出结论;第二问,将 6 名男生和 4 名女生用字母表示出来,写出选 取 2 人的所有情况,在其中选出符合题意的情况,最后计算出概率. 试题解析: (1)列联表如下: 支持 男生 女生 总计 计算得 K 2 ? 30 45 75
2

1 ,计算出男女 9

反对 50 25 75

总计 80 70 150

150(30 ? 25 ? 50 ? 45) ? 10.714 ? 10.828 , 80 ? 70 ? 75 ? 75 所以没有 99.9%的把握认为态度与性别有关.
(2)记 6 名男生为 A1,A2, a3, a4, a5, a6 ,其中 A1,A2 为支持, a3,a4,a5,a6 为反对,记 4 名 女生为 B1,B2, b3, b4 ,其中 B1,B2 为支持, b3,b4 为反对,随机抽取一男一女所有可能的情况 有 24 种,分别为
( A1,B1 ), ( A1,B2 ), ( A1, b3 ), ( A1, b4 ),( A2,B1 ),( A2,B2 ), ( A2, b3 ), ( A2, b4 ), (a3,B1 ), (a3,B2 ), (a3, b3 ), (a3, b4 ), (a4,B1 ), (a4,B2 ), (a4, b3 ), (a4, b4 ), (a5, B1 ), (a5, B2 ), (a5, b3 ), (a5, b4 ), (a6,B1 ), (a6,B2 ), (a6, b3 ), (a6, b4 ),

其中恰有一人支持一人反对的可能情况有 12 种,所以概率为 P ? 考点:线性相关、概率、分层抽样. 1] . 21. (1)减区间为 (1, ? ? ) ,增区间为 (0, 1) ; (2) (??,

1 . 2

试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、 利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转 化能力、计算能力.第一问,对 f ( x) 求导, f ' (1) 为切线的斜率,解出 a 的值,再利用 f ' ( x) ? 0
ln x x g ( x ) g ( x ) 恒成立,再构造函数 ,通过求导,判断函数的单调性,求出函数 的最小值,从而得

和 f ' ( x) ? 0 判断函数的单调性; 第二问, 先将 f ( x) ? x2 在 (1, +?) 恒成立, 转化为 a ? x ?

到 a 的取值范围. 试题解析: (1) f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,求导可得 f ?( x) ? a ?
1 , x

1 由 f ?(1) ? 0 得 a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,∴ f ( x) ? ? x ? ln x,f ?( x) ? ?1 ? , x 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ; 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 所以 f ( x) 的减区间为 (1, ? ? ) ,增区间为 (0, 1) .

(2)由题意: ax ? ln x ? x 2 ,即 ax ? x 2 ? ln x , ln x 恒成立. ∵x ? 1 , ∴a ? x ? x

1 ? ln x x2 ? ln x ? 1 ln x ,则 g ?( x) ? 1 ? ,[ ? x x2 x2 1 令 h( x) ? x2 ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? 2 x ? ? 0 , x ∴ h( x) 在 (1,? ? ) 上单调递增, ∴ g ?( x) ? 0 , 又 h(1) ? 0 ,∴当 x ? (1,? ?) 时, h( x) ? 0, ∴ g ( x) 在 (1,? ? ) 上单调递增,
令 g ( x) ? x ? 所以 g ( x)min ? g (1) ? 1 , ∴当 a≤1 时, a ? g ( x) 恒成立, 1] . ∴a 的取值范围为 (??, 考点:利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的最值、恒成 立问题. 22. (1)证明详见解析; (2)证明详见解析. 试题分析:本题主要考查三角形相似、切割线定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问 题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用平行线的内错角相等,得到 ?FEB ? ?A ,同 弧所对的圆周角, 得 ?A ? ?C , 从而得到 ?C ? ?FEB , 所以利用相似三角形的判定得到结论; 第二问,利用三角形相似,得到 EF 2 ? FB ? FC ,再通过切割线定理得到 FG2 ? FB ? FC ,两式 相结合得 EF ? FG . ∴ ?FEB ? ?A , 试题解析: (1)∵ EF∥AD, 又 ?A ? ?C ,∴?C ? ?FEB , ∴在△EFC与△BFE中 ,
??EFC ? ?BFE, ? △EFC∽△BFE . ? ??C ? ?FEB

(2)∵△EFC∽△BFE ,
∴ EF FC ? ? EF 2 ? FB ? FC , FB EF

又 FG 是圆的切线,由切割线定理得 FG 2 ? FB ? FC ,
∴ EF 2 ? FG 2 ,即 EF ? FG . 考点:三角形相似、切割线定理.

23. (1) dmax ? 4 2 ; (2)1. 试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、

点到直线的距离公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能 力.第一问,利用 ? cos? ? x 、 ? sin ? ? y 将直线 l 的极坐标方程转化为普通方程,再利用点到 直线的距离公式计算,利用三角函数的有界性求最值;第二问,利用平方关系将曲线 C 的方 程转化为普通方程,将直线 l 的参数方程与曲线 C 的方程联立,消参,得到 t1t2 ? ?1 ,即得到 结论 MA? MB ? 1. 试题解析: (1)直线 l: ? (cos? ? sin ? ) ? 6 化成普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 设点 P 的坐标为 ( 3 cos ?, sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
?π ? 2sin ? ? ? ? ? 6 ?3 ? , d? ? 2 2 ?π ? ? 3 1? ∴当 sin ? ? ? ? ? ?1 时,点 P ? ? , ? , ? 2 2? ?3 ? ?2 ? 6 ?4 2. 此时 d max ? 2 3 cos ? ? sin ? ? 6

(2)曲线 C 化成普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,即 x 2 ? 3 y 2 ? 3 , 3

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数)代入 x 2 ? 3 y 2 ? 3 化简得 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , l1 的参数方程为 ? ? y ? 2 t, ? ? 2
得 t1 t2 ? ?1 ,所以 MA MB ?| t1t2 |? 1 . 考点:参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公 式.
? 4? 1] . 24. (1) ? x x≤ ? 2或x≥ ? ; (2) (??, 3? ?

试题分析:本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值等基础知识,考查 学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,将 m ? 5 代入,利用零点分 段 法 去 掉 绝 对 值 符 号 解 不 等 式 ; 第 二 问 , 将 f ( x)≥
3 对于 x?R 恒成立, 转化为 2

3 g ( x)? | x? 2 |? | x 2? ≥ 1 | m ? 对于 x ? R 恒成立,先将 g ( x) 转化为分段函数,结合图象求出函 2 3 ? (| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|)min 中,即解出 m 的取值范围. 2 试题解析: (1)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 , 不等式 f ( x )≥0 为 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥5 ,

数 g ( x) 的最小值,代入到 m ?

①当 x≤ ? 2 时,不等式为: ?3x ? 1≥5 ,即 x≤ ? 2 ,满足; ②当 ?2 ? x ?
1 时,不等式为: ? x ? 3≥5 ,即 x≤ ? 2 ,不满足; 2

1 4 ③当 x≥ 时,不等式为: 3 x ? 1≥5 ,即 x≥ ,满足. 2 3
? 4? 综上所述,不等式 f ( x )≥0 的解集为 ? x x≤ ? 2或x≥ ? . 3? ?

3 (2)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x)≥ 对于 x ? R 恒成立, 2

即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥m ?

3 对于 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x≤ ? 2), ? ? 1? ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3 ? ?2 ? x ? ?, 2? ? ? ? 1? ? ?3x ? 1? x≥ ? . 2? ? ?

由图可看出 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是

5 , 2

3 5 1] . 所以 m ? ≤ ,∴ m≤1 ,即 m 的取值范围是 (??, 2 2

考点:绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.


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