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高一期末专题复习三:函数的基本性质

函数的基本性质——复习课
知识梳理一:函数的相关概念
1、某个变化过程中有两个变量 x 和 y ,如果对于 x 在某个范围 D 内的每一个确定的值按 照某个对应法则 f , y 都有唯一的值与它对应,那么 y 就是 x 的函数,记作 y ? f ? x ?

x ? D , x 叫做自变量, y 叫做应变量。 x 的取值范围 D 叫做函数的定义域, y 叫做
函数的值,函数值的集合叫做函数的值域. 注:应变量具有唯一性,函数可以存在一对一关系或多对一关系 2、求函数的定义域 (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3) 如果一个函数是由一些四则运算结合而成的, 那么它的定义域是使各部分都有意义的 x 组成的集合。 (4)定义域保证实际问题有意义 例 1、求下列函数的定义域:? (1)y=
( x ? 1)0 | x | ?x

;?

(2)y=
3

1 x ?3
2

? 5 ? x2 ;

? (3)y= x ? 1· x ? 1 .?

3、函数的表示方法 相同函数必须具备: ①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ②定义域一致 例 2、下列各组函数中,表示同一函数的是( ). x A. y ? 1, y ? B. y ? x ? 1? x ? 1, y ? x 2 ? 1 C. y ? x, y ? 3 x3 D. y ?| x |, y ? ( x )2 x 4、求函数的值域 要求函数的值域必须先考察该函数的定义域,求函数值得常用方法是:观察法、配方法、代 换法 例 3、求下列函数的值域:? (1)y=
x2 ? x ; x ? x ?1
2

(2)y=x- 1? 2 x ;?

(3)y=

ex ?1 .? ex ?1

例 4、函数 f ? x ? ? 2 x ? x (0 ? x ? 3) 的值域是多少?
2

1

巩固提高:
1、给出下列两个条件: (1)f( x +1)=x+2 x ;? (2)f(x) 为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.?

2、设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域.? (1)y=f(3x); (3)y=f( x ? ) ? f ( x ? ) ;?
1 3 1 3

(2)y=f(

1 );? x

(4)y=f(x+a)+f(x-a).? ?

? x ? 1( x ? 0) ? 3、 f ? x ? ? ?? ( x ? 0) 则 f ? f ? f ( ?1) ?? 等于多少? ?0( x ? 0) ?

4、用一根长为 24cm 的铁丝围成一个等腰三角形,设腰长为 y,底边长为 x,试用解析式将腰长为 y 表示成底边长为 x 的函数。

5.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中 纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 d d0 O A. t0 t B. d d0 O t0 t d d0 O C. t0 t d d0 O D. (
2

t0 t



6、函数 y ?

x ? 1 ? x ? 1 的值域为(
B. 0, 2



? C. ? 2 ,?? ?
A. ? ?, 2

?

?

?

D. ?0,???

7、若函数 f ? x ? ? A、 x ? 1 C、 x ? 1( x ? 1)

x ?1 ?

1 1 , g ? x? ? 则 f ? x ? ? g ? x ? 等于 ( ) x?2 x?2 B、 x ? 1( x ? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ?)
D、 x ? 1( x ? 2)

知识梳理二:函数的单调性
1.定义:对于函数 y ? f (x) ,对于定义域内的自变量的任意两个值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 )(或f ( x1 ) ? f ( x2 )) , 那么就说函数 y ? f (x) 在这个区间上是增 (或减) 函数。 2.证明方法和步骤: (1) 设元:设 x1 , x 2 是给定区间上任意两个值,且 x1 ? x2 ; (2) 作差: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; (3) 变形: (如因式分解、配方等) ; (4) 定号:即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0或f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; (5) 根据定义下结论。 例 1.讨论函数 f(x)= 1 ? x 的单调性。
2

3.二次函数的单调性:对函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,
2

当 a ? 0 时函数 f (x) 在对称轴 x ? ?

b 的左侧单调减小,右侧单调增加; 2a
3

当 a ? 0 时函数 f (x) 在对称轴 x ? ?

b 的左侧单调增加,右侧单调减小; 2a

例 2:讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。

3.复合函数的单调性 函数 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

t ? g ? x? y ? f ?t ?
y ? f ? g ? x ?? ? ?

增减性相同则复合函数为增,相反则为减,即同增异减 例 3.函数 y=

1 的单调减区间是( x ? 2x ? 3
2

) C. (??,?1

A. (??,?3

?

B. ?? 1,??)

?

D. ? 1,??)

1 4.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-

x

∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞) 内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连 接.

5、函数单调性的应用: 判断函数 y ? f (x) 的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域) 。 例 4: 奇函数 f (x) 在定义域 (?1,1) 上为减函数, 且满足 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 , 求实数 a
2

的取值范围。

例 5:已知 f (x) 是定义在 ?0,??? 上的增函数, ,且 f (2) ? 1 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求 f (1), f (4) ; (2)满足 f ( x) ? 2 ? f ( x ? 3) 的实数 x 的范围。

4

巩固提高:
1. 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 减 函 数 , 则 满 足 f ( ( ) )

1 ) ? f ?1? 的 实 数 的 取 值 范 围 是 x

2. 若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是(

3 3 f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 2 3 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 2 2 3.求函数 f(x)=x+ ? x, x ? ?0,1?的最小值。 x
A.

4.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x ? 0, x ? ?0,4? 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

知识梳理三:函数的奇偶性
1.定义: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫偶函数; 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫奇函数。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数 f (x) 为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 ; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 是否恒成立。 (3)如果 f ? x ? ? 0 恒成立,则该函数既为奇函数,又是偶函数。 (4) f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? dx ? e 为偶函数则
4 3 2

, 为奇函数则



5

例 1:判断下列函数的奇偶性:
(1) (2)

f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

f ( x) ? 2 x ? 1

1? x2 例 2:判断函数 f ( x ) ? 的奇偶性。 x?2 ?2
分析:解此题的步骤(1)求函数的定义域; (2)化简函数表达式; (3)判断函数的奇偶性

4.奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函 数为奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称。 反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 那么这个函数 为偶函数。 应用:①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。 例 3: 作出函数 y=x -2|x|-3 的图象。
2

5.常用结论: (1)奇偶性满足下列性质: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单 调性。 例 4:设 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,求当 x ? (0,??) 时
3

f (x) 的解析式。

6

例 5: 已知: 函数 f (x) 定义在 R 上, 对任意 x, y∈R, f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) 有 且 f (0) ? 0 。 (1)求证: f (0) ? 1 ;(2)求证: f (x) 是偶函数;

例 6:设函数 y ? f (x) 是定义域为 R 上的偶函数,对任意的 x ? R 均有 f ( x ? 4) ? f ( x) 成立,当 x∈ ?0,2?时,f(x)=2x+1,则直线 y=4 与 y=f(x)的图像交点中最近的两点的距 离为多少?

巩固提高: 1、判断下列函数的奇偶性:

?1 2 ? x ? 1( x ? 0), 1 2 (1).f(x)= x , x ? ?0,?? ? ; (2).f(x)=x+ ;(3).f(x)= ? 2 . 1 x ?? x 2 ? 1?x ? 0 ?. ? 2

2.已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x x ? 2 ,求函数 f(x)的表达式。

7

3、函数 f ( x) ? x ( x ? 1 ? x ? 1 ) 是( A. 是奇函数又是减函数 C. 是减函数但不是奇函数

) B. 是奇函数但不是减函数 D. 不是奇函数也不是减函数

综合训练:
5 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=( ? ? 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ).

1 2. f(x)= -x 的图象关于( x

).

A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

).

4.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________

5.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3)

).

6、已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5?
2

(1)当 a=-1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使得 y ? f ? x ? 在区间 ? ?5,5? 上是单调函数

8

课后作业: 1、若函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 , x ? ? ?2, 6? 则函数 f A、奇函数 C、非奇非偶函数

? x?是





B、偶函数 D、既是奇函数又是偶函数

2、下列命题正确的是 A、奇函数的图像一定过原点 B、函数 y ? x ? 1 (?2 ? x ? 2) 是偶函数
2





C、函数 y ? x ? 2 ? x ? 2 是偶函数 D、函数 y ?

x2 ? x 是奇函数 x ?1

3、 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________.

4、求函数 y ?

2 x2 ? x ? 1 ( x ? 1 )的最小值。 x ?1

5、已知 l , m, n ? R ,且 l ? 0,6l ? m ? 0 ,当 f ? x ? ? lx ? mx ? n 时求 f ? 3 ? 和 f ? 5 ? 的
2

大小

2 6、已知函数 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是减函数,求函数 f ? x ? 2 x ? 3 的单调递增区间

?

?

9


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