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高三数学考点限时训练037

高三数学考点限时训练 037
1. 已知 ? ? ? 0, ? ? , 函数 y ?

3 sin ? 的最大值____________。 1 ? 3sin 2 ?

n ?1

2.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线是 l ,则 f (2) ? f ?(2) = 3.已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 8, a5 ? 0 。数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ? 2 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

1 ? (n ? N * ) 2

(2)令 cn ? 2 n ,试问:是否存在正整数 n,使不等式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立?若存在,求出
a

相应 n 的值;若不存在,请说明理由。

4.如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛 网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱。 (1)若大网箱的面积为 108 平方米,每个小网箱的长 x,宽 y 设计为多少米时,才能使围成的 网箱中筛网总长度最小; (2)若大网箱的面积为 160 平方米,网衣的造价为 112 元/米,筛网的造价为 96 元/米,且 大网箱的长与宽都不超过 15 米,则小网箱的长、宽为多少米量,可使总造价最低?
y x

参考答案:
1. 9 1 ;2. ; 8 2

3. (1)设数列 ?an ? 的公差为 d , 由 a5 ? a1 ? 4d1 ,得 d1 ? ?2 ,得 an ? ?2n ? 10 . 由数列 ?bn ? 的前 n 和为 Sn ? 2n?1 ?

1 1 n ? N ? ? 可知,当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? , ? 2 2 1 , 2

当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2n?2 , bn ? 2n?2 当 n ? 1 时,得 b1 ?

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?2n ? 10 , ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n?2 . ( 2 ) 假 设 存 在 正 整 数 n 使 不 等 式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成 立 , 即 要 满 足 (cn ? 1)(bn ? 1) ? 0 , 由

cn ? 2an ? 210?2n ? 45?n , bn ? 2n?2 ,所以数列 ?cn ? 单调减,数列 ?bn ? 单调增,
①当正整数 n ? 1, 2 时, 2n ? 2 ? 1 ≤ 0 ,所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 不成立;
4 时, cn ? 1 ? 0, bn ? 1 ? 0 ,所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立; ②当正整数 n ? 3,

③当正整数 n ≥ 5 时, cn ? 1 ? 0, bn ? 1 ≤ 0 ,所以 bn cn ? 1 ? bn ? cn 不成立.
4 时,使不等式 bn cn ? 1 ? bn ? cn 成立. 综上所述,存在正整数 n ? 3,

4. (1)设小网箱的长、宽分别为 x 米、 y 米,筛网总长度为 S , 依题意 4 x ? 2 y ? 108 , 即 xy ?

27 , S ? 4 x ? 6 y ,………………2 分 2

因为 4x ? 6 y ? 2(2x ? 3 y) ≥ 4 6xy ? 36 ,所以 S ≥ 36 ,……4 分 当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立,

?2 x ? 3 y, ? x ? 4.5, ? 解方程组 ? 27 得 ? xy ? , ? y ? 3. ? ? 2

Y x

即每个小网箱的长与宽分别为与 4.5 米与 3 米时,网箱中筛网的总长度最小.……………6 分 (2)设总造价为 W 元,则由 4 x ? 2 y ? 160 ,得 xy ? 20 , 因为 4 x ≤15, 2 y ≤15 ,所以 x ≤

15 15 20 15 8 15 ,∴ ≤ x ≤ , y≤ , y ? ≤ 4 2 x 2 3 4 20 20 16 ) ?112 ? (4 x ? 6 ? ) ? 96 ? 1280( x ? ) , x x x

W ? (8x ? 4 y) ?112 ? (4x ? 6 y) ? 96 ? (8x ? 4 ?

8 15 15 15 16 求导,可得 W ( x) 在 [ , ] 上单调递减 ,所以当 x ? 时, W 最小,此时 x ? , y ? , 3 4 4 4 3
即当小网箱的长与宽分别为

15 16 米与 米时,可使总造价最低. 4 3


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