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高中数学第三章不等式第20课时二元一次不等式(组)所表示的平面区域课件新人教b必修5_图文

1说基础· 名师导读 知识点1 二元一次不等式(组)与平面区域 (1)二元一次不等式(组)的有关概念 概念 文字表述 示例 二元 含有两个未知数,并且未知 2 1 一次 如3x-y>0,3x+3y≤0都是 数的次数是1的不等式称为 不等 二元一次不等式 二元一次不等式 式 二元 由几个二元一次不等式组成 一次 如 x+y>1, x-y>0 为二 的不等式组称为二元一次不 不等 元一次不等式组 等式组 式组
? ? ? ? ?

二元 一次 满足二元一次不等式(组)的x和y的 (1,3)是二元一次不等 不等 取值构成的有序数对(x,y),所有 式2x+y+1>0的一个 式 这样的有序数对(x,y)构成的集合 解,其解集为{(x, (组) 称为二元一次不等式(组)的解集 y)|2x+y+1>0} 的解 集

讲重点 二元一次不等式(组)的解集的几何解释 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是,二元 一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集 合.

知识点2 二元一次不等式与平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By +C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域(虚 线表示区域不包括边界直线). (2)二元一次不等式表示的平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它 的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同,所以只 需在此直线的同一侧取某一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的 符号即可判断Ax+By+C>0表示的是直线哪一侧的平面区域(特 殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点).

(3)画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤: ①“直线定界”,即画出边界直线Ax+By+C=0,要注意 是虚线还是实线; ②“特殊点定域”,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根 据Ax0+By0+C的符号确定出相应不等式表示的平面区域.当 C≠0时,通常取原点(0,0)作为测试点.

2说方法· 分类探究 类型一 二元一次不等式表示的平面区域 【例1】 (1)画出不等式3x-4y-12≥0表示的平面区域; (2)画出不等式3x+2y<0表示的平面区域.

思维启迪:(1)先画直线,再取原点分析;(2)先画直线,再 取(1,0)点分析. 解析:(1)先画直线3x-4y-12=0(画成实线),取原点 (0,0),代入3x-4y-12,得-12<0, 所以原点不在3x-4y-12≥0表示的平面区域内. 所以不等式3x-4y-12≥0表示的平面区域如图1阴影部分 所示.

(2)先画直线3x+2y=0(画成虚线). ∵点(1,0)在3x+2y>0表示的平面区域内, ∴不等式3x+2y<0表示的平面区域如图2阴影部分所示.

[类题通法] 画二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域的步骤: (1)在平面直角坐标系中画出直线Ax+By+C=0,即边界, 并判断直线的虚实; (2)利用特殊点确定二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平 面区域是直线Ax+By+C=0的哪一侧; (3)用阴影表示平面区域. 注意:对于二元一次不等式Ax+By+C≥0或Ax+By+ C≤0,把边界画成实线;对于二元一次不等式Ax+By+C>0或 Ax+By+C<0,把边界画成虚线.

变式训练1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域: (1)x-2y+4≥0;(2)y>2x.

解析:(1)画出直线x-2y+4=0(画成实线),

∵0-2×0+4=4≥0, ∴x-2y+4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧,因此所求为如 图阴影所示的区域,包括边界.

(2)画出直线y-2x=0(画成虚线).

∵0-2×1=-2<0, ∴y-2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所 求为如图阴影所示的区域,不包括边界.

类型二 二元一次不等式组表示的平面区域 【例2】 画出不等式组 ?x-y+5≥0, ? ?x+y+1≥0, ?x≤3 ? 表示的平面区域.

思维启迪:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表 示的平面区域的交集,即是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分.

解析:不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及其右下 方的点的集合;x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及其右上方 的点的集合;x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合,所以 不等式组表示的平面区域如图所示.

[类题通法] 画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤: (1)画出每一个二元一次不等式表示的平面区域; (2)取所有的二元一次不等式表示的平面区域的公共部分; (3)用阴影表示公共部分即为二元一次不等式组表示的平面 区域.

变式训练2

? ?x<3, ?2y≥x, 画出不等式组 ? ?3x+2y≥6, ? ?3y<x+9

表示的平面区

域.

解析:不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合. 不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点 的集合. 不等式3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0 上及右上方点的集合. 不等式3y<x+9,即x-3y+9>0表示直线x-3y+9=0右下 方点的集合. 综上可得:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部 分.

类型三 求不等式组表示的平面区域的面积 【例3】 面积. ?y≥0, ? 求不等式组 ?x+3y≤4, ?3x+y≥4 ? 所表示的平面区域的

思维启迪:先画出不等式组表示的平面区域,再根据图形 求其面积.

解析:如图所示为不等式组表示的平面区域,平面区域为 ?4 ? 一三角形,三个顶点坐标分别为(4,0), ?3,0? ,(1,1),所以三角 ? ? 1 ? 4? 4 ? ? 形的面积为S=2× 4-3 ×1=3. ? ?

[类题通法] 若不等式组表示的平面区域是规则图形(三角形、矩形、平 行四边形、梯形等)可直接利用面积公式求解,若是不规则图 形,可将其分割为若干个规则图形,再求各图形面积之和.

变式训练3 的面积.

?x-y+6≥0, ? 求不等式组 ?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区域

解析:不等式组 ?x-y+6≥0, ? ?x+y≥0, ?x≤3 ? 表示的平面区域

如图阴影部分所示. 因此其区域面积也就是△ABC的面积. 又A(-3,3),B(3,-3),C(3,9), 1 ∴S△ABC=2×12×6=36.

类型四 二元一次不等式组表示平面区域的实际应用 【例4】 某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品, 该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2500件,每月生产乙产 品最多1200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产 品需要6个A,8个B.2014年1月,该厂能用的A最多有14000个,B 最多有12000个,用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表 示出来,并画出相应的平面区域.

思维启迪:分别设出两种产品的产量,由题目中的条件 列出不等式组.

解析:设每月生产甲产品x件,每月生产乙产品y件, ? ?0≤x≤2500, ?0≤y≤1200, 则x、y满足? ?4x+6y≤14000, ? ?6x+8y≤12000, ? ?0≤x≤2500, ?0≤y≤1200, 即? ?2x+3y≤7000, ? ?3x+4y≤6000.

在平面直角坐标系中,画出上述不等式组表示的平面区 域,如下图的阴影部分所示.

[类题通法] 解决此类题目的关键是列出不等式组,用字母表示变量, 找出表示不等关系的关键词,列出不等式组即可.本题中表示 不等关系的关键词是“A最多有14000个,B最多有12000个\”. ? ?x≤2500, ?y≤1200, 本题易错写为不等式组? ?4x+6y≤14000, ? ?6x+8y≤12000, 其原因是忽视了变量的实际意义,其避免方法是实际问题 中要优先考虑实际意义.

变式训练4 一工厂生产甲、乙两种产品.生产每吨产品的 资源需求如下表所示,设厂里有工人200人,每天只能保证160 kw· h的用电额度,每天用煤不得超过150 t,请在直角坐标系中 画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围. 品种 电力/kw· h 煤/t 工人/人 2 3 5 甲 8 5 2 乙

解析:设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t,生产x t甲 产品和y t乙产品的用电量是(2x+8y) kw· h,根据条件有2x+ 8y≤160;用煤量为(3x+5y) t,根据条件有3x+5y≤150;用工 人数(5x+2y)人,根据条件有5x+2y≤200;另外,还有x≥0, ? ?2x+8y≤160, ?3x+5y≤150, ? y≥0.综上所述,x,y应满足以下不等式组 ?5x+2y≤200, ? ?x≥0, ? ?y≥0. 甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域,如 图所示的阴影部分(含边界).