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成都市2013级二诊数学试卷(word版)

成都市 2013 届高中毕业班第二次诊断性检测 数学(理工农医类)
2 1? i

1.在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

对应的点位于( C.第三象限
2

) D.第四象限 ) D.

B. 第二象限

2.已知全集 U ? ?x x ? 0 ? , M ? ?x x ? 2 x ? ,则 C U M ? ( A.

?x x ? 2 ?

B. ?x x ? 2 ?

C. ?x x ? 2 或 x ? 0 ?

?x 0 ?

x ? 2?

3. 若直线 ( a ? 1) x ? 2 y ? 0 与直线 x ? ay ? 1 互相垂直,则实数 a 的值等于() A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

4. 已知直线 l 和平面 ? ,若 l // ? , P ? ? ,则过点 P 且平行于 l 的直线( ) A.只有一条,不在平面 ? 内 B.有无数条,一定在平面 ? 内 C.只有一条,且在平面 ? 内 D.有无数条,不一定在平面 ? 内 5. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为( ) A.
3 3

B.1

C.

2 3 3

D. 3

6. 函数 f ( x ) ? log A. 0 个

2

x?

1 x

? 1 的零点个数为(

) D.3 个

B. 1 个
x a
2 2

C. 2 个
2

7. 已知双曲线 的离心率为( A.
2

?

y b

2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线与曲线 y ?

2 x ? 1 相切, 则该双曲线

) B.
1 2x 9 2 ?
3

C. 2
2

D. 2 2

8. 若不等式 m ? A. 9 B.

1? x

,当 x ? ( 0 ,1) 时恒成立,则实数 m 的最大值为( ) D.
5 2

C. 5

9. 已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n , a 5 ? 则

?
2

, 若函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 2 cos

2

x 2



记 y n ? f ( a n ) ,则数列 ? y n ? 的前 9 项的和为( A.0 B. ? 9 C. 9 D. 1



10. 某算法的程序框图如图所示,执行该算法后输出的结果 S 的值为( A. 24 B. 26 C. 30 D. 32



二、 填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知 sin ? ? cos ? ?
4

2 3

,则 sin 2? 的值为
4

。 。

12. 若 (1 ? 2 x ) ? a 0 ? a 1 x ? ? a 4 x ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ?

13. 已知 G 为 ? ABC 的重心, ? ABC 所在平面内一点 P 满足 PA ? 2 BP ? 2 CP ? 0 ,则
AP AG

的值等于



? ?2 x ? y ? 4 ? 0? ? ? ? ??x, y ? ? x ? y ? 0 ? ? ?x ? y ? 0 ? 14. 已 知 集 合 ? ? ? 表示的平面区域为 ? ,若在区域 ? 内任取一点
P ( x , y ) ,则点 P 的坐标满足不等式 x ? y ? 2 的概率为
2 2



15. 对 于 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f ( x ) , 若 满 足 对 ? x 1 , x 2 ? D , 且 x 1 ? x 2 时 都 有 。若 f ( x ) 为区间 [ 0 ,1] 上的“非 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则称函数 f ( x ) 为区间 D 上的“非增函数” 增函数”且 f ( 0 ) ? 1, f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1 ,又当 x ? [ 0 , ] 时, f ( x ) ? ? 2 x ? 1 恒成立。则下
4 1

列命题: ① ? x ? [ 0 ,1], f ( x ) ? 0 ; ②若 x1 , x 2 ? [ 0 ,1] ,且 x 1 ? x 2 时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;
1 ③对 ? x ? [ 1 , 3 ] 时,都有 f ( x ) ? ; 4 4 2

④函数 f ( x ) 的图像关于点 ( , ) 对称;
2 2

1 1

其中你认为正确的所有命题的序号为



三、 解答题(16-19 每小题各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.在 ? ABC 中,三内角为 A , B , C ,且 2 sin A sin( B ? (1)求 A 的大小;
?
4 ) ? sin( A ? B ) 。

(2)求 sin B sin C 的取值范围;

17. 某校高三(1)的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏, 可见部分如下:

试根据图表中的信息解答下列问题: (1)求全班的学生人数及分布在 [ 70 ,80 ) 之间的频数; (2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于 [ 70 ,80 ) 、 [ 80 , 90 ) 和
[ 90 ,100 ] 分数段的试卷中抽取 8 份分析,再从中任选 3 人进行交流,求交流的学生中,成绩

位于 [ 70 ,80 ) 分数段的人数 X 的分布列和数学期望。

18. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, AC ? AA 1 ? 2 AB ? 2 , ? BAC ? 90 ,点 D 是
0

侧棱 CC 1 延长线上一点, EF 是平面 ABD 与平面 A1 B 1 C 1 的交线。 (1)求证: EF ? A1 C ;
26 26

(2)当平面 DAB 与平面 CA 1 B 1 所成角的余弦值为

时,求 DC 1 的长。

19. 设函数 f ( x ) ? x ,过点 C 1 (1, 0 ) 做 x 轴的垂线 l1 交 f ( x ) 图像与点 A1 ,以 A1 为切点做函
2

数 f ( x ) 图像的切线交 x 轴于点 C 2 ,再过 C 2 做 x 轴的垂线 l 2 交函数 f ( x ) 图像于点 A 2 , ? , 以此类推得点 A n ,记 A n 的横坐标为 a n 。 (1)证明数列 ?a

n

? 为等比数列并求出通项公式 a
1 2

n


n

(2) 设直线 l n 与函数 g ( x ) ? log 前 n 项和 S n 。

x 的图像相交于点 B n , b n ? OA n ? OB 记

, 求数列 ?b n ? 的

20. 已知椭圆 E :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 以抛物线 y

2

? 8 x 的焦点为顶点,且离心率为

1 2



(1)求椭圆 E 的方程。 (2) F 为椭圆 E 的左焦点, 若 直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于 A , B 两点, 与直线 x ? ? 4 相 交于点 Q ,点 P 是椭圆 E 上一点且满足 OP ? OA ? OB ,试问在 x 轴上是否存在一点 T , 使得 OP ? TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐标及该值;若不存在,说明理由。

21. 已知函数 f ( x ) ? x ?

1 x

? a ln x , g ( x ) ? x ?

1 x

? (ln)

a

,其中 x ? 0 , a ? R 。

(1)若函数 f ( x ) 无极值,求 a 的取值范围。 (2)当 a 取(1)中最大值时,求函数 g ( x ) 的最小值。 (3)证明不等式: ?
k ?1 n

1 2 ( 2 ? 1)
k k

? ln

2
n

n ?1

2 ?1

(n ? N ) 。
*