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2.2等差数列的前n项和


2.2 等差数列的前n项和

问题提出
有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的 圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?



… …



根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列: 1,2,3,4,…

设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则:
Sn=1+2+3+4+…+n

问题提出
这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢? 高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果. S100=1 +2 +3 +4 +…+98+99+100 =100+99+98+97+…+3 + 2+ 1 这两个等式上、下对应的和均为101,所以. 2S100=101+101+101+…+101+101+101 因为有100个101,所以. 2S100=101×100=10100

S100=5050

抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
那么根据等差数列{an}的通项公式,上式可以写成:

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ?1)d ] ①
再把项的次序反过来,又可以写成

Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ?1)d ] ②

把①,②等号两边分别相加,得

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ... ? (a1 ? an )
n个

? n(a1 ? an )
于是,首项为a1 ,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和

n(a1 ? an ) Sn ? 2



这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数 乘积的一半.



an ? a1 ? (n ?1)d 代入③式 ,得

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
特别地,当a1 =1, d =1时,n个连续正整数的和



n(n ? 1) S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2

n(n ? 1) ? 200的最大自然数n 圆木料问题,即转化为求满足 S n ? 2 当n ? 19时, Sn ? 190;

当n ? 20时, Sn ? 210.
所以n的最大值为19.
此时,将堆垛19层,剩余10根圆木料.

例7:求n个正奇数的和.
解: 由等差数列前n项和公式,得

n(1 ? 2n ? 1) 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) ? ? n2 2
也可用面积图来表示

例8:在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇
家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由 扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一 圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请 问:

(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?

解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为{an} ,由题意可

知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.
由等差数列的通项公式,得第9圈有石板

a9 ? a1 ? (9 ? 1)d ? 9 ? (9 ? 1) ? 9 ? 81(块)
(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板

9(9 ? 1) 9?8 S9 ? 9a1 ? d ? 9?9 ? ? 9 ? 405(块) 2 2

答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

n(a1 ? an ) Sn ? 2
倒序求 和法

推导

等差数列前n 项和公式

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

例9

在数列{an}中 , an=2n+3,求这个数列自第100项到第200 .所以数列 ? a ? [2( n ? 1) ? 3] ? (2 n ? 3) ? 2 n ?1 n

项之和S的值.
解 由于 a

{an}是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是等 差数列.共有101项,所求和为

a100 ? a200 S? ?101 2 2 ?100 ? 3 ? (2 ? 200 ? 3) ? ?101 2

? 30603

例10

在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处

起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一
棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程?. 解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m)

组成了一个数列 0,20,40,60,…,380, 这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和

20 ? (20 ? 1) S? ? 20 ? 3800(m) 2
答 植树工人共走了3800 m的路程.

例11

九江抗洪指挥部接到预报,24时后有一洪峰到达.为确

保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.
经计算,除现有的部队指挥员和九江干群连续奋战外,还需调用 20台同型号翻斗车,平均每辆工作24时.但目前只有一辆车投入 施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20分能有一辆车 到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24时内能否构筑成第二

道防线?
解 从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:h)依次

为:

a1 , a2 ,..., a25 ,

1 这是一个等差数列, a1 ? 24, d ? ? . 3
25辆车可以完成的工作量为:

需要完成的工作量为:

25 ? 24 1 a1 ? a2 ? ... ? a25 ? 25 ? 24 ? ? (? ) ? 500 2 3

24 ? 20 ? 480
因此,在24小时内能构筑成第二道防线.

1 已知一个数列的前n项和为 Sn

? n2 ? n ?1, 求它的通项公式,

它是等差数列吗?

n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? n ? 1) ? [(n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1] ? 2n 当n=1时, a1 ? S1 ? 1
解:当

? an ?
∴ ∴

1(n=1), 2n(n≥2),

? a2 ? a1 ? 4 ? 1 ? 3 ? 2,
数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数. {an} 不是等差数列.

等差数列的前n项和公式的其它形式

???? ?? ???? ??
a1 ? an ?( n ?1) d

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ?1) d

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 n(n ? 1) S n ? na n ? d 2
n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

分析公式的结构特征
若a1、d是确定的,那么 S n ? n a1 ?

设 A ? d , B ? a1 ? d 上式可写成Sn=An2+Bn

若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且缺常数项。

2

2

2 已知两个等差数列{an}与{bn},它们的前n项和的比为

Sn n ? 3 a10 ? ,求 . ? n ?1 Sn b10
解:设

? ? kn(n ? 1), Sn ? kn(n ? 3), Sn

a10 k ? 10(10 ? 3) ? k ? 9(9 ? 3) 11 ? ? ? b10 k ? 10(10 ? 1) ? k ? 9(9 ? 1) 10

n(a1 ? an ) Sn ? 2
倒序求 和法

推导

等差数列前n 项和公式

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2


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