当前位置:首页 >> 数学 >>

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:2.2.2 反证法


2.2.2

反证法

路 边 苦 李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李

树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎
站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘?

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小

伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样

的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在
“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多

李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.

1.反证法的定义. 2.反证法的一般步骤. (重点) 3.运用反证法的注意事项. (难点)

探究点1 反证法的定义
引例: 证明:在一个三角形中至少有一个角不小 于60°. 已知:∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证: ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°.

证明: 假设? A B C 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, 则有∠ A <60°,∠B < 60°, ∠C <60° 所以 ∠A+∠B+∠C<180° 这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. 所以假设不成立,所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推 理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相 矛盾,说明假设不成立,从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法

反证法
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条 件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题

成立的证明方法称为间接证明.
注:反证法是最常见的间接证法.

反证法的证明过程
否定结论——推出矛盾——肯定结论
即分三个步骤:反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理, 得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而 肯定原结论成立.

归谬矛盾:
(1)与已知条件矛盾.

(2)与假设矛盾或自相矛盾.
(3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾. 反证法的思维方法:正难则反.

探究点2 反证法的应用
万事开头难,让我们走好第一步! 你能说出下列结论的反面吗? 1. a⊥b a不垂直于b

2.d是正数
3.a≥0

d不是正数,即d≤0
a< 0

4.a∥b

a不平行b

常用的互为否定的表述方式:
至少有三个—— 最多有一个—— 至多有两个 至少有两个

准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的,

下面是一些常见的结论的否定形式. 原词语
等于 是

否定词 不等于 不是

原词语
任意的 至少有一个

否定词
某个

一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 都是 不大于 大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 成立 不成立

例1 已知直线a,b和平面 ? ,如果 a 且 a // b ,求证:

? ? ,b ? ?
a

,

a // ? .

?

证明:因为a ∥b 所以经过直线a,b确定一个平 面 ?.

?

b

P

? ? ,而 a ? ? , 所以 ? 与 ?是两个不同的平面.
因为 a
因为 b ? ? , 且 b ? ? ,

所以 ? ? ? ? b .

下面用反证法证明直线a与平面 ? 没有公共点,假设 直线a与平面 ? 有公共点P,则P ? ? ?? ? b ,即点P是 直线a与b的公共点,这与a∥b矛盾,所以a∥? .

例 2 求 证 2是 无 理 数 .
分析:直接证明一个数是无理数比较困难,我 们采用反证法.

m 知道,任一有理数都可以写成形如 (m,n互质, n
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾.

假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.我们

证明:假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.

m 于是,存在互质的正整数m,n使得 2 ? ,从而有 n

m ? 2n,

因此

m 2 = 2n 2 ,
4k 2 ? 2n 2 ,

所 以 m 为 偶 数 .于 是 可 设 m = 2k(k是 正 整 数 ), 从 而 有



n = 2k ,

2

2

所 以 n 也 为 偶 数 .这 与 m ,n 互 质 矛 盾 !
由 上 述 矛 盾 可 知 假 设 错 误 , 从 而 2是 无 理 数 .

【总结提升】

反证法的一般步骤 分清条件和结论 先假设命题的结论不成立 从假设出发,经过推理

得出矛盾
否定假设

肯定原命题

宜用反证法证明的题型
(1)以否定性判断作为结论的命题. (2)某些定理的逆命题. (3)以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈
述的命题.

(4)关于“唯一性”结论的命题. (5)解决整除性问题.
(6)一些不等量命题的证明.

(7)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.
(8)涉及各种“无限”结论的命题等.

1.“a<b”的反面应是( D )
A. a≠b或a>b B. a >b

C. a=b

D. a=b或a>b

2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”
时,应假设 三角形中有两个或三个角是直角 ____________ .

3.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正 确的反设为( D )

A.a,b,c都是奇数 B. a,b,c都是偶数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

4.如图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是
锐角.

证明:假设结论不成立,则∠B是直角或钝角. 当∠B是直角时,则∠B+ ∠C= 180°,
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾;

当∠B是钝角时,则∠B+ ∠C>180°,
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾; 综上所述,假设不成立. 所以∠B一定是锐角.

5.A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C
说A,B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

1.反证法的一般步骤: 假设
假 设 命 题 不 成 立 归谬

与假设、已知、定 义、定理、公理或 者事实矛盾等

结论 求 证 的 命 题 正 确

从假设 出发

引 出 矛 盾

假 设 不 成 立

得出 结论

2.用反证法证题时,应注意的事项: (1)周密考察原命题结论的否定事项,防止否定 不当或有所遗漏. (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题的真 伪性. (3)在推理过程中,要充分使用已知条件,否则 推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是错误的.

沟潭之水,凝滞沉闷,飞瀑之流,奋迅高 亢——同是为水,性却异,前者满足安逸,后 者进取不已.


相关文章:
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:2.2.1 第1课时 综合法 - 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 ...
...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:2.1.2 ....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:2.1.2 演绎推理_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 演绎推理 现在冰雪覆盖的南极...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.3.1 函数的单调性与导数 - 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.4 生活中的优化问题举例 - 1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性?...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.5.3 定积分的概念 - 1.5.3 定积分的概念 求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.1.3 导数的几何意义 - 1.1.3 导数的几何意义 1.平均变化率 函数y=f(x)...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:2.1.1 合情推理 - 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合...
...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:3.1.2 ....ppt
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:3.1.2 复数的几何意义 - 3.1.2 复数的几何意义 想一想? 在几何上, 我们用什么...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.1.1 综合法 课堂达标] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.1.2 分析法 课时作业 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节...
...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.2 反证....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.2 反证法 课堂达标 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.2.2 导数的运算法则 课时作业] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...
...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.2 反证....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.2 反证法 课时作业] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.1....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.1.2 复数的几何意义 课时作业] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.2.2 导数的运算法则 课堂达标] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-2)练习:2.2.2 反证法 课时作业 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.2.1.1 综合法 课时作业] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.2....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课堂达标] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动...
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.5
更多相关标签: