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新课标高考数学导数圆锥曲线压轴大题


导数
利用导数研究函数的单调性
1.(2012 年高考(辽宁文) )函数 y=

A.( ? 1,1]

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
C.[1,+∞) D.(0,+∞)





B.(0,1]

2. (2012 年高考(浙江理) )设 a>0,b>0. A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

3.(2012 年高考(浙江文) )已知 a∈R,函数

f ( x) ? 4 x 3 ? 2ax ? a

(1)求 f(x)的单调区间。 (2)证明:当 0≤x≤1 时, f (x)+ 2 ? a >0 。 【解析】(1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a ,
2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?? ? . 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 12( x ?

? a a? a a )( x ? ) ,此时函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ? , ?. 6 6 ? 6 6?
3 3

(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 2ax ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 . 当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 2a (1 ? x) ? 2 ? 4 x ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 .
3 3 3

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x 2 ? 2 ? 6( x ?
3

3 3 )( x ? ). 3 3

则有

x

0

? 3? 0, ? ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增

1

g ?( x)

g ( x)

1



极小值

1

所以 g ( x) min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ? 0. 3 9

当 0 ? x ? 1 时, 2 x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 .

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故 f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 ? 0 .
3

4.(2012 年高考(新课标理) )已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

(1)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x) min ? (a ? 1) ? ( a ? 1) ln( a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ln(a ? 1)(a ? 1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2 ln x)
2 2

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x? 当a ?

e 时, F ( x) max ?

e 2 e 2

e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

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5.(2012 年高考(陕西理) )设函数

f ( x) ? xe x ,则
B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点





A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 【答案】D

【解析】 f ?( x) ? ( x ? 1)e ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1 , x < - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为减
x x x 函数; x > - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为增函数,所以 x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点,选

D.
6.(2012 年高考(重庆理) )设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数

为 f ?( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) ( )

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7.(2012 年高考(重庆文) )已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

(1)求 a、b 的值;(2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值. 【解析】::(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取

得极值 故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x 3 ? 12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ? 12

令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时 , f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增 函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数. 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极 小 值

f (2) ? c ? 16 由 题 设 条 件 知 16 ? c ? 28

得 c ? 12

此 时

f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ? 9 ? c ? 3, f (2) ? c ? 16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最
小值为 f (2) ? ?4
8.(2012 年高考(广东文) )

设 a ? 1 ,集合 A ? ? x ? R x ? 0? , B ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 , D ? A (Ⅰ)求集合 D (用区间表示);
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?

?

B.

(Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x 3 ? 3 ?1 ? a ? x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

综上所述,当 时 ,

1 1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? ; 当 a ? 时 , D ? ? 0,1? 3 3

?1, ?? ? ; 当 0 ? a ?
. 其

1 3


D ? ? 0, x1 ?

? x2 , ?? ?

;



a?0



,

D ? ? x2 , ?? ?

x1 ?

3 ?1 ? a ? ? 3? a ? 3?? 3a ? 1 ? 4

, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

.

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a , 令 f ? ? x ? ? 0 可得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 . 因为 a ? 1 , 所以

f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .
①当 可得

1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? , 此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 , 列表 3

x

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1, ?? ?
+ 递增

f ?? x? f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a .

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②当 a ?

1 时, D ? ? 0,1? 3

?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ?
1 3
0 极小值

1 ,列表可得 3

x

? 1? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

?1 ? ? ,1? ?3 ?
递减

?1, ?? ?
+ 递增

f ?? x? f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时, D ? ? 0, x1 ? 3

? x2 , ?? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 (可用分析法证明),于是

f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得
x

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ?? ?
+ 递增

f ?? x? f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.

9. ( 2012 年高考(江西文) ) 已知函数

f ( x) ? (ax 2 ? bx ? c)e x 在 ? 0,1? 上单调递减且满足

f (0) ? 1, f (0) ? 0 .
(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f ( ? x) ? f ?( x) ,求 g ( x) 在 ? 0,1? 上的最大值和最小值. 【解析】(1)由 f (0) ? c ? 1 , f (1) ? 0 ? c ? 1, a ? b ? ?1 ,则

f ( x) ? [ax 2 ? (a ? 1) x ? 1]e x , f '( x) ? (ax 2 ? (a ? 1) x ? a )e x ,依题意须对于任意 x ? (0,1) ,
有 f ?( x) ? 0 , 当 a ? 0 时 , 因为二 次函数 y ? ax ? (a ? 1) x ? a 的 图像开 口向 上 , 而
2

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f ?(0) ? ?a ? 0 ,所以须 f ?(1) ? (a ? 1)e ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,当 a ? 1 时,对任意 x ? (0,1) ,


f ?( x) ? ( x 2 ? 1)e x ? 0 , 符 合 条 件 ; 当 a ? 0

时 , 对 任 意

x ? (0,1) , f ?( x) ? ? xe x ? 0 , f ( x) 符合要求,当 a ? 0 时,因 f ?(0) ? a ? 0 , f ( x) 不符
合条件,故 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 . (2)因 g ( x) ? (?2ax ? 1)e , g ?( x) ? ( ?2ax ? 1 ? a)e
x x x

当 a ? 0 时, g ?( x) ? e ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上取得最小值 g (0) ? 1 ,在 x ? 1 上取得最大 值 g (1) ? e ; 当 a ? 1 时 , 对于任意 x ? (0,1) , 有 g ?( x) ? ?2 xe ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上取得 最大值
x

g (0) ? 2 ,在 x ? 1 上取得最小值 g (1) ? 0 ;
当 0 ? a ? 1 时,由 g ?( x) ? 0 ? x ?

1? a ?0, 2a

10.(2012 年高考(江苏) )若函数 y ? f ( x) 在 x ? x 0 处取得极大值或极小值,则称 x 0 为 函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 【解析】(1)由 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b . ∵1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b =0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b =0 ,解得 a =0,b = ? 3 .
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(3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c . 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ? ? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函 数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2. 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根. 由(1)知 f' ( x)=3 ? x ? 1?? x ? 1? . ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 . 此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ? ? 无实根. ② 当 x ? ?1 ,2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数. 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根. ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数. 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根. 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 .
现考虑函数 y ? h( x) 的零点:

t2 =2 . ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,
而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点. ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i =3, 4, 5 .
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而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5 ? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点. 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零 点.
11.(2012 年高考(湖南理) )已知函数 f ( x) = ? e
ax

? x ,其中 a≠0.

(1) 若对一切 x∈R, f ( x) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的 斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e ax2 ? e ax1 ? ? 1. (Ⅱ)由题意知, k ? x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?
ax

e ax2 ? e ax1 ,则 x2 ? x1

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【方法总结】1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域. (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用方程 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开 区间,并形成表格. (4)由 f′(x)=0 的根左右的符号以及 f′(x)在不可导点左右的符号来判断 f′(x)在这个 根或不可导点处取极值的情况. 2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展. 从函数图象上可以直观 地看出:如果在闭区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值,只要把函数 y=f(x)的所有极值连同端点处的函数值 进行比较,就可以求出函数的最大(小)值.

热点三 利用导数研究综合问题
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12.(2012 年高考(天津文) )已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 时 ,设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t ) , 最小值为 m(t ) ,记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.

13.(2012 年高考(陕西文) )设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

( n ? N ? , b, c ? R )

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f (?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; 【解析】 (Ⅰ )当 b ? 1 ,c ? ?1,n ? 2时,f n ( x) ? x n ? x ? 1
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1 1 1 1 内存在零点 . f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ?1 ? 0, ? f n ( x)在( , 1) 2 2 2 2 1 又当 x ? ( ,1)时,f n' ( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0 , 2 1 1 ? f n ( x)在( , 1)上是单调递增的, ? f n ( x)在( , 1)内存在唯一零点 . 2 2

解法三:由题意,知 ?

? ? f ? ?1? ? 1 ? b ? c, ? ? f ?1? ? 1 ? b ? c.

解得 b ?

f ?1? ? f ? ?1? f ?1? ? f ? ?1? ? 2 ,b ? . 2 2

∴b ? 3c ? 2 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 . 又∵?1 ? f ? ?1? ? 1 , ?1 ? f ?1? ? 1 ,∴?6 ? b ? 3c ? 0 . 当 b ? 0,c ? ?2 时, b ? 3c ? ?6 ;当 b ? c ? 0 , b ? 3c ? 0 . ∴b ? 3c 的最小值是-6,最大值是 0. (2)当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x ? bx ? c .
2

对任意 x1 , x 2 ? [?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) ? 4等价于f 2 ( x)在[?1,1] 上的最大值 与最小值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:

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14.(2012 年高考(天津理) )已知函数 f (x)=x ? ln (x +a ) 的最小值为 0 ,其中 a >0 .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+?) ,有 f (x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

(Ⅲ)证明

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (n ? N
i =1

n

2

*

).

【解析】(1) f ( x) 的定义域为 ( ? a, ??)

f ( x) ? x ? ln( x ? a ) ? f ?( x) ? 1 ?

1 x ? a ?1 ? ? 0 ? x ? 1 ? a ? ?a x?a x?a

f ?( x) ? 0 ? x ? 1 ? a, f ?( x) ? 0 ? ?a ? x ? 1 ? a
得: x ? 1 ? a 时, f ( x) min ? f (1 ? a ) ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 (2)设 g ( x) ? kx ? f ( x) ? kx ? x ? ln( x ? 1)( x ? 0)
2 2

则 g ( x) ? 0 在 x ? [0,+?) 上恒成立 ? g ( x) min ? 0 ? g (0) (*)
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15.(2012 年高考(陕西理) )设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

( n ? N ? , b, c ? R )

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ? 性.
【解析】(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, f n ( x) ? x ? x ? 1
n

?1 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 , ?2 ?

, xn

的增减

∵ f n ( ) f n (1) ? (

1 2

1 1 ?1 ? ? ) ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在零点. n 2 2 ?2 ?

又当 x ? ?

?1 ? ,1? 时, f n?( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0 2 ? ?
第 14 页 共 49 页

∴ f n ( x) 在 ?

?1 ? ?1 ? ,1? 上是单调递增的,所以 f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一零点. ?2 ? ?2 ?

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a, b 中的较大者.当 ?1 ?

b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, 2

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2 f (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2

? 1 ? c ? | b | ?( ?
? (1 ?

b2 ? c) 4

|b| 2 ) ? 4 恒成立 2

(3)证法一 设 xn 是 f n ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) ?2 ?

?1 ? n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? xn ? 1 , f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ,1? ?1 ? xn ?1 ? 1 ? 0 , xn ?1 ? ? ?2 ?
n ?1 n 于是有 f n ( xn ) ? 0 ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? f n ( xn ?1 )

又由(1)知 f n ( x) 在 ? 所以,数列 x2 , x3 ,

?1 ? ,1? 上是递增的,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , ?2 ?

, xn

是递增数列.
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证法二 设 xn 是 f n ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内的唯一零点 ?2 ?

n ?1 f n ?1 ( xn ) f n ?1 (1) ? ( xn ? xn ? 1)(1n ?1 ? 1 ? 1) n ?1 n ? xn ? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0

则 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , 所以,数列 x2 , x3 ,

, xn

是递增数列.

【考点剖析】
一.明确要求
1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间(对多项式函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值(对多项式函数不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次). 4.会利用导数解决某些实际问题.

二.命题方向
1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点. 2.选择题、填空题侧重于利 1 用导数确定函数的单调性和极值.解答题侧重于导 数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用,一般难度较大,属中高档题. 3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题, 已成为近几年高考的考 点且每年必考! 4.选择题、填空题主要考查函数的最值,而解答题则考查函数综合问题,一般难 度较大.

三.规律总结
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两个注意 (1)注意函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义 判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 两个条件 (1)f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. (2)对于可导函数 f(x), f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 三个防范

【基础练习】
1.(教材习题改编)函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π)上是(
A.增函数 B.减函数 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 答案:A 解析:f′(x)=1-cos x>0,∴f(x)在(0,2π)上递增. )

2.(教材习题改编)函数 f(x)=12x-x3 在区间[-3,3]上的最小值是 (

)

A.-9 B.-16 C.-12 D.-11 答案: B 解析:由 f′(x)=12-3x2=0,得 x=-2 或 x=2.又 f(-3)=-9,f(-2)=-16,f(2)=16,f(3) =9,∴函数 f(x)在[-3,3]上的最小值为-16.

3.(经典习题)已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数
m 的取值范围是________. 答案:(-∞,-3)∪(6,+∞) 解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6=0 有两个不等实根,即 Δ=4m2-12×(m+6)>0.∴m>6 或 m<-3. 4. (经典习题)若 a>3,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有________个实根.
第 17 页 共 49 页

答案:1 解析:设 f(x)=x3-ax2+1,则 f′(x)=3x2-2ax=x(3x-2a), 由于 a>3,则在(0,2)上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 而 f(0)=1>0,f(2)=9-4a<0, 则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有 1 个实根.

5. (教材习题改编)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________.
【答案】 (-1,11) 【解析】f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),当-1<x<11 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

【名校模拟】
一.基础扎实

b 满足 a ? 2 b ? 0 , 1. (浙江省 2012 届重点中学协作体高三第二学期 4 月联考试题理 )已知向量 a ,
且关于 x 的函数 f ( x) ? 2 x ? 3 a x ? 6a ? bx ? 5 在实数集 R 上单调递增, 则向量 a ,b
3 2

的夹角的取值范围是 A. ?0,

? ?? ? 6? ?

B. ?0,

? ?? ? 3? ?

C. ? 0,

? ?? ? 3? ?

D. ?

?? ? ,? ?3 ? ?

2.(2012 年云南省第一次统一检测理)函数 y ? (A) 【答案】A 【解析】∵ y ? ∴ y? ?

? 2x ? 1 的极大值等于 2x2 ? 2x ? 3
(D) ? 2

1 5

(B) ? 1

(C) 1

? 2x ? 1 , 2x2 ? 2x ? 3

? 4 x 2 ? 4 x ? 6 ? ( 2 x ? 1)( 4 x ? 2) 4x2 ? 4x ? 8 ? . 2 ( 2 x 2 ? 2 x ? 3) ( 2 x 2 ? 2 x ? 3) 2

∵当 x ? ?2 或 x ? 1 时, y ? ? 0 ,当 ? 2 ? x ? 1 时, y ? ? 0 , ∴当 x ? ?2 时, y 取得极大值.∴ y 的极大值等于 故选(A).
第 18 页 共 49 页

1 . 5

3.(山西省 2012 年高考考前适应性训练文)若商品的年利润 y (万元)与年产量 x (百万件) 的函数关系式: y ? ? x3 ? 27 x ? 123 ( x ? 0) ,则获得最大利润时的年产量为( A.4 百万件 【答案】B
'



B.3 百万件
2

C.2 百万件

D.1 百万件

' 【解析】依题意得, y ? ?3 x ? 27 ? ?3 ? x ? 3?? x ? 3? ,当 0 ? x ? 3 时, y ? 0 ;当 x ? 3

时, y ? 0 ,因此当 x ? 3 时,该商品的年利润最大,依题意得知,选 B.
'

4(浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考理)函数 y ? x ? 2 cos x ? 3 在区间 ? 0, 最大值是 .

? ?? 上的 ? 2? ?

解析: y? ? 1 ? 2sin x ? 0 ? sin x ?

1 1 1 , sin ? 时y? ? 0,? sin x ? 时 2 2 2

ymax ?

?
6

? 2?

3 ? ? 3? 2 6

5.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) (文)) (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 3ax ? 1 , g ( x) ? ?
3 2

(Ⅰ ) 当 a ? 1 时,

(Ⅱ ) 当 a ? 0 时,若任意给定的 x0 ? ? 0, 2? ,在 ? 0, 2? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) ,使 得

求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

a 3 x ? (a ? R ) . 4 2

f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

第 19 页 共 49 页

由题意可得 ? 解得 a ? ?1 .

a 3 ? ? 1? a 2 2

综上,a 的取值范围为 (??,?1) . ------------------------------13 分

6.(河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测文) 已知函数 (I)当 (II)若函数 时,求 在 . 上的最大值和最小值 在[1, e]上为增函数,求正实数 a 的取值范围.

所以,只需 ? (1) ? 3a ? 4 ? 0 ,所以 a ?

4 . ???12 分 3

7.(2012 云 南 省 第 一 次 高 中 毕 业 生 统 一 检 测 复 习 文 ) 已 知 实 数 a 是 常 数 ,

f ( x ) ? ( x ? a )2 ? 7 ln x ? 1 . 当 x ? 1 时, f ( x ) 是增函数.
(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 n 是正整数,证明: 解:
第 20 页 共 49 页

1 1 ? (1 ? 2 ? 7 2

?

1 1 )? (1 ? ? 2 n 2

?

1 ) ? ln( n ? 1) . n

(Ⅰ)∵ f ( x ) ? ( x ? a ) 2 ? 7 ln x ? 1 ,∴ f ? ( x ) ? 2 x ? 2a ? ∵当 x ? 1 时, f ( x ) 是增函数, ∴ f ? ( x ) ? 2 x ? 2a ? 即a ?

7 . x

7 ? 0 在 x ? 1 时恒成立. x

7 ? x 在 x ? 1 时恒成立. 2x 7 ∵当 x ? 1 时, ? x 是减函数, 2x 7 5 ∴当 x ? 1 时, ?x? . 2x 2 5 ∴a ? . 2

8.(长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))(本题满分 12 分)

第 21 页 共 49 页

已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 ex

(1) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 若对任意的 x ? [ ,2] , f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

1 2

9.(湖北省八校 2012 届高三第一次联考文)(本小题满分 14 分) 已 知 二 次 函 数

f ( x)











x







f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 2 x 2 ? 8 x ? 4, 且f (?1) ? 0.
(1)求 f ( x) 的表达式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 3ln x ? b 在[1,2]上有两个不同实数解,求实数 b 的取值
第 22 页 共 49 页

范围; (3)设 g ( x) ? m ln x ? 值范围。

1 ? 1? 9 f ? x ? ? ? ,若 ?x ? 0, 使g ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取 2 ? 2? 8

(3)由题意可得 g ? x ? ? m ln x ?

1 2 x (x ?0) 2
?1 m

①当 m ? 0 时,g ? x ? 在为增函数, 显然 ?x ? 0 ,如 x ? e ,使得 g ? x ? ? 0 成立, 所以 m ? 0 符合题意; 9分 10 分

x2 ? 0 恒成立,所以 m ? 0 不符合题意; ②当 m ? 0 时, g ? x ? ? 2
③当 m ? 0 时, g ' ? x ? ? x ?

m x 2 ? m ( x ? ?m )( x ? ?m) ? ? x x x

第 23 页 共 49 页

? g ? x ? 在 0, ?m 为减函数,在

?

?

?

?m, ? ? 为增函数;

?

g ? x ?min ? g ?

?

?m ? ?

?

m ? m ln ? m 2

m ? m ln ?m ? 0 ,? 2 ? m ? ?e
综上: m ? ? ??, ?e ?

13 分 14 分

? 0, ?? ?

10. ( 湖 北 省 黄 冈 中 学 2012 届 高 三 五 月 模 拟 考 试 理 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ln ax ?

x?a ? a ? 0? x

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值;

1 1 1? ? ? 2 3 (Ⅱ) 求证: 对于任意正整数n, 均有

?

1 en ? ln n n !( e 为自然对数的底数) ;

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y ? f ( x) 的图象相切? 若存 在,有多少条?若不存在,说明理由.

(Ⅱ)取 a ? 1 ,由⑴知

f ( x) ? ln x ?

x ?1 ? f (1) ? 0 x ,

1 e ? 1 ? ln x ? ln x, 故x
取 x ? 1, 2,3

, n ,则

1?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln 2 3 n n! .??????9分

第 24 页 共 49 页

二.能力拔高
11.(海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考)设直线 x=t 与函数 f(x)= x 2 ,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( A.1 B. ) D.

1 2

C.

2 2

3 2

【答案】C 2 【解析】解:设函数 y=f(x)-g(x)=x -lnx,求导数得 2 y ‘=2x-1 /x =(2x -1) /x 当 0<x<

2 时,y′<0,函数在(0, 2

2 )上为单调减函数, 2

当 x>

2 2 时,y′>0,函数在( ,+∞)上为单调增函数 2 2 2 时,所设函数的最小值为 1 /2 +1/ 2 ln2 2
第 25 页 共 49 页

所以当 x=

所求 t 的值为

2 .4. 2

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c 3 2 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 x1 ? (?1,1) , x2 ? (2, 4) ,则 a ? 2b 的取值
12. (2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试 文)已知函数 f ? x ? ? 范围是 A. (?11, ?3) B. (?6, ?4) C. (?16, ?8) D. (?11,3)

13. (湖北襄阳五中 2012高三年级第二次适应性考试文)若函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? c) 在
2

x ? 2 处 有 极 值 , 则 函 数 f ( x) 的 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 的 斜 率 为
( ) A.

?5

B.

?8

C.

?10

D. ?12

答案:A 解析:由题意得,函数 f ? x ? ? ( x ? 2)( x ? c ) 在 x ? 2 处有极值,
2

所以 f ? ? x ? ? ( x ? c ) ? ( x ? 2) ? 2 x ,则 f ? ? 2 ? ? (4 ? c) ? (2 ? 2) ? 4 ? 0 ? c ? ?4 ,
2

即 f ? ? x ? ? ( x ? 4) ? ( x ? 2) ? 2 x ? f ? ?1? ? (1 ? 4) ? (1 ? 2) ? 2 ? ?5 ,
2

即函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线的斜率为 ?5 ,故选 A。 14.(湖北省八校 2012 届高三第一次联考文) 函数 y ? kx ? b ,其中 k , b 是常数,其图像是一

第 26 页 共 49 页

条直线,称这个函娄为线性函数,而对于非线性可导函数 f ( x) ,在已知点 x0 附近一点

x 的函数值 f ( x) 可以用下面方法求其近似代替值, f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,
利用这一方法,对于实数 m ? 答案: 2.0005 解析:由题意得, f ? x ? ?

4.002 ,取 x0 的值为 4,则 m 的近似代替值是



2 ? f ?? x? ?

1 2 x

? 0 ,所以 f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增,

选择 4.002 附近的点 x0 ? 4 ? 4.0002 ,则 f ( x) ? f (4) ? f ?(4)(4.0002 ? 4) ? 2.005 。 15.(湖北省武汉市 2012 年普通高等学校招生适应性训练文)(本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2e ln x .( e 为自然对数的底)
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)是否存在常数 a, b 使得 x 2 ? ax ? b ? 2e ln x 对于任意的正数 x 恒成立?若存在, 求出 a, b 的值;若不存在,说明理由.

16.(山东省济南市 2012 届高三 3 月(二模)月考理) (本小题满分 14 分)
第 27 页 共 49 页

已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1) 当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2) 若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (3) 当 a=-1 时,试推断方程 f ( x) =

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

17.(长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 2012 届第三次模拟理)(本小 题 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ? x ? ?

a . ? ln x ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) x
第 28 页 共 49 页

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值;

(Ⅱ)设数列 ?an ? 的通项 an ?

1 , S n 是前 n 项和,证明: S n ? 1 ? ln n ? n ? 2 ? . n

18.(浙江省 2012 届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ), g ( x) ? b ln x .
2 2

(Ⅰ) 关于 x 的不等式 ( x ? 1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个, 求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)对于函数 f ( x) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k , m ,使得

f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与
“分界线” . 设a ? g ( x) 的

2 b?e, , 试探究 f ( x) 与 g ( x) 是否存在 “分界线” ? 2

若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由. (Ⅰ )解法一:不等式 ( x ? 1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,
2

等价于 (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a 2 ? 0 ,
2 2

令 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ,由 h(0) ? 1 ? 0 .
2 2

且 h(1) ? ? a ? 0(a ? 0) ,
2

所以函数 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 的一个零点在区间 (0,1) ,
2 2

第 29 页 共 49 页

则另一个零点一定在区间 [?3, ?2) ,

??????4 分

故?

?h(?2) ? 0, 4 3 解之得 ? a ? . 3 2 ?h(?3) ? 0,

??????6 分

因此

k ? e.
下面证明 g ( x) ?

???11 分

e ex ? ( x ? 0) 恒成立. 2

设 G ( x) ? e ln x ? x e ? 所以当 0 ? x ?

e e ( e ? x) e ,则 G ?( x) ? ? e ? . x x 2

e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ? e 时, G ' ( x) ? 0 .

第 30 页 共 49 页

e e 时 G ( x) 取得最大值 0 ,则 f ( x) ? ex ? ( x ? 0) 2 e 故所求“分界线”方程为: y ? ex ? . ??????15 分 2
因此 x ? 19. ( 2012 理 科 数 学 试 卷 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 x ? m 和 x ? n 是 函 数

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点,其中 m ? n , a ? R . 2 (Ⅰ) 求 f (m) ? f (n) 的取值范围; 1 (Ⅱ) 若 a ? e ? ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值. e f ( x) ? ln x ?
注:e 是自然对数的底数.

(Ⅱ)解:当 a ?

e?

1 1 n ? 2 时, (a ? 2) 2 ? e ? ? 2 .若设 t ? (t ? 1) ,则 e m e

( m ? n) 2 1 1 ?t ? ? 2? e? ? 2. mn t e 1 1 1 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e 于是有 t e te n 1 n 1 f (n) ? f (m) ? ln ? (n 2 ? m 2 ) ? (a ? 2)(n ? m) ? ln ? ( n 2 ? m 2 ) ? ( n ? m)( n ? m) m 2 m 2 (a ? 2) 2 ? (m ? n) 2 ?
n 1 2 n 1 n2 ? m2 n 1 n m ? (n ? m 2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 1 1 (t ? 1) 2 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? ) (其中 t ? e ) ,则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ?0. 2 t t 2 t 2t 2 e 1 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? . 2 2e e 1 故 f (n) ? f (m) 的最大值是 1 ? ? . ????14 分 2 2e ? ln
第 31 页 共 49 页

20.(北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(二)理)(本小题共 13 分)

1 . ? x ( a ? 1) x (Ⅰ)试讨论 f ( x) 在区间 (0, 1) 上的单调性;
已知函数 f ( x) ? ( a ? ) ln x ? (Ⅱ)当 a ? ?3, ? ? ? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P ( x1 , f ( x1 )) , Q ( x2 , f ( x2 )) , 使得曲线

1 a

y ? f ( x) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ?

6 . 5

【命题分析】第一问用求导数的方法求函数的单调区间,注意 f , ( x) ? 0 的两个根的大小。 第二问曲线

y ? f ( x) 在点 P ,Q 处的切线互相平行,所以两个斜率相等,转化出 x ? x ? 1 2

4 a? 1 a

恒成立问题,只需求出

4 1 a? a

的最值即可。

(Ⅱ)证明:由题意可得,当 a ? ?3, ?? ? 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ( x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ).

a?


1 1 a? a ? 1 ?1 ? a ? 1 ?1 , 2 x1 x1 x2 x2 2




a?

1 1 1 x1 ? x2 ? ? ? a x1 x2 x1 x2



第 32 页 共 49 页

a ? ?3, ?? ? .

?????8 分 因为 x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,所以 x1 x2 ? ( 所以

x1 ? x2 2 ) 恒成立, 2

1 4 ,又 x1 ? x2 ? 0 , ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) 2




a?

1 x1 ? x2 ? a x1 x2

?

4 x1 ? x2









x1 ? x2 ?

4 1 a? a

.

?????11 分

,因为 a ? ?3, ?? ? ,所以 g ( a ) 在 ?3, ?? ? 上单调递减, 1 a? a 6 4 所以 g ( a ) ? 在 ?3, ? ? ? 上的最大值为 g (3) ? , 1 5 a? a 6 所以 x1 ? x2 ? . ?????13 分 5 令 g (a) ? 21.(2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分 12 分) 已知函数 (I )当 b=2 时,若 (II)当 a>0 时,设 (A ,B R,e 为自然对数的底数) , .

4

存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 的图象 C1 与 的图象 C2 相交于两个不同的点 P、Q,过线 ,求证 .

段 PQ 的中点作 x 轴的垂线交 C1 于点

法二:等价于 a ?

1 1 2 1 ? ( ) ? x 在 R 上有解,即 2 ex e
第 33 页 共 49 页

三.提升自我
22. (2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 已知点 P 在曲线 y=ex(e 自然对数的底数)上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则丨 PQ 丨的最小值是 A. 【答案】A B. 2E C. D. E

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【解析】 :∵曲线 y=ex(e 自然对数的底数)与曲线 y=lnx 互为反函数,其图象关于 y=x 对 称,故可先求点 P 到直线 y=x 的最近距离 d,设曲线 y=ex 上斜率为 1 的切线为 y=x+b,

1 2 ? x x 2 ∴丨 PQ 丨 ∵y′=e ,由 e =1,得 x=0,故切点坐标为(0,1) ,即 b=1,∴d= 1 ? 1
的最小值为 2d=

2 ,故选 A

23.(湖北省八校 2012 届高三第一次联考理)定义在 R 上的函数

5 f ( x)满足f ( x) ? f (5 ? x), 且( ? x) f ?( x) ? 0,已知x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则 2
( ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

24. (海南省 2012 洋浦中学高三第三次月考)已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? (? (x)=x+sinx,设 a=f (1),b=f (2),c=f (3),则( )

? ? , ) 时,f 2 2

A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<b<a

D.c<a<b

【答案】D 【解析】解:∵函数 y=f(x)满足 f(x)=f(π -x) , ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=π 2 对称, 因为当 x∈(0,π / 2 )时,f(x)=x+sinx, 所以 f′(x)=1+cosx>0 在(0,π / 2 )上恒成立, 所以函数在(0,π /2 )上是增函数, 所以函数 y=f(x)在( π /2 ,π )上是减函数. 因为 2 距离对称轴最近,其次是 1,最远的时 3, 所以根据函数的有关性质可得:f(3)<f(1)<f(2) ,即 c<a<b, 故选 D.. 25. (湖北文科数学冲刺试卷(二))

第 35 页 共 49 页

26.(2012 北 京 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 理) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? a ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 ?1 ? a ? 2(ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x) 只有一个零点 x0 ,且 a ? 1 ? x0 ? a ? 2 ; (Ⅲ)当 a ? ?

1 2 x ? x(a ? 0) . 2

4 时,记函数 f ( x) 的零点为 x0 ,若对任意 x1 , x2 ? [0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 都有 5

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 成立,求实数 m 的最大值.
(本题可参考数据: ln 2 ? 0.7, ln

9 9 ? 0.8, ln ? 0.59 ) 4 5

(Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 ( a , ??) .

f '( x) ?

a ? x 2 ? (a ? 1) x . ?????????????1 分 ? x ?1 ? x?a x?a

令 f '( x ) ? 0 , x ? 0 或 x ? a +1 . 当 ?1 ? a ? 0 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

( a,0)
?

0
0 极小值

(0, a ? 1)
?

a ?1
0 极大值

( a ? 1, ??)
?

f ( x) f '( x )

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, a + 1) , 单调递减区间是 (a, 0) 和 (a + 1, +

).

??????????????3 分 当 a = - 1 时, f '( x) ?

? x2 ? 0 . 所以,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (- 1, + x ?1
第 36 页 共 49 页

).

??????????????4 分 当 a ? ?1 时, a +1 ? 0 ,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

(a, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ? 1,0)
?

0 0 极大值

(0, ??)
?

f ( x)

f '( x )

所以, 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a + 1, 0) , 单调递减区间是 (a, a + 1) 和 (0, +

).

??????????????5 分

(Ⅲ)解:因为 ?1 ? ? 所以

4 ? 2(ln 2 ? 1) , 5

对 任 意 x1 , x2 ? [0, x0 ] 且 x2 ? x1 ? 1, 由 ( Ⅱ ) 可 知 : x1 ? [0, a ? 1) , ??????????????10 分

x2 ? (a ? 1, x0 ] ,且 x2 ? 1 .

因为 函数 f ( x ) 在 [0, a + 1) 上是增函数,在 (a + 1, + 所以 f ( x1 ) ? f (0) , f ( x2 ) ? f (1) . 所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0) 当a ? ?

) 上是减函数,

??????????????11 分

f (1) .

4 a 1 4 9 1 时, f (0) ? f (1) ? a ln( ) ? = ln ? >0. 5 a ?1 2 5 4 2

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? f (0)

f (1) > 0 .

??????????????13 分

第 37 页 共 49 页

4 9 1 ln ? . 5 4 2 4 9 1 所以 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m 恒成立的 m 的最大值为 ln ? . 5 4 2
所以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最小值为 f (0) ? f (1) ?

??????????????14 分

27.(2012 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)理)
(本小题满分 13 分) 已知函数: f ( x) ? x ? (a ? 1) ln x ?

(1) 当 x ? ?1, e? 时,求 f ( x) 的最小值;

a 1 (a ? R) , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x x 2

(2)当 a ? 1 时,若存在 x1 ? e, e 2 ,使得对任意的 x 2 ? ?? 2,0?, f ? x1 ? ? g ? x 2 ? 恒成立, 求 a 的取值范围.

? ?

(2) 若存在 x1 ? e, e ,使得对任意的 x 2 ? ?? 2,0?, f ? x1 ? ? g ? x 2 ? 恒成立,
2

? ?

即 f ( x1 ) min ? g ( x 2 ) min

当 a ? 1 时,由(1)可知, x1 ? e, e , f ? x ? 为增函数,
2

? ?

? f ? x1 ?min

a , e g ' ( x) ? x ? e x ? xe x ? e x ? x?1 ? e x ? , 当 x 2 ? ?? 2,0? 时 g ' ( x) ? 0, g ? x ? 为 减 函 数 , g ( x 2 ) min ? g ?0? ? 1, ? f ?e ? ? e ? ?a ? 1? ?
e 2 ? 2e a? e ?1

? e ? (a ? 1) ? a ? 1, e ? a ? (e
2

? 2e ,1) e ?1 ……………………13 分

28.(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理 ) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数;
第 38 页 共 49 页

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x ? y ? e ? 1 ,证明: e x ? y ?
2

ln( x ? 1) (沈阳) ln( y ? 1)
y 1 ? ln y 的大小. (大连) 与 x 1 ? ln x

(Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较

(Ⅲ)证明: e

x? y

ln( x ? 1) ex ey ? ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ln( y ? 1) ln( x ? 1) ln( y ? 1)

令 g ( x) ?

ex ,则只要证明 g ( x) 在 (e ? 1,??) 上单调递增, ln( x ? 1)

1 ? ? e x ?ln( x ? 1) ? x ? 1? ? ?, 又∵g ?( x) ? 2 ln ( x ? 1)
显然函数 h( x) ? ln( x ? 1) ? ∴h( x) ? 1 ?

1 在 (e ? 1,??) 上单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x ?1

1 ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , e

∴g ( x) 在 (e ? 1,??) 上单调递增,即

ex ey ? , ln( x ? 1) ln( y ? 1)

第 39 页 共 49 页

∴ 当 x ? y ? e ? 1 时,有 e x ? y ?

ln( x ? 1) . 12 分 ln( y ? 1)

29.(2012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理) (本小题满分 12 分) 已知函数 ,其中常数 a>0.

(I )当 a>2 时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(II)当 a = 4 时,给出两类直线:
类直线中是否存在



,其中 m,n 为常数.判断这两

的切线?若存在,求出相应的 m 或 n 的值;若不存在,说明理由; 在点 处的切线方程为 ,当

(III)设定义在 D 上的函数 时,若 问

在 D 内恒成立,则称 P 为函数

的“类对称点”.当 a=4 时,试

是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不

存在,说明理由.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 在其图象上一点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程 为 y ? m( x) ? (2 x0 ?

4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 , x0 4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? ( x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ) , x0

设 ? ( x) ? f ( x) ? m( x) ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? (2 x0 ?

第 40 页 共 49 页

则 ? ( x0 ) ? 0. ??????????????????(8 分)

? ?( x) ? 2 x ? ? 6 ? (2 x0 ?
若 x0 ?

4 x

4 2 2 2 ? 6) ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ? ( x ? x0 )( x ? ) , x0 xx0 x x0

2 , ? ( x) 在 ( x0 ,
? 0;

2 2 ) 上单调递减,所以当 x ? ( x0, ) 时, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,此 x0 x0



? ( x)
x ? x0

若 x0 ?

2 , ? ( x) 在 (

2 2 , x0 ) 上单调递减,所以当 x ? ( , x0 ) 时, ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,此 x0 x0



? ( x)
x ? x0

? 0.

30.(中原六校联谊 2012 年高三第一次联考理)(本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ?

x ?1 . ex

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)设函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e ? x (t ? R ) ,是否存在实数 a、b、c∈[0,1],使得

g (a ) ? g (b) ? g (c) ? 若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】 (1) f '( x) ?

?x ,当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, ??) 上为减函数. ex

当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, 0) 上为增函数.

? f ( x) 的单调增区间为 (??, 0) , f ( x) 的单调减区间为 (0, ??)
第 41 页 共 49 页

??3 分

(2)假设存在 a、b、c ? [0,1] ,使得 g (a ) ? g (b) ? g (c) , 则 2( g ( x)) min ? ( g ( x)) max . ??5 分

Q g ( x) ?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ,? g '( x) ? x e ex

??6 分

31.(仙桃市 2012 年五月高考仿真模拟试题理)(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ; (I)求证:对 ?a ? 0, f ( x) ? ax ;
2

(II)证明: ln(n ? 1) ?

2 3 4 n ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , (n ? N *) ; 2 1 2 3 n 1 (III)求证:对 ?t ? R, e 2 x ? 2t (e x ? x) ? x 2 ? 2t 2 ? ? 0 2

解(I)只需证明 f ( x) 的最大值为 O,即可

f ' ( x) ?

1 ? 1, 1? x

令f ' ( x) ? 0, 得x ? 0

当 ? 1 ? x ? 0时,f ' ( x) ? 0, 当x ? 0时f ' ( x) ? 0

? x ? 0 是 f ( x) 唯一的极大值点,故 f ( x) max ? f (0) ? 0

? a ? 0,

? ax 2 ? 0

从而

f ( x) ? ax 2 ,

( x ? ?1) (4 分)

第 42 页 共 49 页

(II)由(I)当 x ? ?1 时, f ( x) ? x ,即 ln(1 ? x) ? x ? x ? x(1 ? x)
2 2

1 n ?1 ) ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n 2 3 ?? ? ln 2 ? ln 1 ? ln 3 ? ln 2 ? 2 12 2 n ?1 ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n 2 3 n ?1 上面 n 个不等式相加,得 ln(n ? 1) ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (9 分) 1 2 n
令x ?

1 n

得 ln(1 ?

(III)由(I)得 x ? ?1 时

ln(1 ? x) ? x, 即 e x ? x ? 1

?

1 (e x ? x) 2 [(e x ? t ) ? (t ? x)]2 (e x ? t ) ? (t ? x) 2 (e x ? t ) 2 ? (t ? x) 2 ? ? ? 2[ ] ? 2? 2 2 2 2 2
=e
2x

? 2te x ? t 2 ? x 2 ? 2tx ? t 2 ? e 2 x ? 2t (e x ? x) ? x 2 ? 2t 2
1 ?0 2
(14 分)

? e 2 x ? 2t (e x ? x) ? x 2 ? 2t 2 ?

【原创预测】
1.已知 f ( x) ? x ? 3bx ? 3cx 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? [?1,0], x 2 ? [1, 2] ,则 f (1) 的
3 2

取值范围是 ( A、 (?10, ?

) B、 [?

13 ] 2

13 1 ,? ] 2 2

1 C、 [?10, ? ] 2

D、 [?

1 , 10] 2

第 43 页 共 49 页

? ?3b ? t ? 1 ? 0 ? ?b ? t ? 0 ? ? ?b ? t ? 1 ? 0 ?3b ? t ? 4 ? 0 ? ? 1 t ? [ f (1) ? 1] ? ? 3

再取 f (1) ? ?8 同理可得控制不等式组也有解,故可排除 C。 因此选“B” 2(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)1nx ( x ? 且0, x ? 1) 。 x ?1

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)证明: f ( x) ? 2. 解: 1 -2ln x+x- x (Ⅰ )f ?(x)= . 2 (x-1) 1 设 g (x)=-2ln x+x- , x (x-1)2 则 g (1)=0,且 g ?(x)= ≥0,g (x)在(0,+∞)单调递增. x2 当 x∈ (0,1)时,g (x)<0,从而 f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x∈ (1,+∞)时,g (x)>0,从而 f ?(x)>0,f (x)单调递增.
第 44 页 共 49 页

…2 分

圆锥曲线高考真题及练习题
1.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6
2 2

)
2

x y B. - =1 4 5

2

2

x y2 C. - =1 6 3

x2 y2 D. - =1 5 4

2.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为_______ x2 y2 3.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相 a b 交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率;(2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 4.椭圆 16 8

) A.

1 3

B.

1 3 C. 2 3

D.

2 2

5.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点,| AB |? 12 , P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为(
2

)A.18 B.24 C.36

D.48

6.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. x2 y2 3a 7.设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F1PF2 是底 a b 2 角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 3 4 ) (A) (B) (C) (D) 2 3 4 5

8.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ) (A) 2(B)2 2(C)4 (D)8 2 9.设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为 半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值。

第 45 页 共 49 页

10.设椭圆 C:

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥ a 2 b2
).

F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( 1 1 3 3 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3
2

11.设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ). A.y=x-1 或 y=-x+1

3 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1) C.y= 3 或 y= 3

3 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1) B.y= 3 或 y= 3 2 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) D.y= 2 或 y= 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为

2 ,求圆 P 的方程. 2 2 13. 设 F 为抛物线 C : y =3 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A , B 两点,则

2 3 .(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

AB ? (



(A)

30 3
2 2

(B) 6

(C) 12

(D) 7 3

14.设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x +y ? 1 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范 围是( ) (A)? ?1, ?1? (B ) ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

(C) ? ? 2, 2 ? (D) ? ?

? ?

?

?

2 2? , ?. 2 2 ?

【2012 高考新课标文 4】设 F1F2 是椭圆 E : 线x?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a 2 b2


3a 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2 ? ? ( A) ( B) (C ) (D) 2 3 ? ?
2

C 与抛物线 y ? 16x 【2012 高考新课标文 10】 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,
的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【 2012 高考山东文 11 】已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2. 若抛物线 a 2 b2

C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为
(A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

第 46 页 共 49 页

.1.椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

2..【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则 cos ?F 1 PF2 ? (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

3.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双 曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

4.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A、 2 2 B、 2 3
2

) D、 2 5 ) D、既不

C、 4
2

9.对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( A、充分不必要条件 充分也不必要条件 10.【2012 高考江西文 8】椭圆 B、必要不充分条件 C、充分必要条件

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右 a 2 b2

焦点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

12.已知双曲线

x2 y2 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5
第 47 页 共 49 页

A

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3

13.【2012 高考四川文 15】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 a2 5

x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x
2

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线

2

上一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 ▲ m m ?4

17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?

x2 y 2 b x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的 3a a b

交点, F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ? 18. 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若 | AF |? 3 , 则
2

| BF | =______。
19.已知双曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 C : ? ? 1 有相同的渐近 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 与双曲线 2 4 16 a2 b2
b?
, )在椭圆上。 (I)求椭圆的离心率。 (II)设 A

且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ? 20. 已知椭圆 (a>b>0),点 P(

为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。

22. F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, a2 b2

(Ⅱ) B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°.(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; 已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 28.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值.

第 48 页 共 49 页

x2 y 2 15.设 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x a b
轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N . (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2).若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且

MN ? 5 F1 N

,求 a, b

第 49 页 共 49 页


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2015年高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析_数学_高中...单调性法、导数法、和三角换元 等,这是代数法。 ...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷...
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