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www.cx6899.com:2020年高考数学(文)一轮复习专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)(原卷版)

专题 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,csoins xx=tan x. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知识点一 同角三角函数的基本关系

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).
(2)商数关系:tan α=csoins αα??α≠kπ+π2,k∈Z??.
2.同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧

解读

适合题型

切弦互化 “1”的变换 和积转换

主要利用公式 tan θ=csoins θθ化成正弦、 表达式中含有 sin θ,cos θ 与 tan θ
余弦,或者利用公式csoins θθ=tan θ 化成正切

1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)= (sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ=tanπ4

表达式中需要利用“1”转化

利用关系式(sin θ±cos θ)2=1±2sin

表达式中含有 sin θ±cos θ 或 sin

θcos θ 进行变形、转化

θcos θ

知识点二 三角函数的诱导公式

组数















2kπ+α(k∈Z) π+α

正弦

sin α

-sin_α

-α

π-α

-sin_α sin_α

π2-α cos_α

π2+α cos_α

余弦

cos α

-cos_α

cos_α

-cos_α

sin_α

-sin_α

正切

tan α

tan_α

-tan_α -tan_α

考点一 三角函数的诱导公式

【典例 1】(广东省实验中学 2018-2019 学年高一下学期期末)角? 的终边在直线 y ? 2x 上,则

sin sin

?? ??

?? ??

? ?

? ?

cos ?? cos ??

?? ??

? ?

?





A. 1 3
【方法技巧】

B.1

C. 3

D. ?1

1.诱导公式的两个应用

(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.

(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.

2.含 2π 整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再

进行运算,如 cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.

3.三角形中的三角函数关系式

sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;

cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;

tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;

sin??A2 +B2 ??=sin??π2-C2 ??=cosC2 ;

cos??A2 +B2??=cos??π2-C2 ??=sinC2 .

【变式

1】 (甘肃省武威第一中学

2018-2019

学年质量检测)已知

sin ?? ?? ? 2sin? ?3cos ???

?

?

2 5

,则ant

?(



A. ?6

B.6

C. ? 2 3

考点二 同角三角函数的基本关系及应用

D. 2 3

【典例 2】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 α∈??0,π2??,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=( )

1

5

3

25

A.5

B. 5

C. 3

D. 5

【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用 sin2α+cos2α=1 可实现 α 的正弦、余弦的互化,利用csoinsαα=tanα 可以实现角 α 的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求

平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 这三个式子,利用(sinα±cosα)2
=1±2sinαcosα,可以知一求二. (4)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
【变式 2】(广东省深圳市高级中学 2018-2019 学年高一下学期期中)? 是第三象限角,且 sin ? ? - 3 , 2
则 tan? ? ( )

A. - 3

B. 3

C. - 3 3

考点三 同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用

D. 3 3

【典例

3】(广东省海珠区

2018-2019

学年期末)已知

sin

x

?

cos

x

?

3

2 5

,则

cos

? ??

2x

?

? 2

? ??

=





A. 7 25

B. ? 7 25

C. 4 5

D. ? 4 5

【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时,常用方法有

(1)弦切互化法:主要利用公式 tanx=csoinsxx进行切化弦或弦化切,如acssiinnxx++dbccoossxx,asin2x+bsinxcosx+

ccos2x 等类型可进行弦化切.

(2)和积转换法:对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα 可

以知一求二.

(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ·??1+tan12θ??=tan4π=….

【变式 3】(江西省吉安市 2019 届高三教学质量检测)已知 tan ??2019π ? θ? ? ?2 ,则

2

2sin

? ??

θ

?

π 6

? ??

sin

? ??

θ

?

π 4

? ??

?





A. ?2

B. 2 3 ?1 5

C. 2 3 ? 3 5

D. 3 5


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