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数学必修1复习纲要


数学必修一复习纲要 第 1 页 共 5 页

数学必修一复习纲要
一.集合
1.集合中元素的“三性” 确定性(能否构成集合)、无序性(书写)、☆互异性(检验参数) 2.集合的表示方法 列举法、☆描述法、图示法、区间法 3.集合的分类 有限集、无限集、空集 注意空集 ? 的特殊性与双重性:

对任意集合 A 及空集 ? ,有 ? ? A , ? ? A ? ? , ? ? A ? A , ? ? ??? , ? ? ??? . 4.元素与集合、集合与集合的关系 两类七个符号的应用 特殊地, ? ? ??? , ? ? ??? . 5.子集 若 x ? A ,则 x ? B ,称 A ? B (1)子集个数的求法:含有 n 个元素的集合的子集个数是 2 n 个. (2)子集问题注意不要遗漏空集 ? . 6.集合的运算 (1)交集——且—— ? (2)并集——或 (3)补集 7.常用题型与解题方法 (1)集合的描述法 例:○方程组 ? 1

A ? B ? { x ? 且 x ? B} x A
A ? B ? {x x ? A 或 x ? B}

?S A ? {x x ? S 且 x ? A}

?x ? 3 ? 2 y 的解集是 ?5 x ? y ? 4
? n?2 ? ? Z , n ? 20 ? ? 5 ? ?

2 ○用列举法表示集合 ?n 3 ○ A ? ?y

y ? x 2 , x ? R , B ? ?? x, y ? y ? x ? 2, x ? R? ,则 A ? B ?

4 ○ A ? ?y

?

y ? x2 ? 2x ? 3, x ? R , B ? x y ? x ? 2 ,则集合 A 与 B 的关系是

5 ○已知集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? , a 为实数, (i)若 A 为空集,求 a 的取值的集合; (ii)若 A 为单元素集,求 a 的取值的集合; (iii)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值的集合。 (2)元素分析法解题 例:○已知集合 {2, x - 1, 2 x - 5 x + 5} ,求实数 x 应满足的条件. 1
2

?

?

?

2 其中 且 求 ○已知集合 M ? ?a, a ? d , a ? 2d ? , N ? ?a, aq, aq 2 ? , a ? 0 , M ? N , q 和 d 的值(用 a 表示)。 3 ○已知集合 A ? ? x 2 , 2 x ? 1, ?4? , B ? ? x ? 5,1 ? x,9? ,若 A ? B ? ?9? ,求 A ? B 。 4 若 则实数 x 是否存在?若存在, 求出 x ○已知全集 U ? ?1,3, x3 ? 3x 2 ? 2 x? , A ? ?1, 2 x ? 1 ? , ?U A ? ?0? , 的值;若不存在,请说明理由。 5 ○已知集合 P ? ? x x 2 ? x ? 6 ? 0? , S ? ? x ax ? 1 ? 0? ,若 S ? P ,求实数 a 的取值组成的集合 A 。

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注意验证元素的互异性和已知条件,一定要写清舍解的理由。 (3)利用数轴解题 例:○已知集合 A = 1

{x x 2 2

5x + 4

0} , B = {x x < a} ,


在下列条件下,求实数 a 的取值范围: (1) A I B = A ;(2) A I B =

2 ○已知集合 A ? ? x x ? 5 x ? 6 ? 0? ,集合 B ? ? x x ? 1 ? a? ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围. 3 ○已知集合 A = {x a #x a + 3}, B = {x x < - 1或x > 5}, 在下列条件下,求实数 a 的取值范围. (1) A I B = 4 ○已知集合 A = {x x
2

- 3x - 10

0} , B ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? ,且 A ? B ? B ,求实数 m 的取值集

;(2) A I B 蛊 ;(3) A U B = B .

合。 子集问题注意不要遗漏空集 ? . (4)利用 Venn 图解题

例:已知全集 U ? x 0 ? x ? 10, x ? N , A ? B ? ?3? A ? ? B ? ?1,5, 7? , 痧A ? U U

?

?

?

? ?

U

B ? ? ?9? ,求 A 、

B. 例:某年级先后举行数学和物理竞赛,全班共 50 人,其中 20 人参加数学竞赛,25 人参加物理竞赛,且有 6 人两项比赛都参加,则有 人两项比赛都没有参加。 (5)集合的性质(子、交、并、补)运算,求参数
例:○已知集合 A ? {x x ? 1 或 x ? 3} , B ? x 0 ? x ? 2 , A ? B ? 1

?

?

, 。

A? B ?

, A ? ?R B ?

, B ? ?R A ?

2 ○已知集合 A = {x x 2 -

ax + a 2 - 19 = 0} , B = {x x 2 - 5 x - 6 = 0},且 A ? B ? A ,求实数 a 的值.

8.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 步骤:先看二次项系数 a ,若 a ? 0 ,则两边同乘以 ?1 ,不等号方向改变,然后求对应方程的根,根据“大 于 0 两根之外,小于 0 两根之间(当 a ? 0 时的符号)”写出解集。 (2)绝对值不等式的解法

f ? x ? ? a, ? a ? 0 ? ? f ? x ? ? ? a 或 f ? x ? ? a f ? x ? ? a, ? a ? 0 ? ? ? a ? f ? x ? ? a

(3)分式不等式的解法 步骤:移项通分(使不等式一边为 0 )—建立不等式组(大于 0 分子分母同号,小于 0 分子分母异号)—得到解 集(注意分母不为 0 ) 第 2 步也可转化为分子分母的积大于 0 (小于 0 )的形式(特别注意分母不为 0 ) (4)恒大于 0 (小于 0 )的问题

?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 恒成立 ? a ? 0 且 b ? 0 且 c ? 0 ,或 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 恒成立 ? a ? 0 且 b ? 0 且 c ? 0 ,或 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 恒成立 ? a ? 0 且 b ? 0 且 c ? 0 ,或 ? ?? ? 0
例:已知函数 f ? x ? ?

?a

2

? 1? x2 ? 2 ? a ? 1? x ? 1 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围

二.函数概念与基本初等函数 I
1.映射与函数的定义 (1) 对应、映射、函数这三个概念既有共性又有区别,在明白它们概念的基础上,体会函数是一种特殊的 映射,而映射又是一种特殊的对应 (2) f : A ? B , A 中元素:任意性; B 中元素:存在性,唯一性

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即:① A ? B 只能一对一或多对一;② A 中元素不能有剩余, B 中元素可以有剩余 (3) 函数的三要素是定义域、对应法则、值域 函数定义域的求法(整式、分式、偶次根式、对数式、多个表达式构成、实际问题) 例:求函数的定义域:○ f ? x ? ? 1 3 ○ f ? x? ?

x ?1 0 2 ;○ f ? x ? ? ? x ? 3 x ? 4 ? ? x ? 1? ; 2 x?2

4 ? x2 ?1 。

? ? 中“括号”的范围 2 例:已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, 3 ? ,则 f ? x ? 2x ? 的定义域为 ;若 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ; 已 知 f ? x ? 的 定 义 域 为 ? 0, 3 ? , 则 函 数 ? 0, 3? , 则 f ? x2 ? 2 x 的 定 义 域 为 ? y ? f ? x ? 2 ??f ? x ? 2 ? 的定义域为 。
抽象函数的定义域:①定义域必为 x 的取值范围;②关键:求 f 函数值域(最值)的求法(直接法、配方法、换元法、转换方程(不等式)法、部分分式法(分离常数法),图 象法,单调性法),特别注意二次函数问题(充分利用图像) 恒成立问题: f ? x ? ? a 恒成立 ? f ? x ?min ? a , f ? x ? ? a 恒成立 ? f ? x ?max ? a 例:求下列函数的值域:○ y ? x ? 4 x ? 6, x ? ? 0,5 ? ;○ y ? 1 2
2

? x 2 ? 6 x ? 5 ;○ y ? 3

3x ? 1 ; x?2

x2 ?1 5 4 5 6 7 ○ y ? x 2 ? 2 x ? 2 ;○ y ? x 2 ? 1 ;○ y ? x ? 4 1 ? x ;○ y ? x ? 1 ? x ? 4 。
(4)同一函数:三要素完全相同
0 例:下列各组函数中:○ f ? x ? ? 1, g ? x ? ? x ;○ f ? x ? ? x, g ? x ? ? 1 2

x 2 ;○ f ? x ? ? x , 3

g ? x ? ? 3 x 3 ;○ f ? x ? ? 4

f ? t ? ? 2t ? 1 ,其中表示同一函数的是

? x, x ? 0 x x2 , g ? x? ? ;○ f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? 5 ;○ f ? x ? ? 2 x ? 1 , 6 2 2x ? ? x, x ? 0


(5)函数的表示方法 列表法、解析法、图象法 函数解析式的求法(应用题、配凑法、待定系数法、换元法、方程组法) 注:求函数解析式时,要求写出函数的定义域 例:○已知一次函数 f ? x ? 满足 f 1

? f ? x ? ? ? 4 x ? 3 ,求 f ? x ? 。

2 ○已知二次函数 f (x) 满足 f (0) ? 1 ,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,求 f (x) 。 3 ○已知 f ? 2 x ? 1? ? x 2 ? 4 x ,求 f ? x ? 。 4 ○已知 f ? x ? 满足 2 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x ,求 f ? x ? 。 5 ○如图,直线 l ? x 轴,从原点开始向右平移直线 l ,在 x ? 10 处停止,它扫过 ?AOB 所得图形的面积为 y A(4,4) S ,它与 x 轴的交点为 ? x, 0 ? , (i)求函数 S ? f ? x ? 的解析式; (ii)求函数 S ? f ? x ? 的值域; (iii)当直线 l 在何处时, S ? 10 。 综合
2

O

(x,0) l

B(8,0) x

? 25 ? , ?4 ? ,求实数 m 的取值范围。 ? 4 ? x ?1? ?1? ? 1 ? 例:已知函数 f ? x ? ? ,求 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? f ?100 ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? 的值。 1? x ?2? ? 3? ? 100 ?
例:若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 ? 0, m ? ,值域为 ? ?

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x ? ?1 ? x ? 2, ? 2 ?1 ? x ? 2 ,且 f ? a ? ? 3 ,求实数 a 的值。 例:已知 f ? x ? ? ? x , ? 2 x, x?2 ?
2.函数的单调性与奇偶性 (1)定义:单调性相对定义域内的某个区间而言,奇偶性相对整个定义域而言 本质:单调性是指自变量的大小与对应函数值的大小关系相同或相反的问题; 奇偶性是指自变量任取一组相反数时对应函数值相等或相反的问题。 (2)图象特征 单调性:增—图象上升,减—图象下降 奇偶性:奇—关于原点对称,偶—关于 y 轴对称 (3)常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数) 参考:笔记本 (4)判断函数单调性的方法 ①定义法:设元—作差—判断—定论 ②图象法 ③直接法 ④复合函数单调性 例:用定义证明函数 y ? x 在 R 上递增。
3

1 在 (??, ?1), ?1, ?? ? 上递增,在 ? ?1, 0 ? , ? 0,1? 上递减。 x 用定义证明函数 y ? x ? 1 在定义域上递增。
用定义证明函数 y ? x ? 画函数 y ? x ? 2 x ? 1 的图象,并写出它的单调区间.
2

1? x 的单调区间并证明. 1? x 1? x 判断函数 y ? log 2 的单调区间并证明. 1? x
判断函数 y ? (5)判断函数奇偶性 注意:先判断函数的定义域是否关于原点对称 例:已知 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ? x ? ? ?2 x ? 4 x ? 1 ,求 f ? x ? 的解析式
2

(6)单调性与奇偶性的综合应用 奇函数在关于原点对称的区间内单调性相同;偶函数在关于原点的对称区间内单调性相反 单调性如何?最大最小值分别是多少?若 f ? x ? 是偶函数,结果又如何? 例:已知 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 2 ,且 f ? 2 ? ? 10 ,求 f ? ?2 ?
5 3

例: 如果奇函数 f ? x ? 在区间 ? 3, 7 ? 上是增函数, 且最小值为 5 , 最大值为 9 , 那么 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上

★3.指数函数、对数函数、幂函数 (1)指、对数运算公式(见附表) (2)定义: y ? a
x

例:函数 y ? 2a ? 3a ? 2 a 是指数函数,求 a 的取值范围
2 x

?

? a ? 0, a ? 1? , y ? log a x ? a ? 0, a ? 1? , y ? x? ?? ? R ?

?

例:已知幂函数 y ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m2 ? 2 m ?3

,在 x ? ? 0, ?? ? 上递减,则幂函数 y ? _________

(3)图象与性质 指、对数函数对底数 a 讨论( a ? 1, 0 ? a ? 1 ),幂函数对指数 ? 讨论( ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ) 例:已知 y ? a 在 [?1,1] 上的最大值与最小值的差是 1,则 a 的值为 (4)比较大小(同底构造函数,不同底找中间值“0” ,图象判断) “1” “四同” :同底不同指数构造指数函数,同指数不同底数构造幂函数,同底不同真数构造对数函数,同真 数不同底数转换为同底倒数。
x

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(5)解方程、不等式 关键:化为同底指数,或同底对数,利用单调性 (6)综合

2 x ?1 log 例:已知不等式 log 2 ? 2 x ?? 2 x ? 0 ,(1)求不等式的解集 A ;(2)求函数 y ? 4 ? 4x , x ? A 的值域。

2 ,(1)求证:不论 a 为何值, f ? x ? 总是增函数;(2)确定 a 的值,使 f ? x ? 为 2 ?1 奇函数;(3)当 f ? x ? 为奇函数时,求 f ? x ? 的值域
例:设函数 f ? x ? ? a ?
x

例:已知 f ? x ? ? lg

1? x ,(1)求 f ? x ? 的定义域;(2)讨论 f ? x ? 的奇偶性;(3)判断 f ? x ? 的单调性并证明 1? x

4.二次函数与二次方程 (1)零点的定义(对应方程的根,图象与 x 轴交点的横坐标) (2)零点存在定理应用,根的分布问题 (3)利用图象解方程、确定方程解的个数问题

方法:在同一直角坐标系中分别作出函数 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 的图象,则 方程 f ? x ? ? g ? x ? 的解的个数就是两者图象交点的个数,方程的解就是交点的横坐标。 (4)二分法求方程的近似解 在区间 ? m, n ? 有解。 5.函数应用 抽象函数的问题: 例:已知 f ? x ? 是定义在 ? 0, ?? ? 的减函数,且对一切 a, b ? ? 0, ?? ? ,都有 f ? 原理:函数 y ? f ? x ? ,若 f ? m ? f ? n ? ? 0, m ? n ,则存在 x0 ? ? m, n ? ,使 f ? x0 ? ? 0 ,即方程 f ? x ? ? 0

f ?1? 的值;(2)若 f ? 4 ? ? 1 ,解不等式 f ? x ? 6 ? ? 2
附表: 指数运算性质: (1) a ? ? a a
r s r ?s

?a? ? ? f ? a ? ? f ? b ? ,(1)求 ?b?

ar ar r ?a? r r r s s r rs r ?s b , s ? a ;(2) ? a ? ? ? a ? ? a ;(3) ? ab ? ? a ? , ? ? ? r 。 b a ?b?

r

重要公式: (1) a ? n am ;(2) 对数运算性质: (1) log a M ? log a N ? log a MN ;(2) log a M ? log a N ? log a 其他运算公式: (1) log a N ? b log a N ;(2) log ac N ?
b

m n

? a?
n

n

? a ;(3) n 为奇数时, n a n ? a , n 为偶数时, n a n ? a
M N

1 b log a N ;(3) log ac N b ? log a N c c

换底公式:

log a b ?

log c b log c a

换底公式扩展: log log (1) log a b? b a ? 1 ,即 log a b 与 log b a 互为倒数;(2) log a b? b c ? log a c 对数恒等式: (1) log a a ? 1 , log a 1 ? 0 ;(2) a
log a N

? N ;(3) log a a n ? n


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