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排列组合中的涂色问题


排列组合中涂色问题

一、区域涂色问题
1.根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不 同颜色,则不同的涂色方法有多少种?

分析:先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色有4种方法, 接着给③号涂色方法有3种,由于④号与①、②不相邻,因此 ④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有

5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 240

2、根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种 情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例2、(2003江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域, 且相邻两个区域不能同色
分析:依题意只能选用4种颜色,要分四类: 4 (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4
4 (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4

4 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4

4 A (4)③与⑤同色、②与④同色,则有 4

4 A (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 4

所以根据加法原理得涂色方法总数为

例3、(2003年全国高考题)如图所示,一个地区分为5个 行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意至少要用3种颜色

3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻 区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用加 法原理求出不同涂色方法总数。 例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内, 每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可 以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图, 6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色, 要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色, 现有4种不同的颜色可有多少种方法?

? 二、点的涂色问题 方法:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论, (2)根据相对顶点是否同色分类讨论, (3)将空间问题平面化,转化成区域涂色 问题。

四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6 个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的 涂色方案共有多少种? 分析:显然,至少需要3三种颜色,由于有多种不同情况, 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论


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