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直线方程汇总


直线方程

1.直线的倾斜角与斜率 2.直线方程的几种形式

3.两直线的位置关系 4.点到直线的距离 5.两直线的夹角 6.有关直线对称的问题 7.综合题 1.倾斜角与斜率

一.直线的倾斜角与斜率

2.三点共线问题 3.直线方向向量 4.斜率取值范围

1.下列命题中,正确的命题是 (A)直线的倾斜角为 α,则此直线的斜率为 tanα (B)直线的斜率为 tanα,则此直线的倾斜角为 α (C)任何一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率 (D)直线的斜率为 0,则此直线的倾斜角为 0 或 π 2.直线 x=3 的倾斜角是( A.0 B.
?
2

) C.? D.不存在 ) (D)90° B B

3.直线 x ? y ? 3 = 0 的倾斜角是( (A)30° (B)45°

(C)60°

4.(2004 春招北京文)直线

(a 为实常数)的倾斜角的大小是_________。 )

5. (2004 湖南文)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1
1 2

C. a ? b ? 0

D. a ? b ? 0

6.若点 A(2,-3) ,B(3,-2) ,C(
?

,m)三点共线,则 m=________. ,倾斜角为 .

7.若直线的方向向量是 a ? ( 3 ,1) ,则该直线的斜率为
3 3

8.若直线 k 的斜率满足- 3 <k<

,则该直线的倾斜角 α 的范围是

.

9. (2002 北京文)若直线 l : y ? kx ? 的取值范围( )

3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角

1

A. [

? ?
, 6 3

)

B. (

? ?
, 6 2

)

C. (

? ?
, 3 2

)

D. [

? ?
, 6 2

]

10.已知 A(-2, 3), B(3, 2),过点 P(0, -2)的直线 l 与线段 AB 没有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围 是 .

11. 直线 l :y=ax+2 和 A(1,4)、B(3,1)两点,当直线 l 与线段 AB 相交时,求实数 a 的取值范围是 __________________. 12.(2009 全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 , 则 m 的倾斜角可以是 ① 1 5 其中正确答案的序号是
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

.(写出所有正确答案的序号) 1.求各种形式的直线方程

2.直线方程的几种形式

2.

与坐标轴围成三角形的面积

3. 恒过定点问题 4. 综合应用 1.直线过原点且倾角的正弦值是
4 5

,则直线方程为

y ? ?

4 3

x

2.与直线 7 x ? 24 y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是_____ _______。 3.(2008 四川文、理) 直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 9 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为(
0

)

(A) y ? ?

1 3

x?

1 3

(B) y ? ?

1 3

x ?1

(C) y ? 3 x ? 3

(D) y ?

1 3

x ?1

4. (2001 江西、山西、天津文、理)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|.若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是( (A) x ? y ? 5 ? 0 (C) 2 y ? x ? 4 ? 0 )

(B) 2 x ? y ? 1 ? 0 (D) 2 x ? y ? 7 ? 0

5.已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1:x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的线段之长为 5,求直 线 l 的方程.

6. 以 知 正 方 形 的 中 心 为 直 线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 的 交 点 , 正 方 形 一 边 所 在 直 线 的 方 程 为
x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求正方形的其他三边的方程.
2

7.(2008 江苏) 如图,在平面直角坐标系 xo y 中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A ( 0 , a ), B ( b , 0 ), C ( c , 0 ) , 点 P (0, p ) 在线段 AO 上的一点(异于端点) ,这里 a , b , c , p 均为非零实数,设直线 BP , CP 分别与边
AC , AB 交于点 E , F ,某同学已正确求得直线 OE 的方程为
?1 1 ? ? ?b c ? 1 1 ? ?x ? ? ? ? a ? ? p ? ?y ? 0 ? ?

y A

,请你完成直线 OF 的方程:

F

P

E x

(

1 c

?

1 b

? 1 1? )x ? ? ? ?y ? 0 。 ? ? a? ? p

B

O

C

8.求经过点 A ( ? 2, 2 ) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程。

9.不论 m 为何值,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点

。 。 .( , )
k k 1 1

10.动直线 ? m ? 2 ? x ? ? m ? 1 ? y ? 3 m ? 0 ,无论 m 取何值,该直线都过定点 11.设 a ? b ? k ( k ? 0 , k 为常数 ) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 1.两直线平行

3.直线与直线的位置关系
2.两直线垂直 1. (2009 上海卷) 已知直线 l1 : ( k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与 l 2 : 2( k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行, K 值是 ) 则 ( A. 1或3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

2.(2005 全国卷 III 文、理)已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 ( )
3

(A)0

(B)-8

(C)2

(D)10

3.(2010 安徽文数)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A ) (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0
? 2 3

2x 4(2007 上海理)若直线 l1:   ?

my ? 1 ? 0

与直线 l 2: y

? 3x ? 1

平行,则 m ?



5、 (2006 上海文)已知两条直线 l1 : a x ? 3 y ? 3 ? 0, l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 // l 2 ,则 a ? ____. 6. 过点 M(1,2)且与原点距离最大的直线的方程为 A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 ) ( )

7.(2009 安徽卷) 直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂线,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0

8.(2006 福建文)已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? ( a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( (A)2 (B)1 (C)0 (D) ? 1



9. (2004 全国卷Ⅱ文)已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程为( (A)4x+2y=5 (B)4x-2y=5 (C)x+2y=5 (D)x-2y=5 (



10. (2004 全国卷Ⅳ理)过点(-1,3)且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0



4.点到直线的距离公式
1.(2008 全国Ⅱ卷文)原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3 C.2 D. 5 ) D )

2.(2005 浙江文、理)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( (A)
1 2

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)

3 2 2

3. (2004 全国卷Ⅱ理)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( ) (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 )

4. (2003 全国文)已知 点 ( a , 2)( a ? 0) 到 直 线 l : x - y ? 3 ? 0的 距 离 为 1, 则 a ? ( (A)
2

(B) 2 ? 2

(C) 2 ? 1
4

(D) 2 ? 1

5. (2002 春招北京文)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 (A)x–y=0 (B)x+y=0 (C)|x|–y=0 (D)|x|–|y|=0





6.(2006 福建理)对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 ,y 2 ),定义它们 之间的一种“距离” :‖AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.给出下列三个命题:深圳金桥家教网
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①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖ +‖CB‖ =‖AB‖ ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 2

5.两直线夹角公式
1.(2008 全国Ⅱ卷理)1 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等 腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( ) A.3 B.2 C. ?
1 3

D. ?

1 2

2. (2000 全国文,江西、天津文)已知两条直线 l1 : y ? x , l 2 : ax ? y ? 0 ,其中 a 为实数。当这两条直 线的夹角在 ? 0 ,
? ? ? 内变动时, a 的取值范围是( ) 12 ?

? ?

(A) ?0 , 1 ?

(B) ? ?

?

3

,

? 3

? 3? ? ?

(C) ? ?

?

? ,1? ? ? 3 ? 3

∪ ?1 ,

3

?

(D) ?1 ,

3

?

6、有关直线对称的问题
1.(2007浙江文、理)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( (A)x+2y-1=0 (C)2 x+y-3=0 (B)2 x+y-1=0 (D) x+2y-3=0 ( ) )

2. (2003 全国文)直线 y ? 2 x 关 于 x 轴对称的直线方程为 (A) y
? ? 1 2 x

(B) y
1 2

?

1 2

x

(C) y ? ? 2 x

(D) y ? 2 x

3. (2005 上海文)直线 y ?

x 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是__________

王新敞
奎屯

新疆

7.综合题
5

1. (2003 全国理,天津理,广东、江苏、辽宁)已知长方形的四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1) 和D (0, .一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后, 1) 依次反射到 CD、 DA 和 AB 上的点 P2, 3 和 P4 P (入射角等于反射角) 设 P4 的坐标为 4, , 1 ? x 4 ? 2 , tan ? . (x 0) 若 则 的取值范围是深圳金桥家教网 http://www.szgbjj.com( A. ( 2.函数 y=
1 3
sin ? cos ? ? 2



,1) B. ( , ) C. ( , )
3 3 5 2

1 2

2 1

D. ( , )
5 3

2 2

( ? ? ?0 , ? ? )的值域是

。 。

3.若曲线 y=a x 与直线 y=x+a(a>0)有两个公共点,则 a 的取值范围是

4.(2006 上海春招) 已知直线 l 过点 P ( 2 , 1 ) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,深圳金桥家
教网 http://www.szgbjj.com O 为坐标原点,则三角形 OAB

面积的最小值为

.

5. (2003 上海文)已知定点 A(0,1) ,点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标 是 .

6. 已知⊿ABC 的顶点 A(1,4) ,若点 B 在 y 轴上,点 C 在直线 y=x 上,求⊿ABC 的最小周长。

7.在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴(原点除外)上给定两点 A(0,a) ,B(0,b)(a>b>0) , ,试 在 x 轴的正半轴(原点除外)上求点 C,使∠ACB 取得最大值,并求出这个最大值.

6


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