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北京市丰台区2013届高三下学期统一练习(二)[数学理科]


丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科) 第一部分(选择题
2013.5

共 40 分)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 复数 i (3 ? 4i ) 的虚部为 (A)3? ? ? ? ? ? (B) 3i ? ? ? ? ? ? ? (C)4? ? ? ? ? ? (D)? 4i ? 2.? 设向量 a=(x,1),?b=(4,x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是 (A)2? ? ? ? (B)‐2? ? ? ? ? ? ? (C) ?2 ? ? ? ? (D)0? 3. ( x ?

1 4 ) 展开式中的常数项是? x

(A)6? ? ? ? (B)4? ? ? ? ? (C)‐4? ? ? ? (D)‐6? 4.? 已知数列{an},? 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的? (A)充要条件? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (B)必要而不充分条件? (C)充分而不必要条件? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (D)既不充分又不必要条件? 5.? 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是

x ? x ? (A)? y ? sin( ? ) ? ? ? ? ? ? (B)? y ? sin( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 3
) ? ? ? ? ? ? ? (D) y ? sin(2 x ? ) ? 3 3 ?0 ? x ? 1, 1 6.? 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的取 0 y 1 ? ? 4 ?
值范围是 (A)? (??, 2) ? ? ? ? ? (B) (0, 2) ? ? ? (C) (1,3) ? ? ? (D)? (1, ??) ? 7.? 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位 数的个数是? (A)?18? ? ? ? ? (B)?36? ? ? ? ? (C)?54? ? ? ? ? (D)?72? 8.? 已知偶函数 f(x) ( x∈R ) ,当 x ? ( ?2, 0] 时, f(x)=‐x(2+x) ,当 x ? [2, ?? ) 时, f(x)=(x‐2)(a‐x) ( a ? R ).? 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: (C) y ? sin(2 x ?

?

?

? ‐?1?‐

① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点;? ? ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a 2;? ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相 等.? 其中正确命题的序号是? (A)? ①②? ? ? ? ? (B)? ①③? ? ? ? ? (C)? ②③? ? ? ? ? (D)? ①②③?

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.? 9.? 圆 ? ? 2 cos ? 的半径是________。

共 110 分)?

10.已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的一组数据如下: (0,1), (1, 2), (2, 4), (3,5) ,

? ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是? ? ? ? ? ? ? 。 其回归方程为 y
11. 如图,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4, 则 CD 的长为______。 12. 若 双 曲 线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) ? 的 离 心 率 为 2 , 则 抛 物 线 a2 3

y 2 ? 8 x 的焦点到 C 的渐近线距离是______。?
13. 曲线 f ( x) ? x ?

1 1 在 x ? 处的切线方程是______,在 x=x0 处 x 2
。?

的切线与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为
2 2

14. 在圆 x ? y ? 25 上有一点 P(4,3),点 E,F 是 y 轴上两点,且满足 PE ? PF ,直线 PE,PF 与圆交于 C,D,则直线 CD 的斜率是________。 ? 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.? 15. (本小题 13 分)? 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C ) ? 3 sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数;? (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.? ? ? ?

? ‐?2?‐

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表:? 污染指数? 空气质量? 0~50? 优? 51~100? 良? 101~150? 轻度污染? 151~200? 中度污染 201~300? 重度污染? >300? 严重污染?

? ? 某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:? 34? 140? 18 42? 101? 38 73? 121? 210 40 27 45 36 78? 151 23 49 65? 103 79? 135 207? 81? 60? 20? 16? 48?

163? 154? 22?

? ? ? ? 根据以上信息,解决下列问题:? (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;? (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气 质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX.? ? ? ? ? ? ? ? 频率分布表? 分组? 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 14? a 5? b 2? 频率?

7 ? 15
x

1 ? 6
y

1 ? 15

30? 1? 合计 ? ? ? 17.?(本小题 13 分) 如图(1), 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4, 点 D 在线段 AC 上,DE ? AB ).? ? ? ? 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) (Ⅰ)求证:PB ? DE;? (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.?

A

E

P B E D C C B

D

?????????????? ??

图(1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图(2)? ?

? ‐?3?‐

18.(本小题 13 分)已知函数? f ( x) ? 2 ln x ? (Ⅰ)当 a ? ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2

1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;? 2

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x) 的单调性.?

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与椭 4 1 )? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M?(m, (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e;? (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;?

(Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的 值 .? ? ? ? 20. ( 本 小 题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an=3n‐2 , 等 比 数 列 ?bn ? 中 ,

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ? x x ? an , n ? N *? , ? B ? ? x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把
集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;?

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?d n ? ,求数列 ?d n ? 的通项公式,并说 明理由;? (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S . ?
n

?

? ‐?4?‐

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科)
一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.? 9.? ? 1; 10.? ? 0.9;? ? ? ? 11. 2; 12. 2 ;? ? ? 13. 3x+y-4=0, 2; 14.?

4 . 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.? 15. (本小题 13 分)? 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C ) ? 3 sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数;? (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.? 解:? (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C ) ? 3 sin 2 A. ?

? 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….2 分?
? sin A ? 0,? sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,? ? ? ? ……………………….4 分?

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2 2 2

…………………….6 分?
?

(Ⅱ)在 ?ABC 中,? ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos 60 , BC ? 7, AC ? 5, ?

? 49 ? AB 2 ? 25 ? 5 AB, ? AB 2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分?
? S ?ABC ?
? 16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表:? 污染指数? 空气质量? 0~50? 优? 51~100? 良? 101~150? 轻度污染? 151~200? 中度污染 201~300? 重度污染? >300? 严重污染?

1 1 3 ? 10 3 ? .? ? ? ? ? ? ? ? …………………….13 分? AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? 2 2 2

? ? 某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:? 34? 140? 18 42? 101? 38 73? 121? 210 40 27 45 36 78? 151 23 49 65? 103 79? 135 207? 81? 60? 20? 16? 48?

163? 154? 22?

? ? ? ? 根据以上信息,解决下列问题:? (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;?
? ‐?5?‐

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气 质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 频率分布表? 分组? 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14? a 5? b 2? 30? 频率?

7 ? 15
x

1 ? 6
y

1 ? 15
1?

1 1 解: (Ⅰ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………….4 分? 5 10
? ? ? (Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P=
4

4 2 2 ? ? ,………..5 分? 15 5 3

1 8 ?1? ? 2? ?1? 1 P( X ? 0) ? C ? ? ? ? , ? P( X ? 1) ? C4 ?? ??? ? ? , ? ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3 ? 81
0 4

3

8 32 ?2? 1 ? 2? ?1? 3 , ? P( X ? 3) ? C4 ?? ? ? ? , ? P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? 27 81 ?3? 3 ? 3? ?3?
2 4

2

2

3

? 2 ? 16 P ( X ? 4) ? C ? ? ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………….10 分? ? 3 ? 81
4 4

4

? X 的分布列为:? ?
X? P? 0? 1? 2? 3? 4?

1 ? 81

8 ? 81

8 ? 27

32 ? 81

16 ? 81

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………….11 分?

2 2 8 ? X~B(4, ),? ? EX ? 4 ? ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………….13 分? 3 3 3
? 17.?(本小题 13 分) 如图(1), 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4, 点 D 在线段 AC 上,DE ? AB 现将△A DE 沿 D E 折起到△ PDE 的位置(如图( 2 ) ) . ? ? ? ? 于 E, (Ⅰ)求证:PB ? DE;? (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 的长.?

? ‐?6?‐

A

E

P B E D C C B

D

?????????????? ?? ……………….2 分?

图(1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图(2)? 解:? (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,? ? ? ? ? ?

? BE ? PE ? E ,? ? DE ? 平面 PEB,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? PB ? 平面PEB ,? ? BP? ? ? DE;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….4 分?
(Ⅱ)? PE ? BE,? PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系(如图) ,……………………………………………………………5 分?

? 设 PE=a,则 B(0,4‐a?,0),D(a,0,0),C(2,2‐a,0),P(0,0,a),……………………7 分?
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a ) , BC ? (2, ?2, 0) ,……………………8 分?
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,? z?

?? ? ?(4 ? a) y ? az ? 0, 令 y ? 1 ,? ? n ? (1,1, 4 ? a ) ,? ? …………10 分? ? ? …………….10 分? ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

y

??? ? ? PD ? (a,0, ?a) ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….12 分?
x?

? BC 与平面 PCD 所成角为 30°,
??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n ? .? ? ? ? ? ? ? ……………………….11 分?

a ? (4 ? a) 2a 2 ? 2 ?
解得:a=

(4 ? a) a2

2

?

1 ? ,? ? ? ? ? 2

4 4 ,或 a=4(舍),所以,PE 的长为 .……………………….13 分? 5 5 1 2 18.(本小题 13 分)已知函数? f ( x) ? 2 ln x ? ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;? 2
? ‐?7?‐

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x) 的单调性.? 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….1 分? 当a ? ?

( x ? 2)( x ? 2) 1 时, f ?( x) ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….2 分? 2x 2

令 f ?( x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2, ? x?

[1,2) ?

2? 0?

( 2, e]

f ?( x) ? f ( x) ?

??
增?

??
减?

2 ln 2 ? 1 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….4 分?

1 e2 f (1) ? ? , f (e) ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….5 分? 4 4 1 ? f (1) ? f (e), ? f ( x)max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x)min ? f (1) ? ? .? ? ………………….7 分? 4 ( x ? 2)(ax ? 1) (Ⅱ) f ?( x) ? ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….8 分? x
① 0?a?

1 1 1 时,由 f ?( x) >0 得 0<x<2 或 x> ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( , ??) ,? a a 2 1 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, );? ? ? ? ? ……………………….10 分? a a

由 f ?( x) <0 得 2<x< ②a ?

1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 ,? 2

? f ( x) 在(0,+?)单调递增;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….11 分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
③当 a ?

1 1 1 时,由 f ?( x) >0 得 0<x< 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), (2, ??) , a a 2 1 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( ,2).? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………….13 分? a a

由 f ?( x) <0 得 ?

x2 19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: ? y 2 ? 1 的短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4
分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M?(m, (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e;? (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;? (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.?

1 )? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

? ‐?8?‐

解: (Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ?

3 ,? e ? 3 ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………?3 分?
2

1 (Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M?(m, ),且 m ? 0 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………4 分? 2 1 3 ? 直线 AM 的斜率为 k1= ? ,直线 BM 斜率为 k2= ,? ? 2m 2m 3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ? ,直线 BM 的方程为 y= x ? 1 ? ,? ? ? ? ……………6 分? 2m 2m
? x2 ? y 2 ? 1, ? 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 ,? 由? 4 ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………8 分? , ? E ? 2 , 2 ?, m2 ? 1 ? m ?1 m ?1 ?

? x2 ? y 2 ? 1, 得 9 ? m 2 x 2 ? 12 mx ? 0 ,? 由? 4 ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m ? 12m 9 ? m 2 ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………10 分? , ? , 2 F ? 2 ? m2 ? 9 ? m ?9 m ?9?
1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME ,? 2 2
| ME | | MF |

(Ⅲ)? S ?AMF ?

5S ?AMF ? S ?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,? ? ? ? ………………..12 分? ?

?

5m m ,? ? 4m 12m ?m ?m 9 ? m2 m2 ? 1

? ? m ? 0 ,?

?整理方程得 21

m ?1

?
2

15 ? 1 ,即 (m 2 ? 3)(m 2 ? 1) ? 0 ,? 2 m ?9
2

又? m ? ? 3 ,?m ? 3 ? 0 ,? ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.? ? ? ? ? ? ………………14 分? ? ? 20. ( 本 小 题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an=3n‐2 , 等 比 数 列 ?bn ? 中 ,

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ? x x ? an , n ? N *? , ? B ? ? x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把
集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;?
? ‐?9?‐

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?d n ? ,求数列 ?d n ? 的通项公式,并说 明理由;? (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S . ?
n

解: (Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,?

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n‐1,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………..2 分?

? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8,? ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………..3 分?
(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?d n ? 的通项公式为 dn?=22n‐1.? ………………..4 分?

? dn=b2n? ,? 只需证明数列{bn}中,b2n‐1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).?
? 证明如下:?

? b2n+1‐b2n‐1=22n‐22n‐2=4n‐4n‐1=3 4n‐1,即 b2n+1=b2n‐1+3 4n‐1,
若 ? m∈N*,使 b2n‐1 3m‐2,那么 b2n+1=3m‐2+3×4n‐1=3(m+4n‐1)‐2,所以,若 b2n‐1∈A,则 b2n+1∈A. 因为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n‐1∈A( n ? N ? ) 。? 因为 “3 2 4n‐1” ? 数列 ?an ? 同理, b2n+2‐b2n=22n+1‐22n‐1=2×4n‐2×4n‐1=3×2×4n‐1,即 b2n+2=b2n+3×2×4n‐1, 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n 2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论,? 即得 b2n ? A,? dn?=22n‐1;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………………………8 分? (Ⅲ) (1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………..9 分? (2)当 n 2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n‐1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得?

Sn ? ?ai ? ?b2i
i ?1 i ?1

n?k

k

?

( n ? k )( a1 ? an ? k ) b2 (1 ? 4k ) ( n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) ? ? ? 2 1? 4 2 3

.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………..?11 分? 下面讨论正整数 k 与 n 的关系:? 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况: ① b2 k ? cn 或者② an ? k ? cn ,
? ‐?10?‐

若①成立,即有 3( n ? k ) ? 2 ? 2 2 k ?1 ? 3( n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 2 2 k ?1 ? 3( n ? k ) ? 2 ? 2 2 k ?1 ,

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 显然 .? ?n? [k ? ? (22 k ?2 ? 1)] ? N*,所以 3 3 3 3

?有

?1, n ? 1 .? 综上所述, S n ? ? ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ,n?( , )(k , n ? N ? ) ? 2 3 3 3 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………..14 分?

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