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2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细解答


2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
(考试时间:2010 年 9 月 4 日上午 10:00—11:20) 二 题号 得分 评卷人 复核人 一 1 2 3 合计

注意事项: 1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超出装订线。 4.不能使用计算器。 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 log ? x ? sin x ? 2 在区间 (0,
2

?
2

] 上的实根个数为_________________.

2.设数列 ?8 ? (? )

? ?

1 3

n?1

1 ? 的最小整数 n 是 ? 的前 n 项和为 Sn ,则满足不等式 | S n ? 6 |? 125 ?

_________________. 3.已知 n ( n ? N , n ? 2 )是常数,且 x1 , x2 ,? , xn 是区间 ? 0, 数

? ?? 内任意实数,则函 ? 2? ?

f ( x1, x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ?? sin xn cos x1 的 最 大 值 等 于

_________________. 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在 圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在

n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6. 设 O 是 平 面 上 一 个 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ? AC ??? AB ? ? OP ? ? ??? ? OA ? ? ??? ,其中 ? ?[0, ??) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AC | | AB |
7.对给定的整数 m ,符号 ? ( m) 表示 ?1, 2, 3 中使 m ? ? (m) 能被 3 整除的唯一值,那么 ?

? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 a ,b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体 的体积依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va 2 ? Vb 2 与 (2Vc )2 的大小关系是_________________.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分 16 分) 是否存在实数 a , 使直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于两点 A 、B , 且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点? 2.(本小题满分 20 分) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : Z ? ?1, 2,3? , 满 足 对 任 意 的 整 数 x , y , 若

| x ? y ?? 2 , 3, ,则 f ( x) ? f ( y) . | ?5
3.(本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证: 9abc ? ab ? bc ? ca ?

1 (1 ? 9abc) 4

2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
一、填空题 1.设 f ( x) ? log ? x ? sin x ? 2 , f ?( x ? 则 )
2

1 x ln

?
2

?o cs

∵ x, 0? x?

?
2

o ? , 0 ?c s x 1 , ∴

又 0 ? ln

?

? 1 ,∴ f ?( x) ?0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log ? x ? sin x ? 2 在区 2 2 2

?

间 (0,

?
2

] 上有且只有一个实根.

2. 易 知 数 列 ?8 ? (? )

? ?

1 3

n?1

1 ? ? 是首项是 8 ,公比是 ? 的等比数列,∴ 3 ?

1 8[1 ? (? ) n ] 3 ? 6 ? 6(? 1 ) n , 于 是 | S ? 6 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3n ?1 ? 250 , ∵ | Sn ? n 1 125 3n ?1 125 3 1 ? (? ) 3
35 ? 2 4 3 2 5 0 36 ? 729 ? 250 ,故最小整数 n 是 7. ? ,
3.∵ ab ?

a 2 ? b2 , 2

∴ f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1

?

sin 2 xn ? cos 2 x1 sin 2 x1 ? cos 2 x2 sin 2 x2 ? cos 2 x3 ? ??? 2 2 2

(sin 2 x1 ? cos 2 x1 ) ? (sin 2 x2 ? cos 2 x2 ) ? ? ? (sin 2 xn ? cos 2 xn ) ? 2
? n , 2 n . 2 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 210 个交点. 1? 2 ? 3 ? 4

故所求函数的最大值等于

4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的 个数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 ?
4

2n ? 2(?1) n 5. 3 ? 2n

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC ??? AB AB AC ? ? ? ? 6. ∵ OP ? ? ??? ? OA ? ? ??? ,∴ OP ? OA ? ?? ( ??? ? ??? ) , | AC | | AB | | AB | | AC |

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB AC AB AC ? ? ? 即 AP ? ? ( ??? ? ??? ) ,又 ??? , ???? 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, | AB | | AC | | AB | | AC |
知点 P 的轨迹为 ?BAC 的平分线. 7.由二项式定理知, 22010 ? 41005 ? (3 ? 1)1005 ? 3 p ? 1 ,即 2 ∴ ? (22010 ? 1) ? 3, ? (22010 ? 2) ? 1 ? (22010 ? 3) ? 2 , 故 ? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? 6 . 8. ∵ Va ? Vb ? (
2 2
2010

被 3 除余 1,

?

b 2 a ) 2 ? ( a 2 b) 2 ? a 2b 2 ( a 2 ? b 2 ) ? a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 4? 2 ab 4 2 4? 2 a 4b4 ( ) c ? ? 2 , 9 c 9 c

?

?2

?2

(2Vc )2 ? (2 ?

?
3

h2 (a? ? b?)) 2 ?

∴作商,有 二、解答题

Va 2 ? Vb 2 c4 (a 2 ? b2 )2 (2ab)2 ? 2 2? ? ? 1 ,故 Va 2 ? Vb2 ? (2Vc )2 . 2 2 2 2 2 (2Vc ) 4a b 4a b 4a b

1.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3x ? y ? 1

消去 y ,得

(3 ? a2 ) x2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,
由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

x1 x2 ?

?2 , ② 3 ? a2

2a , ① 3 ? a2

∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ? OB , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,整理,得 (a2 ? 1) x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 将①②代入③,并化简得 ③

??? ?

??? ?

1 ? a2 ? 0 ,∴ a ? ?1 , 3 ? a2

经检验, a ? ?1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 2.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f (n) ? a , f (n ? 5) ? b ,其中

a, b??1, 2,3? ,由条件知 a ? b .

( ? 3 由 于 | (n ? 5)? n ? 2) | , | n ? (n ? 2) |? 2 , ∴ f ( n ? 2) ? a 且 f (n ? 2) ? b , 即

f (n ? 2)是 ?1, 2,3? 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n ? 2) ? c
又由于 | (n ? 5) ? (n ? 3) |? 2 , | n ? (n ? 3) |? 3 ,∴ f (n ? 3) ? f (n ? 2) .

3 f ? ) ) 以 n ? 1 代替 n , f ( ?4 ? f(n ? ? ( n 2 得 n )
因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.证明:先证左边的不等式. ∵ a ? b ? c ? 1,

, 但这与 | (n ? 4) ? (n ? 2) |? 2 矛盾!

∴ ab ? bc ? ca ? (ab ? bc ? ca)(a ? b ? c) ? a 2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? a 2c ? ac 2 ? 3abc

? 6abc ? 3abc ? 9abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ? b ? c ,注意到条件 a ? b ? c ? 1 ,得

1 ? 4(ab ? bc ? ca) ? 9abc ? (a ? b ? c)3 ? 4(a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc
? a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? (a ? b)[a(a ? c) ? b(b ? c)] ? c(c ? a)(c ? b) ? 0 ,
1 (1 ? 9abc) , 4 1 综上, 9abc ? ab ? bc ? ca ? (1 ? 9abc) . 4
所以 ab ? bc ? ca ?


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