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高中数学(福建)人教A版必修2课件:2.3.4 平面与平面垂直的性质_图文

2.3.4 平面与平面垂直的性质 -1- 目标导航 重难聚焦 典例透析 1.理解平面与平面垂直的性质定理. 2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 明目标、知重点 目标导航 1 2 重难聚焦 典例透析 1.理解平面与平面垂直的性质定理 剖析:(1)定理成立的条件有三个: ①两个平面互相垂直; ②直线在其中一个平面内; ③直线与两个平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直. (3)若两个平面垂直,过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的 直线必在第一个平面内. 明目标、知重点 目标导航 1 2 重难聚焦 典例透析 2.线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系 剖析:线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带.对于面面垂直的 判定和性质定理,可借助于长方体进行抽象概括.首先由线面垂直 的定义可知,若线面垂直,则线和面内任意直线都垂直;根据线面垂 直的判定定理,若直线垂直于平面内的两条相交直线,则线面垂直; 然后根据面面垂直的判定定理,若一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直,我们可以简记为“线面垂直,则面面 垂直”;同样根据面面垂直的性质定理,我们还可证得,若面面垂直, 则线面垂直.明目标、知重点 目标导航 题型一 题型二 题型一 性质定理的应用 重难聚焦 典例透析 【例1】 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥ 底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC. 证明:因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD. 因为平面SDC⊥平面ABCD, 平面SDC∩ 平面ABCD=CD,BC?平面ABCD, 明目标、知重点 目标导航 题型一 题型二 重难聚焦 典例透析 反思若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质 定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理时, 要注意定理成立的三个条件. 明目标、知重点 目标导航 题型一 题型二 重难聚焦 典例透析 【变式训练1】 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面 PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB. 明目标、知重点 目标导航 题型一 题型二 重难聚焦 典例透析 证明: 在平面PAB内,作AD⊥PB于点D. 因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB, 所以AD⊥平面PBC. 又BC?平面PBC,所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, 所以PA⊥BC. 因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB. 又AB?平面PAB, 明目标、知重点 所以BC⊥AB. 目标导航 题型一 题型二 题型二 计算问题 重难聚焦 典例透析 【例2】 如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别 在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的 长. 解:∵AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm, ∴BC=5 cm. ∵BD ⊥ l,α∩β中 =l, ,CD α⊥= β,BD ?β 2, + 2 = 13(cm). 在 Rt △BDC 明目标、知重点 目标导航 题型一 题型二 重难聚焦 典例透析 【变式训练2】 若构成教室墙角的三个墙面分别记为α,β,γ,交线 分别记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3 m,4 m,1 m,则点P与墙角B的距离为 m. 2 + 42 + 1 2 = = 3 26. 解析:由已知可得PPB 到墙角 B的距离为以 3,4,1 为边长构造的长方 答案: 26 ,所以 体的对角线长 明目标、知重点

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