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一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析(详细的思维导图)

一对一教育授课记录
学员 姓名 讲次 教学 标题 第讲 授课教师 上课时间 所授科目 2014 年 06 月 14 日 14:00—16:00 知识体系图: 数学 共 2 课时 学员年级 总课时 七年级

一元一次不等式(组) 1. 会解一元一次不等式及会用一 元一次不等式解应用题。

教学 目标

2. 理解一元一次不等式组的概念 及其解集,掌握一元一次不等式 组的解法。 解不等式(组)和解方程不同,

教学 重难 点

要注意符号变化;取解集时,一 般借助于数轴,既直观,又不会 漏解。

教 学 提 纲 及 掌 握 情 况
主要内容和方法(目标) 知识点一:一元一次不等式 考纲要求 课堂掌握情况 作业完 成情况

I

II

1 2 3 4 5

知识点二:一元一次不等式组

I

II

1 2 3 4 5

方法: (详见第 2-3 页)

I

II

1 2 3 4 5

课堂表现:

签名确认: 学员: 班主任: 教学主任:
说明:1、考纲要求 I、II :I 是考试大纲,针对老教材的;II 是新课程标准,针对新教材的; 2、课堂掌握情况以分值来评判各知识点或解题方法的掌握熟练程度,1,2,3,4,5 代表 5 种分值,1 代表了解,2 代表理解,3 代表基本掌握,4 代表熟练掌握,5 代表综合运用; 3、作业完成情况指学生本堂课针对此知识点进行训练的作业完成情况。

1

【知识要点】 一、一元一次不等式 1. 一元一次不等式定义: 含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式的解集:使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。 一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。 注:其标准形式: ax+b<0 或 ax+b≤0, ax+b>0 或 ax+b≥0(a≠0).

x<a

a

a

x>a

x≤a

a

a

x≥a

二、 一元一次不等式的解法: 解一元一次不等式, 要根据不等式的性质, 将不等式逐步化为 x ? a (或x ? a (1)去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5) 或x ? a或x ? a) 的形式,其一般步骤为: 系数化为 1。 说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个 负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方. 例如: 解不等式:

x ? 1 3x ? 1 ? ?1 2 3
2

解:去分母,得 去括号,得 移 项,得 合并同类项,得 系数化为 1, 得 三、一元一次不等式组

( 3 x ? 1) ? 2(3x ? 1) ? 6
3x ? 3 ? 6 x ? 2 ? 6

(不要漏乘!每一项都得乘) (注意符号,不要漏乘!) (移项,每一项要变号;但符号不改变)

3x ? 6 x ? 6 ? 3 ? 2 ? 3x ? 7

(计算要正确)

x??

7 (同除负,不等号方向要改变,分子分母别颠倒了) 3

含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。 说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件: ①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同; ②不等式组中不等式的个数至少是 2 个,也就是说,可以是 2 个、3 个、4 个或更多. 四、一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集. 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定. 五、不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型( a < b ) ①?

?x ? a 的解集是 x ? b ,如下图: ?x ? b
同大取大

②?

?x ? a 的解集是 x ? a ,如下图: ?x ? b
同小取小

a
③?

b
④?

a

b

?x ? a 的解集是 a ? x ? b ,如下图: ?x ? b
大小交叉取中间

?x ? a 无解,如下图: ?x ? b
大小分离解为空

a

b

a

b

六、解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 七、一元一次不等式的综合应用 1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。有些问题用方程不能解决,而用不等式却 能轻易解决。列不等式解决问题的一般步骤:
3

①弄清题意和题目中的数量关系,用字母表示未知数; ②找出能够表示问题全部含义的一个不等关系。

知识点 1:一元一次不等式的定义 1.下列属于一元一次不等式的是( A.10>8 ) C. 2(1 ? y) ?
1 y ?1 2

B. 2x ? 1 ? 3y ? 2

D. x 2 ? 3 ? 5 , x 的解集是 。

2.已知 3m ? 3x3?6m ? 1 是关于 x 的一元一次不等式,求 m 的值是 知识点 2:一元一次不等式的整数解 3.在不等式 3x ? 2 ? 4 中, x 可取的最大整数值是( A.0 B.1 C.2 ) ) D. 3

4.不等式 2 x -1≥3 x -5 的正整数解的个数为( A.5 个 B.2 个 C.3 个

D. 4 个

5.不等式 2 x -1<3 的非负整数解是 知识点 3:解一元一次不等式 6.不等式 ?

x ) ? 5 的解集是( 3 5 5 A. x ? ? B. x ? ? 3 3

C. x ? ?15

D. ? x ? 15

7. (1)解不等式: 3x ? 2( x ? 3) ? 4

(2)解不等式: 1 ?

x x?2 ? 5? 3 2

8.当 x 取何值时,代数式

x?5 x ?1 的值不小于 ? 1 的值。 3 2

4

知识点 4:一元一次不等式(组)的综合应用 9.小明用 30 元钱买笔记本和练习本共 30 本,已知每个笔记本 4 元,每个练习本 4 角,那么他最多能买 笔记本多少本?

10.某种商品进价 150 元,标价 200 元,但销量较小。为了促销,商场决定打折销售,若为了保证利润率 不低于 20%,那么至多打几折?

11.小强借到一本有 82 页的图书,要在 10 天内读完,开始 2 天每天只读 5 页,那么以后几天里每天至少 要读多少页?

2012 年中考真题: 12.(2012 湖北恩施 3 分)某大型超市从生产基地购进一批水果,运输过程中质量损失 10%,假设不计超 市其他费用, 如果超市要想至少获得 20%的利润, 那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 ( A.40% B.33.4% C.33.3% D.30% ) 。

13.(2012 湖北荆州 3 分)已知点 M(1﹣2m,m﹣1)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 m 的取值范围在数 轴上表示正确的是( ) 。

A.

B.

C.

D.

14. 2012山东日照4分)某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如 果分给每位老人4盒牛奶,那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶,那么最后一位老人分得的牛奶
5

不足4盒,但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有( A.29 人 B.30 人 C.31 人

) 。 D.32 人

15.(2012 山东淄博 4 分)篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜 1 场得 2 分,负 1 场得 1 分.某 队预计在 2012—2013 赛季全部 32 场比赛中最少得到 48 分,才有希望进入季后赛.假设这个队在将要举 行的比赛中胜 x 场,要达到目标,x 应满足的关系式是( A. 2x ? (32 ? x) ≥48 B. 2x ? (32 ? x) ≥48 ) D. 2x ≥48

C. 2x ? (32 ? x) ≤48

16.(2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分)为庆祝“六·一”国际儿童节,龙沙区某小学 组织师生共 360 人参加公园游园活动,有 A、B 两种型号客车可供租用,两种客车载客量分别为 45 人、30 人,要求每辆车必须满载,则师生一次性全部到达公园的租车方案有() A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种

17.(2012 黑龙江龙东地区 3 分)某校团委与社区联合举办“保护地球,人人有责”活动,选派 20 名学生 分三组到 120 个店铺发传单,若第一、二、三小组每人分别负责 8、6、5 个店铺,且每组至少有两人,则 学生分组方案有( A. 6种 )。 B. 5 种 C. 4 种 D. 3 种

二、填空题 18. (2012 四川凉山 4 分) 某商品的售价是 528 元, 商家出售一件这样的商品可获利润是进价的 10%~20%, 设进价为 x 元,则 x 的取值范围是 。 .

19.(2012 贵州安顺 4 分)如图,a,b,c 三种物体的质量的大小关系是

20.(2012 青海西宁 2 分)某饮料瓶上这样的字样:Eatable Date 18 months.如果用 x(单位:月)表示 Eatable Date(保质期),那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 三、解答题 21. (2012 湖南张家界 8 分)某公园出售的一次性使用门票,每张 10 元,为了吸引更多游客,新近推出 购买“个人年票”的售票活动(从购买日起,可供持票者使用一年) .年票分 A.B 两类:A 类年票每张 100 元,持票者每次进入公园无需再购买门票;B 类年票每张 50 元,持票者进入公园时需再购买每次 2 元的门 票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时,购买 A 类年票最合算? .

6

知识点 5:一元一次不等式与一次函数 22. 如图, 一次函数 y ? ax ? b 的图象经过 A、 B 两点, 则关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 .

(第 11 题图)

(第 12 题图)

23.直线 l1 : y ? k1 x ? b 与直线 l 2 : y ? k 2 x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式

k2 x ? k1 x ? b 的解集为



24.某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工。若进行粗加工,每吨加工费用为 600 元,需

1 1 天,每吨售价 4000 元;若进行精加工,每吨加工费用为 900 元,需 天,每吨售价 4500 元。现将 3 2
这 50 吨原料全部加工完。 (1)设其中粗加工 x 吨,获利 y 元,求 y 与 x 的函数关系式(不要求写自变量的范围) ; (2)如果必须在 20 天内完成,如何安排生产才能获得最大利润?最大利润是多少?

知识点 6:一元一次不等式组的解集的数轴表示 25.如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是( A. x ? ?1或x ? 3 26.把不等式组 ? B. x ? ?1或x ? 3 ) D. ? 1 ? x ? 3 )

C. ? 1 ? x ? 3

? x ? 1 > 0, 的解集表示在数轴上,正确的为图中的( ? x ? 1≤ 0

-1

0
7

1

A.

B.

C.

D.

知识点 7:解一元一次不等式组

? ?2 x ? 7 ? 3x ? 1 27.解不等式组: ? x ? 2 ?0 ? 5 ?

?2 ? x ? 0, ? 28.解不等式组 ? 5 x ? 1 2 x ? 1 并把解集在数轴上表示出来. ? 1 ≥ , ? 3 ? 2
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1
2 3 4 5

知识点 8:一元一次不等式组的整数解
? 3x ? 1 ? 4 ? 29.不等式组 ? 1 的最大整数解是( 3 ( x ? 3) ? ? 0 ? ?2 4

) D. 1

A.0

B.-1

C.-2 .

30.同时满足 2x ?1 ? 0 和 3x ? 1 的整数 x = 知识点 9:综合应用

?x ? 8 31.如果不等式 ? 无解,那么 m 的取值范围是( ?x ? m
A. m >8 B. m ≥8 C. m <8

) D. m ≤8 ; )

32.已知方程 2 x ? k ? 1 的解是正数,则 k 的取值范围是: 33.在方程组 ?

?2 x ? y ? m 中, x 、 y 满足 x ? y ? 0 ,则 m 的取值范围在数轴上表示为( ? 2y ? x ?1

A

B

C

D )
8

34.已知关于 x 的不等式 2x ? m ? ?3 的解的解如图所示,则 m 的值等于(

A.2

B.1

C. -1 )

D. 0

35.若 a ? 4 ,则关于 x 的不等式 (a ? 4) x ? 4 ? a 的解集是( A. x ? ?1 B. x ? ?1 C. x ? 1

D. x ? 1

36.已知 3m ? 3 x3? 6 m >1 是关于 x 的一元一次不等式,求 m 的值。

2013 年中考真题: 37.(2013.雅安)不等式组 ? x A.1 个
?2 x ? 1 ? 3 ? 的整数解有( ? ?1 ? ? 2

) 。 D. 4 个

B.2 个

C. 3 个

38.(2013.十堰)定义:对于实数 a 符号 ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,例如: ?5.7? ? 5; ?5? ? 5; ? ?? ? ? ?4 (1)如果 ? a ? ? ?2 ,那么 a 的取值范围是
? x ? 1? (2)如果 ? ? ? 3 ,求满足条件的所有正整数 x 。 ? 2 ?



39.(2013.邵阳)雅安地震后,政府为安置灾民,从某厂调拔了用于搭建板房的板材 5600 m 2 和 2210 m 2 , 计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共 100 间,若搭建一间甲型板房或搭建一间乙型板 房所需的板材和铝材的数量如下表所示: 板房规格 甲型 乙型 板材数量( m 2 ) 40 60 铝材数量( m 2 ) 30 20

请你根据以上信息,设计出甲、乙两种板房的搭建方案。

课后作业: 一、选择题
9

1. 若 x ? y ,则下列式子错误的是( A. x ? 3 ? y ? 3

) C. x ? 3 ? y ? 2 ) D.

B. 3 ? x ? 3 ? y

x y ? 3 3

2. 如图表示了某个不等式的解集, 该解集所含的整数解的个数是(

A.4

B. 5

C. 6 )

D.7

?3x ? a ? 0, 3. 若不等式组 ? 的解集为 x ? 0 ,则 a 的取值范围为( ?2 x ? 7 ? 4 x ? 1
A. a >0 4. 不等式组 ? B. a =0 C. a >4 ) C. ? 2 ? x ? 3 )

D. a =4

?x ? 2 ? 0 的解集是( ?3 ? x ? 0

A. ? 2 ? x ? 3 5. 不等式组 ?

B. x ? ?2或x ? 3

D. ? 2 ? x ? 3

? x ? 1<1 的解集在数轴 上表示正确的是( ? x ? ?1
-1 0 1 2 B -1 0 1 2 C

-1 0 1 2 A 6. 如果不等式组 ? A. m >3

-1 0 1 2 D )

?x?3 有解,那么 m 的取值范围是( ?x ? m
B. m ? 3 C.

m <3

D. m ? 3

7. 中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中,有 一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则 三个球体的重量等于( A.2 B.3 C.4 )个正方体的重量. D.5

8. 韩日 “世界杯” 期间,重庆球迷一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有 A,B 两个出租车队,A 队比 B 队少 3 辆车,若全部安排乘 A 队的车,每辆 5 人,车不够,每辆坐 6 人,有的车未坐满,则 A 队有出 租车( A.11 辆 ) B.10 辆 C.9 辆 D.8 辆

9. 甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条 a 元,又从另一个鱼摊买了两条鱼,平均每条 b 元,后 来他又以每条 A. a ? b

a?b 的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( 2
B. a ? b C. a ? b

)

D. a和 b 的大小无关
10

10. 某次知识竞赛共有 30 道选择题,答对一题得 10 分,若答错或不答一道题,则扣 3 分,要使总得分不 少于 70 分则应该至少答对几道题?若设答对 x 题,可得式子为( A. 10 x ? 3(30 ? x) ? 70 C. 10 x ? 3 x ? 70 二.填空题 11.解不等式组 ? )

B. 10 x ? 3(30 ? x) ? 70 D. 10 x ? 3(30 ? x) ? 70

?3x ? 2 ? ?4, ① ?3 ? 2 x ? 2 ②

时,解①式,得 .

,解②式,得

;于是得到

不等式组的解集是

12. 不等式(m-2)x>2-m 的解集为 x<-1,则 m 的取值范围是__________________。 13. 组成三角形的三 根棒中有两根棒长为 2cm 和 5cm,则第三根棒长 x 的取值范 围是 若它的周长是偶数,则第三根棒的长是 。 ;

14. 关于 x 的不等式(5 – 2m)x > -3 的解是正数,那么 m 所能取的最小整数是__________。 15. 甲、乙两商店某种铅笔标价都是一元,学生小王欲购买这种铅笔,发现甲、乙两商店都让利优惠,甲 店实行每买 5 枝送一枝(不足 5 枝不送);乙店实行买 4 枝或 4 枝以上打 8.5 折,小王买了 13 枝这种铅 笔,最少需花 16. 不等式组 ? 元。

?x ? 2 ? 1 的解集是___________________。 ?2 x ? 1 ? 5
, 3 ? a 的最大值是
2

2 17. a 是有理数,那么 a ? 1 的最小值是

, (a ? 2) ? 4 的最小值是
2

, 8 ? (a ? 3) 的最大值是
2



18. 若不等式组 ? 三.解答题

? x?a 有三个整数解,则 a 的取值范围为 ?x ? 3 ? 0



19.解下列不等式组,并把解集表示在数轴上。

?2 x ? 1 ? 0, ? ?4 ? x ? 0.

?? 3x ? 0, ? ?4 x ? 7 ? 0.

11

3 ? x ? (2 x ? 1) ≤ 4, ? ? 2 20.解不等式组 ? 把解集表示在数轴上,并求 出不等式组的整数解。 1 ? 3 x ? ? 2 x ? 1. ? ? 2

?3( x ? 1) ? 5 x ? 4   ① ? 21.解不等式组 ? x ? 1 ,并将解集在数轴上表示出来。 2x ?1 ≤    ② ? 3 ? 2

12


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