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高一年级数学竞赛试题


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高一年级数学竞赛试题
考试时间 120 分钟 一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.非空集合 S ? { ,2,3,4,5,}, 且若 a ∈ S , 则必有 6 ? a ∈ S ,则所有满足上述条件的集合 S 1 共有 A.6 个 ( B.7 个 C.8 个 D.9 个 ( ) ) 分值 150 分

2.当 0 < x < 1 时, f ( x) =

x ,则下列大小关系正确的是 lg x
B. f ( x 2 ) < f 2 ( x ) < f ( x ) D. f ( x 2 ) < f ( x ) < f 2 ( x )

A. f ( x ) < f ( x ) < f ( x )
2 2

C. f ( x ) < f ( x 2 ) < f 2 ( x )

3.有三个命题: (1)空间四边形 ABCD 中,若 AC=BC,AD=BD,则 AB⊥CD. (2)过平面 α 的一条斜线 l 存在一个平面与 α 垂直. (3)两个平面斜交,则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直. 其中正确的命题个数 ( C .2 A .0 B .1 D .3 1 4.如图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点. ? 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点.若它停在 奇数点上,则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上,则跳 5? . 两个点.该蛙从 5 这点跳起,经 2008 次跳后它将停在的点是 .



?2

A .1 C .3

B .2 D.4

1 5.若 a > 0, a ≠ 1, F ( x ) 是 R 上的奇函数,则 G ( x ) = F ( x )( x a ?1 A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .奇偶性与 a 相关

? 4 1 + )是

?3
( )

2

6.对于每一个实数 x ,设 f ( x )是4 x + 1, x + 2和4 ? 2 x 三个函数中的最小值,则 f (x ) 的 最大值是 ( )

A.

8 3

B .3

C.

2 3

D.

1 2

7.若有样本容量为 8 的样本平均数为 5,方差为 2,现样本中又加入一个新数据为 4,现在
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样本容量为 9,则样本平均数和方差分别为





A.

35 296 , 9 81

B.

44 296 , 9 81

C.

35 17 , 9 9

D.

44 152 , 9 81
( )

8.已知定义域为 R 上的函数 如果 x1

f ( x)满足f (2 + x) = ? f (2 ? x),当x < 2时, f ( x) 单调递增,
C .恒小于 0
D .可正可负

+ x 2 < 4, 且 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) < 0, 则 f ( x1 ) + f ( x2 ) 的值

A .可能为 0 B .恒大于 0 二、填空题(每题 5 分,共 30 分)
9.已知 y

= f (x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ∈ R ,有


f ( x + 2)[1 ? f ( x ) ] = f ( x ) + 1 成立.若 f (2) = ?2, 则f (2008) =
10.已知 f (x ) 是定义在( ? 1 , 1 )上的偶函数,且在 (0,1) 上为增函数,若

f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) < 0 ,则实数 a 的取值范围



11.在空间直角坐标系中,已知点 A 的坐标是(1, ? 2 ,11),点 B 的坐标是 (4,2,3),点 C 的坐标是(6, ? 1 ,4),则三角形 ABC 的面积是 12.若实数 是
2 2 b a , b 满足条件 a + b ? 2a ? 4b + 1 = 0 , 则代数式

. 的取值范围

a+2



2x 2 1 13.已知函数 f ( x) = ,那么 f (1) + f ( 2) + f (3) + ?? + f ( 2008) + f ( ) + 2 2 1+ x 1 1 . )= f ( ) + ?? + f ( 3 2008 14.用 S( n )表示自然数 n 的数字和,例如:S(10)=1+0=1,S(909)=9+0+9=18,若
对于任何 n ∈ N ,都有 n + S ( n) ≠ x ,满足这个条件的最大的两位数 x 的值是 .

三、解答题(本题共 80 分) 15.(本小题 12 分) 已知向量 a = (cos

3 3x x x π π x,sin ), b = (cos , ? sin ) ,其中 x ∈ [? , ] . 2 2 2 2 2 2 (1)求证: (a + b ) ⊥ (a ? b ) ;
2

(2)设函数 f ( x ) = a ? b + b ,求 f ( x ) 的最大值和最小值

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16.(本小题 12 分)已知 f (t ) = log 2 t , t ∈ [ 2,8] ,对于 f (t ) 值域内的所有实数 m ,不 等式 x + mx + 4 > 2 m + 4 x 恒成立,求 x 的取值范围.
2

17.(本小题 14 分)已知圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 2 ) = 2, 点 P (2, ?1) ,过 P 点作圆 C 的切线
2 2

PA, PB , A, B 为切点.
(1)求 PA, PB 所在直线的方程; (2)求切线长 PA ; (3)求直线 AB 的方程.

18.(本小题 14 分)右图是一个直三棱柱(以 A1 B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC. 已知 A1 B1 = B1C1 = 1, ∠A1 B1C1 = 90 , AA1 = 4 . BB1 = 2, CC1 = 3 . (1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC // 平面 A1 B1C1 ; (2)证明:BC⊥AC,并求二面角 B ? AC ? A1 的大小; (3)求此几何体的体积.

19.(本小题 14 分)已知一次函数 f ( x) = ax + b 与二次函数 g ( x ) = ax 2 + bx + c ,满足

a > b > c ,且 a + b + c = 0( a, b, c ∈ R ).
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(1)求证:函数 y = f ( x)与y = g ( x) 的图象有两个不同的交点 A,B; (2)设 A1,B1 是 A,B 两点在 x 轴上的射影,求线段 A1B1 长的取值范围; (3)求证:当 x ≤ ? 3 时, f ( x ) < g ( x ) 恒成立.

20.(本小题 14 分)设

f ( x ) = x n + ax 2 + bx + c, n 为自然数, f (3) = ?4, f (6) = 119 ,求 f (x ) .

已知 f ( ?1) = 0, f (1) = ?6, f (2) = ?9 ,

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参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 题号 B C D 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9、 3 10、 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C

(

3 ,2 ∪ 2, 5

) (

)

11、

5 42 2

12、 [0,

12 ] 5

13、 4015

14、 97

三、解答题:(共 80 分) 15.已知向量 a = (cos

3 3x x x π π x,sin ), b = (cos , ? sin ) ,其中 x ∈ [? , ] . 2 2 2 2 2 2 (1)求证: (a + b ) ⊥ (a ? b ) ;
2

(2)设函数 f ( x ) = a ? b + b ,求 f ( x ) 的最大值和最小值
2 2 解:(1) (a + b) ? (a ? b) = a ? b = a ? b = 2 2

cos 2

3 3 x x x + sin 2 x ? (cos 2 + sin 2 ) = 1 ? 1 = 0 2 2 2 2

所以, (a + b ) ⊥ (a ? b ) (2) f ( x ) = a ? b + b = cos
2

= cos 2 x + 1
当 x = 2 kπ , k ∈ z

3 x 3 x x cos ? sin x sin + 1 2 2 2 2

ymax = 2 ymin = 0

x = 2 kπ + π , k ∈ z

16.(本小题 12 分)已知 f (t ) = log 2 t , t ∈ [ 2,8] ,对于 f (t ) 值域内的所有实数 m ,不等 式 x 2 + mx + 4 > 2 m + 4 x 恒成立,求 x 的取值范围. 解:∵ f (t ) = log 2 t , t ∈ [ 2,8] ,∴ m ∈ [ ,3]

1 2

……………………2 分

x 2 + mx + 4 > 2m + 4 x ? ( x ? 2)m + x 2 ? 4 x + 4 > 0
令 g ( m) = ( x ? 2) m + x 2 ? 4 x + 4 , 由题意知:当 m ∈ [ ,3] 时,恒有 g ( m) > 0 ,………………………5 分 当 x = 2 时,不满足题意. ………………………………………7 分

1 2

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? 1 ?g( ) > 0 当 x ≠ 2 时,有 ? 2 ,解得: x < ?1 或 x > 2 . ? g (3) > 0 ?
∴ x ∈ ( ?∞, ?1) ∪ (2, +∞ ) .……………………………………12 分
17.(本小题 14 分)已知圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 2 ) = 2, 点 P (2, ?1) ,过 P 点作圆 C 的切线
2 2

PA, PB , A, B 为切点.
(1)求 PA, PB 所在直线的方程; (2)求切线长 PA ; (3)求直线 AB 的方程. 解:①设切线的斜率为 k , 切线方程为 y ? 1 = k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 = 0, 又 C(1,2),半经 r = 由点到直线的距离公式得: 2 =

2

k ? 2 ? 2k ? 1 k 2 + (?1) 2

,解之得: k = 7 或 k = ?1 .

故所求切线 PA、PB 的方程分别为: x + y ? 1 = 0,7 x ? y ? 15 = 0 .…………4 分 ②连结 AC、PC,则 AC⊥PA,在三角形 APC 中 AC =

2 , PC = 10 ,

∴ PA = 10 ? 2 = 2 2 .

……………………………………8 分

③解法 1:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则

(x1 ? 1)2 + ( y1 ? 2)2

= 2, ( x 2 ? 1) + ( y 2 ? 2) 2 = 2 .
2

因 AC⊥AP,所以 k CA ? k AP = ?1 ,



y1 ? 2 y1 + 1 ? = ?1 . x1 ? 1 x1 ? 2

∴ ( x1 ? 1) 2 + ( y1 ? 2) 2 + 3( y1 ? 2) ? ( x1 ? 1) = 0 . ∵ ( x1 ? 1) 2 + ( y1 ? 2) 2 = 2 ,
上式化简为: x1 ? 3 y1 + 3 = 0 . 同理可得: x 2 ? 3 y 2 + 3 = 0 . ……………………… 12 分 ……………………… 10 分

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因为 A、B 两点的坐标都满足方程 x ? 3 y + 3 = 0 . 所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y + 3 = 0 . ……………………14 分

解法 2:因为 A、B 两点在以 CP 为直经的圆上.CP 的中点坐标为(

3 1 , ),又 2 2

1 10 CP = 2 2
所以以 CP 为直经的圆的方程为:

3 1 10 2 (x ? )2 + ( y ? )2 = ( ) 即x 2 + y 2 ? 3 x ? y = 0 , 2 2 2
又圆 C 的一般方程为 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + 3 = 0 ,两式相减得直线 AB 的直线方程:

x ? 3y + 3 = 0 .

………………………………………………14 分

18.(本小题 14 分)右图是一个直三棱柱(以 A1 B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC. 已知 A1 B1 = B1C1 = 1, ∠A1 B1C1 = 90 , AA1 = 4, BB1 = 2, CC1 = 3 . (1)设点 O 是 AB 的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1; (2)证明 BC⊥AC,求二面角 B—AC—A1 的大小; (3)求此几何体的体积. 解:(1)证明:作 OD ∥ AA1 交 A1 B1 于 D ,连 C1 D . 则 OD ∥ BB1 ∥ CC1 . 因为 O 是 AB 的中点, 所以 OD =

1 ( AA1 + BB1 ) = 3 = CC1 . 2

A

则 ODC1C 是平行四边形,因此有 OC ∥ C1 D .

A2 O

C1 D ? 平面 C1 B1 A1 且 OC ? 平面 C1 B1 A1 ,

H B

C C2

A1
则 OC ∥面 A1 B1C1 .……………………………………4 分 (2)如图,过 B 作截面 BA2C2 ∥ 面 A1 B1C1 ,分别交 AA1 , CC1 于 A2 , C2 . 作 BH ⊥ A2C2 于 H ,连 CH . 因为 CC1 ⊥ 面 BA2C2 ,所以 CC1 ⊥ BH ,则 BH ⊥ 平面 A1C .

C1
D

B1

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又因为 AB = 5 , BC =

2 , AC = 3 ? AB 2 = BC 2 + AC 2 .

所以 BC ⊥ AC ,根据三垂线定理知 CH ⊥ AC ,所以∠BCH 就是所求二面角的平面 角. 因为 BH =

2 BH 1 ,所以 sin ∠BCH = = ,故∠BCH = 30 , 2 BC 2
………………………………9 分

即:所求二面角的大小为 30 . (3)因为 BH =

2 , 2

所以 VB ? AA2C2C =

1 1 1 2 1 S AA2C2C ? BH = ? (1 + 2) ? 2 ? = . 3 3 2 2 2 1 ? 2 = 1. 2 3 . ………………14 分 2

VA1B1C1 ? A2 BC2 = S△ A1B1C1 ? BB1 =

所求几何体体积为 V = VB ? AA2C2C + VA1B1C1 ? A2 BC2 =

19.(本小题 14 分)已知一次函数 f ( x) = ax + b 与二次函数 g ( x ) = ax 2 + bx + c ,满足

a > b > c ,且 a + b + c = 0( a, b, c ∈ R ).
(1)求证:函数 y = f ( x)与y = g ( x) 的图象有两个不同的交点 A,B; (2)设 A1,B1 是 A,B 两点在 x 轴上的射影,求线段 A1B1 长的取值范围; (3)求证:当 x ≤ ? 3 时, f ( x ) < g ( x ) 恒成立. 解:(1)由 f ( x ) = ax + b和g ( x ) = ax 2 + bx + c, 得ax 2 ? ( a ? b) x + c ? b = 0 ,…2 分 则 ? = (a + b)2 ? 4ac, 又 ∵ a > b > c, 且a + b + c = 0(a, b, c ∈ R).

则a > 0, c < 0,∴? > 0,

…………………………… 4 分

∴ 函数 y = f ( x)与y = g ( x ) 的图象有两个不同的交点 A,B; ---5 分
(2)由 x1 + x2 =

( a ? b) ( c ? b) ,则: , x1 x2 = a a

c | A1B1 |=| x1 ? x2 |= ? = ( ? 2)2 ? 4 , ………………… 7 分 a
又因为 a

> b > c, 且a + b + c = 0( a, b, c ∈ R ).

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则?2 <

c 1 3 < ? , | A1 B1 |∈ ( , 2 3); a 2 2
2

……………… 9 分

(3)设 F ( x) = g ( x) ? f ( x) = ax ? ( a ? b) x + c ? b 的两根为 x1 , x 2 满足 x1 < x 2 , 则 x 2 ? x1 < 2 3 , ……………………………………… 10 分

a ?b a?b > 0, 于是 ? x1 < 3 , 2a 2a a?b a?b , ∴? 3< ? 3 < x1 < 2a 2a a?b 由此得:当 x ≤ ? 3 时, x < x1 < , …………… 12 分 2a a?b 又 a > 0, 知F ( x )在( ?∞, ) 上为单调递减函数,于是, F ( x) < F ( x1 ) = 0, 2a
又∵ y = F ( x ) 的对称轴为: x = 即当 x ≤ ? 3时, f ( x ) < g ( x ) 恒成立. ………………… 14 分

20.(本小题 14 分)设 f ( x ) = x n + ax 2 + bx + c, n 为自然数,已知 f ( ?1) = 0, f (1) = ?6,

f (2) = ?9 , f (3) = ?4, f (6) = 119 ,求 f (x ) .

? f (?1) = (?1) n + a ? b + c = 0 ? ? f (1) = 1 + a + b + c = ?6 ? n 解:由题设有: ? f (2) = 2 + 4a + 2b + c = ?9 , ? f (3) = 3 n + 9a + 3b + c = ?4 ? ? f (6) = 2 n ? 3 n + 36a + 6b + c = 119 ? ?a ? b + c = ?(?1) n ? ?a + b + c = ?7 ? n 即 ?4a + 2b + c = ?9 ? 2 ?9a + 3b + c = ?4 ? 3 n ? ?36a + 6b + c = 119 ? 2 n ? 3 n ? 1 ? a = ?3 ? (?1) n ? 2 ? 2n ? , ? ? 6? ? 1 ? n ? ? 所以 ?b = ?(?1) ? 7 ? , 2 ? 1 ? n n ?c = ?4 ? 3 ?(?1) ? 2 ? , ? ? ?



…………………… 5 分

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1 ? n ?a = 3 (2 ? 2 ), ? ①当 n 为奇数时, ?b = ?4, ? 1 ?c = (?11 + 2 n ). 3 ?
将上列各式的值代入⑴中得:

?3n +1 ? 8 ? 2n ? 17 = 0, ? n +1 n 2 n 消去 3 ,得: 4 ? ( 2 ) ? 9 ? 2 ? 184 = 0 . ? n n +1 n ?2 ? 3 ? 35 ? 2 ? 368 = 0, ?
解得 n = 3, 从而 a = ?2, b = ?4, c = ?1, 故得: f ( x ) = x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1. ②当 n 为偶数时, a = ……………………… 11 分

1 ? 2n ? 13 + 2 n , b = ?3, c = , 3 3
n 2 n

同①可得方程: 2 ? ( 2 ) ? 4 ? 2 ? 97 = 0. 这时无整数解 n , 故 f ( x ) = x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1. ……………………14 分

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