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第五讲 二次函数与最值问题专题讲座8份


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学习改变命运

思考成就未来

第四讲
【考点解读】 考点解读】

二次函数与最值问题专题讲座

? 定义: y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) ? ?图象:抛物线 ? ? ? a > 0,开口向上 ? ? 开口方向 ? ? ? a < 0,开口向下 ? ? ? b 4 ac ? b 2 ? ? 顶点坐标( ? ) , ? 2a 4a ? ? ? ? ? ? ? 对称轴: x = ? b ? ? 2a ? ? ? 性质 ? ? y 随 x 的增大而增大; ? 在对称轴的右侧, ? ? ?a > 0? 二次函数 ? ? y 随 x 的增大而减少。 ? 在对称轴的左侧, ? 增减性 ? ? ? ? ? y 随 x 的增大而减少; ? 在对称轴的右侧, ? ? ? ? a < 0 ? 在对称轴的左侧, y 随 x 的增大而增大。 ? ? ? ? ? ? ? b 4 ac ? b 2 ? ? a > 0时,当 x = ? 时, y 有最小值 ; ? ? ? ? 2a 4a 最值 ? ? ? 2 ? a < 0时,当 x = ? b 时, y 有最大值 4 ac ? b 。 ? ? ? ? ? 2a 4a ? ? ? ? 一般式: y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) ? ? 解析式 ? 顶点式: y = a ( x ? h ) 2 + k ( a ≠ 0 ) ? ? ? 两点式: y = a ( x ? x )( x ? x )( a ≠ 0 ) ? 1 2 ? ?

【典例解析】 典例解析】
(2010 广州) (2010 广东广州,21,12 分)已知抛物线 y=-x2+2x+2. 例 1. ,顶点坐标 ; (1)该抛物线的对称轴是 (2)选取适当的数据填入下表,并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
x y … … … …

(3)若该抛物线上两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)的横坐标满足 x1>x2>1,试比较 y1 与 y2 的大小.
y

1 -5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 -1 x

1

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(1) 例 2. (2010 荆州)若把函数 y=x 的图象用 E(x,x)记,函数 y=2x+1 的图象用 E(x,2x+1)记,…… 则 E(x, x ? 2 x + 1 )可以由 E(x, x )怎样平移得到?(
2 2

) A D

A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 (2)2010 丽水) ( 如图, 四边形 ABCD 中, ∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC, 设 CD 的长为 x, 四边形 ABCD 的面积为 y, y 与 x 之间的函数关系式是 则 ( ) A、 y =

2 2 x 25

B、 y =

4 2 x 25

C、 y =

2 2 x 5

D、 y =

4 2 x 5 1 ;④ x
B C

(3) (2010 盐城)给出下列四个函数:① y = ? x ;② y = x ;③ y =

y = x 2 . x < 0 时,y 随 x 的增大而减小的函数有(
A.1 个 B.2 个 C.3 个

) D.4 个 )

(1) 例 3. (2010 南充)抛物线 y = a ( x + 1)( x ? 3)( a ≠ 0) 的对称轴是(

C、x= ? 3 D、x=3 A、x=1 B、x= ? 1 2 (2) (2010 咸宁)已知抛物线 y = ax + bx + c ( a <0)过 A( ?2 ,0) 、O(0,0) 、 B( ?3 , y1 ) 、C(3, y2 )四点,则 y1 与 y2 的大小关系是 A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D.不能确定 (3) (2010 宁夏) .把抛物线 y = ? x 2 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的表达式 ( ) B. y = ?( x + 1) 2 + 3 C. y = ?( x ? 1) 2 ? 3 D. y = ?( x + 1) 2 ? 3 .

A. y = ?( x ? 1) 2 + 3

2 ( ( 例 4 . 1 ) 2010 东 营 ) 二 次 函 数 y = ax + bx + c 的 图 形 如 图 所 示 , 则 一 次 函 数 y = bx ? ac 与

y=

a?b+c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y y y



y

y

-1

?

0 1

?

x

O A

x

O B

x C

O

x D

O

x
y

(2) (2010 荆门)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,下列结论错误的是( .. (A)ab<0 (B)ac<0

2

)
o
2

x

(C)当 x<2 时,函数值随 x 增大而增大;当 x>2 时,函数值随 x 增大而减小 (D)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax +bx+c=0 的根。
2 2

2

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。 例 5. (2010 肇庆)已知二次函数 y = x + bx + c + 1 的图象过点 P(2,1) (1)求证: c = ?2b ? 4 ; (2)求 bc 的最大值; (3)若函数的图象与 x 轴交于点 A( x1,) 0 ,B( x 2,) 0 ,△ABP 的面积是

3 ,求 b 的值。 4

【压轴训练】 压轴训练】
1. (2010 眉山)如图,Rt△AB ′C ′ 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC ′ 交斜边于点 E, CC ′ 的延长线交 BB ′ 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= α ,∠CAC ′ = β ,试探索 α 、 β 满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全等三角形, 并说明理由.
B C' E F B'

C

A

2。 (2010 眉山)如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐标 原点,A、B 两点的坐标分别为( ?3 ,0)(0,4) 、 ,抛物线 y =

2 2 x + bx + c 经过 B 点,且顶点在直线 3

5 上. 2 (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的,当四边形 ABCD 是菱形时,试判断点 C 和点 D 是 否在该抛物线上,并说明理由; (3) M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点, 若 过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N. 设 点 M 的横坐标为 t,MN 的长度为 l.求 l 与 t 之间的函数关系式,并求 l 取最大值时,点 M 的坐标. x=
y

B N M A O D

C

E

x

3

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【以练励学】 以练励学】
(1) (2008 福州)已知抛物线 y = x 2 ? x ? 1 与 x 轴的一个交点为(m,0) ,则代数式 m ? m ? 2008 的
2

值为_____________。 (2) (2009 鄂州)把抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得的
2 图象的解析式是 y = x ? 3 x + 5 ,则 a+b+c=_______________。

(3) (2009 湖州) 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a > 0) 的对称轴为直线 x=1, 且经过 ? 1,y1 ) 2,y 2 ) ( , ( , 试比较 y1,y 2 的大小: y1 _______ y 2 .(填“<”或“>”或“=”)

? (4) (2008 青海)二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,则点 A( b ? 4ac,
2

b )在第___________ a

象限。 (5) (2010 株洲) .已知二次函数 y = ( x ? 2a ) + ( a ? 1) ( a 为常数) ,当 a 取不同的值时,其图象构成
2

一个“抛物线系” .下图分别是当 a = ?1 , a = 0 , a = 1 , a = 2 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直 线上,这条直线的解析式是 y = .

y

o

x

(6)某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱 40 元,生产厂家要求每箱售价在 40~70 元之间(包 括 40、70 元)市场调查发现,若每箱以 50 元销售,平均每天可销售 90 箱;价格每降低 1 元,平均每天多 销售 3 箱;价格每升高 1 元,平均每天少销售 3 箱。 ⑴写出平均每天销售量 y (箱)与每箱售价 x (元)之间的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围) ;⑵求 出商场平均每天销售这种牛奶的利润 W(元)与每箱牛奶的售价 x (元)之间的函数关系式(利润 = 售价 —进价) ⑶每箱牛奶的售价定成多少元时,所获利润最大?最大利润是多少? ⑷若商场希望该品牌的纯牛奶的获利不低于 900 元,请你帮助该商场确定销售单价的范围。 (直接写答案)

4

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【家庭作业】 家庭作业】
1, 06 绵阳)如图所示,梯形 AOBC 的顶点 A,C 在反比例函数图像上, ( OA ∥BC,上底边 OA 在直线 y=x 上,下底边 BC 交 x 轴于 E(2,0) ,则 四边形 AOEC 的面积为( A.3 B. 3 ) C. 3 -1 D. 3 +1

2. 06 绍兴)如上右图所示,正方形 OABC,ADEF 的顶点 A,D,C 在坐标轴上,点 F ( 在 AB 上,点 B,E 在函数 y=

1 (x>0)的图像上,则点 E 的坐标是( x



A. (

5 +1 5 ?1 3+ 5 3? 5 , ) B. ( , ) 2 2 2 2 5 ?1 5 +1 3? 5 3+ 5 , ) D. ( , ) 2 2 2 2
2

C. (

, 3、 (08 年陕西)已知二次函数 y = ax + bx + c (其中 a > 0,b > 0,c < 0 ) 关于这个二次函数的图象有如下说法: ①图象的开口一定向上; ②图象的顶点一定在第四象限; ③图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为( A.0 B.1 C.2
2



D.3

4、 (08,威海)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图像过点 A(1,2) ,B(3,2) ,C(5,7) .若点 M(-2,y1) , N(-1,y2) ,K(8,y3)也在二次函数 y=ax +bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2
2

5、 (09 烟台)二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,则一次函数 y = bx + b 2 ? 4ac 与反比例函数

y=

a+b+c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y
?1

) y x O B. x y O C. x y O D. x

y O 1 x O A.

(第 3 题图)

7、填出抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 作如下变换后的结果: (1)关于 x 轴对称__________________; (2)关于 y 轴对称__________________; (3)关于原点对称______________________; (4)绕其顶点旋转 180°______________________; (5)向左平移 2 个单位,再下平移 2 个单位________________________;

5

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8.如图 6 所示,矩形 AOCB 的两边 OC,OA 分别位于 x 轴,y 轴上,点 B 的坐标为 B (-

20 ,5) 是 AB 边上的一点,将△ADO 沿直线 OD 翻折,使 A 点恰好落在对 ,D 3

角线 OB 上的点 E 处, 若点 E 在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是 _______. 9.已知二次函数 y=3(x-1) 2 +k 的图象上有三点 A( 2 ,y 1 ),B(2,y 2 ),C(- 5 ,y 3 ),则 y 1 、 y 2 、y 3 的大 小关系为( ) B..y 2 > y 1 > y 3
2
2

A .y 1 .> y 2 > y 3

C .y 3 > y 1 > y 2

D.y 3 > y 2 > y 1 .

10.平移抛物线 y= x +2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式
11.已知二次函数 y=ax +bx+c 图象如图(3)所示,下列结论中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是( A.4 个 B.3 个 C. 2 个 D.1 个
2 2

)

12、 (09 娄底)已知关于 x 的二次函数 y=x -(2m-1)x+m +3m+4.? (1)探究 m 满足什么条件时,二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数.?
2 (2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 x12 + x2 =5,与

y 轴的交点为 C,它的顶点为 M,求直线 CM 的解析式.

13. 13 (09 吉林)如图,在直角坐标系中,△OBA∽△DOC,边 OA、OC 都在 x 轴的正半轴上,点 B 的坐标为(6,
k 8) BAO = ∠OCD = 90°,OD = 5.反比例函数 y = ( x > 0) 的图象经过点 D,交 AB 边于点 E. ,∠ x

(1) 、求 k 的值.

(2) 、求 BE 的长.

6


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