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2015年大连24中学业水平测试数学模拟题(一)

2015 年辽宁省普通高中学生学业水平考试

数 学 模 拟 试 卷
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 100 分,考试时间 90 分钟)
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答案一律写在答题卡上,写在试卷上无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 3. 回答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选择其他答案标号。 参考公式:
柱体体积公式 V 球的体积公式 V

? Sh ,锥体体积公式 V ?

1 Sh (其中 S 为底面面积, h 为高) : 3

?

4 3 ?R (其中 R 为球的半径) 。 3

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设向量 a ? (1,0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是( A. a ? b C. a // b B. a ? b ?

1 1 2 2



2 2

D. a ? b 与 b 垂直

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3 } , B ? {x | x ? 2 } ,则右图中阴影部分表示的集合为 (



? ?) A. (4,

3) B. (?? ,

2) C. (??,
) C. [1,??)

U

3) D. (2 ,

A

B

3.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是( A. (2,??) B. (1,??)

D. [2,??)

第 1 题图

4.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( A.92 , 2 B.92 , 2.8 C. 93 , 2 D. 93 , 2.8 5.函数 f ( x) ? 2 sin x cos x 是 A.最小正周期为 2? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数 ( )



B.最小正周期为 2? 的偶函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数
1

6.已知 lg 2 ? a ,则 lg 5 ? A. 1 ? a B.



) C. 1 ? a D. 3a )

5a 2

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( A.3 B.11 C.38 D.123

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 8.满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ( ) ? x ? 0, ? ?y ? 0 3 A.1 B. C.2 D.3 2
9.下表是某厂 1—4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 第 7 题图 1 2 3 4 月份 x 4.5 4 3 2.5 用水量 y 由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程式 ^ y=-0.7x+a,则 a 等于( ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25 → → 10.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=( ) → → → → A.OH B.OG C.FO D.EO 11.从{1,2,3,4}中随机选取一个数为 a ,从{1,2}中随机选取一个 数为 b ,则 b ? a 的概率是( ) A.

1 8

B.

1 4

C.

3 8


D.

1 2

12.函数 f ( x) ? x ? sin x 的零点个数为(

第 10 题图 A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.要求直接写出结果,不必写出计算过程或推证过程) 13. cos

2? ? 3

. .

14.直线 y ? 2 x ? 1 与直线 y ? kx ? 1 垂直,则 k = 15.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高 (单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图) 。 若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参 加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取
2

第 15 题图

的人数应为

. .

16.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画 出了某多面体的三视图,则这个多面体外接球的体积为

第 16 题图 三.解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列且所对的边分别为 a , b , c . (1)求 B ; (2)若 a ? 3 sin A ? cos A ,求当 a 取最大值时 A , b , c 的值.

18.(本小题满分 10 分) 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每 间日房租每增加 1 元,客房出租数就会减少 5 间.若不考虑其他因素,旅游公司将房间租金提高 x 元,每 天客房的租金总收入 y 元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)旅游公司将房间租金提高到多少元时,每天客房的租金总收入最高?

19.(本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , AP ? AB , E , F 分别是 PB , PC 的中点. (Ⅰ)证明: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: AE ? PC .

20.(本小题满分 10 分) 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 2 , a4 ? 16 .
3

第 19 题图

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 S n .

21.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心点 C 在直线 y ? x 上,且与 x 正半轴相切, 点 C 与坐标原点 O 的距离为 2 . (1)求圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 M (1, ) 且与圆 C 相交于 A , B 两点,求弦长 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.

1 2

2014 年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷(一) 数学(答案)
一 .1-5 DBDBC 6-10 ABCDC 11-12 AB 二.13、 ? 三.
4

1 1 ;14、 ? ;15、3;16、 4 3? . 2 2

17、 解: (1)? A , B , C 成等差数列

? 2B ? A ? C,? A ? B ? C ? ?
?B ?

……………2 分 ……………4 分

?
3 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

(2)? a ?

?
6

) 且 A ? (0,

?A?
18、

是 a 有最大值 2,即 a ? 2 3 此时 ?ABC 为等边三角形,即 b ? c ? 2 解: (1)由题知 y ? (20 ? x)(300 ? 5x) 即 y ? ?5x 2 ? 200x ? 6000 ( x ? [0,60] (2)? y ? ?5( x ? 20) 2 ? 8000

?

2? ) 3

……………6 分 ……………8 分 ……………10 分

……………5 分

? x ? 20 时 y max ? 8000
所以旅游公司将房间租金提高到 40 元时,每天客房的租金总收入最高…………10 分 19、 (Ⅰ)证明: ? E , F 分别是 PB , PC 的中点 ? EF // BC ……………2 分

? BC // AD ? EF // AD ? EF ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ? EF ∥平面 PAD
(Ⅱ) 证明:

……………4 分

? AP ? AB , E 是 PB 的中点
? AE ? PB ? PA ⊥平面 ABCD ? PA ? BC ? AB ? BC 且 PA ? AB ? A ? BC ? 平面 PAB ? AE ? 平面 PAB ? AE ? BC ? PB ? BC ? B ? AE ? 平面 PBC ? AE ? PC
20、
5

……………6 分

……………8 分

……………10 分

解: (1)

? a 4 ? a1 q 3 ? q3 ? 8

……………2 分

?q ? 2

? an ? 2 n
(2) S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? 2 ……………5 分

……………4 分 ①

(Ⅱ)当 n ? 2 时, 2S n ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2 n?1 ①-②得 ? S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 整理得 S n ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ……………9 分 由(Ⅰ) (Ⅱ)得 S n ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ( n ? N )……………10 分
*



……………7 分

21、 解: (1)由题设 C (a, a) ,半径 r

? CO ? 2 ? a 2 ? a 2
? a ? ?1 ? 圆 C 与 x 正半轴相切
……………2 分

? a ? 1, r ? 1

……………4 分 ……………5 分

? 圆 C 的标准方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1
(2)

①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程 x ? 1 ,此时弦长 AB ? 2 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程: y ? 点 C 到直线 l 的距离 d ?

……………7 分

1 ? k ( x ? 1) 2
…………9 分

1 2 1? k 2

弦长 AB ? 2 1 ?

1 4(1 ? k 2 )
6

当 k ? 0 时,弦长 AB 有最小值 AB ? 由①②知当直线 l 的方程: y ?

3 ,此时直线 l 的方程: y ?

1 …………11 分 2
…………12 分

1 时,弦长 AB 有最小值 AB ? 3 2

7