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2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换阶段性测试题 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 第三章 三角恒等变换阶段性测试题 新人 教 B 版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,其 中有且仅有一个是正确的.) 1.函数 f(x)=sinxcosx 的最小值是( A.-1 1 C. 2 [答案] B 1 1 [解析] f(x)=sinxcosx= sin2x,∴f(x)min=- . 2 2 2.cos67°cos7°+sin67°sin7°等于( 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2 ) 1 B.- 2 D.1

D.1

[答案] A [解析] cos67°cos7°+sin67°sin7° 1 =cos(67°-7°)=cos60°= . 2 3 3.已知 α 为第二象限角,sinα = ,则 sin2α =( 5 24 A.- 25 12 C. 25 [答案] A 3 4 [解析] ∵α 是第二象限角,sinα = ,∴cosα =- . 5 5 3 4 24 ∴sin2α =2sinα cosα =2× ×(- )=- . 5 5 25 4.下列各式中值为 2 的是( 2 ) 12 B.- 25 24 D. 25 )

1

A.sin45°cos15°+cos45°sin15° B.sin45°cos15°-cos45°sin15° C.cos75°cos30°+sin75°sin30° tan60°-tan30° D. 1+tan60°tan30° [答案] C [解析] cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos(75°-30°)=cos45°= 2 α 5.已知 cosα = ,270°<α <360°,那么 cos 的值为( 3 2 A. C. 6 6 30 6 B.- D.- 6 6 30 6 ) 2 . 2

[答案] D α [解析] ∵270°<α <360°,∴135°< <180°, 2 2 1+ 3 30 =- . 2 6
2

α ∴cos =- 2

1+cosα =- 2

6.若函数 f(x)=sin2x-2sin x·sin2x(x∈R),则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 [答案] D [解析] f(x)=sin2x(1-2sin x)=sin2x·cos2x 1 = sin4x(x∈R), 2 ∴函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 2
2

)

B.最小正周期为 π 的奇函数 π D.最小正周期为 的奇函数 2

7.若 sinθ <0,cos2θ <0,则在(0,2π )内 θ 的取值范围是( 3π A.π <θ < 2 3π C. <θ <2π 2 [答案] B [解析] ∵cos2θ <0,得 1-2sin θ <0,
2

)

5π 7π B. <θ < 4 4 π 3π D. <θ < 4 4

2

即 sinθ >

2 2 或 sinθ <- , 2 2 2 , 2

又已知 sinθ <0,∴-1≤sinθ <-

5π 7π 由正弦曲线得满足条件的 θ 取值为 <θ < . 4 4 8.下列各式与 tanα 相等的是( A. 1-cos2α 1+cos2α ) sinα B. 1+cosα 1-cos2α D. sin2α

sinα C. 1-cos2α [答案] D [解析]

1-cos2α 2sin α = =tanα ,故选 D. sin2α 2sinα cosα )

2

π 9.若 0<α <β < ,sinα +cosα =a,sinβ +cosβ =b,则( 4 A.a<b C.ab<1 [答案] A π? π? ? ? [解析] ∵a= 2sin?α + ?,b= 2sin?β + ?, 4? 4? ? ? π π π π π 又 0<α <β < ,∴ <α + <β + < , 4 4 4 4 2 B.a>b D.不确定

? π? 且 y=sinx 在?0, ?上为增, 2? ?
π? π? ? ? ∴ 2sin?α + ?< 2sin?β + ?. 4? 4? ? ? π 3 10.已知 cos(x+ )= ,x∈(0,π ),则 sinx 的值为( 6 5 -4 3-3 A. 10 1 C. 2 [答案] B π π 7π [解析] ∵x∈(0,π ),∴x+ ∈( , ), 6 6 6 π 3 又∵cos(x+ )= , 6 5
3

)

4 3-3 B. 10 D. 3 2

π π π ∴x+ ∈( , ). 6 6 2 π 4 ∴sin(x+ )= . 6 5 π π sinx=sin[(x+ )- ] 6 6 π π π π =sin(x+ )cos -cos(x+ )sin 6 6 6 6 = 3 4 1 3 4 3-3 × - × = . 2 5 2 5 10 )

11.已知 f(tanx)=sin2x,则 f(-1)的值是( A.1 1 C. 2 [答案] B [ 解析 ] B.-1 D.0

f(tanx) = sin2x = 2sinxcosx =

2sinxcosx 2tanx 2x ,∴ f(x) = 2 ,∴ 2 2 = 2 sin x+cos x tan x+1 x +1

f(-1)=

-2 =-1. 2 )

π 12.函数 y=sinx+cosx+2,x∈[0, ]的最小值是( 2 A.2- 2 C.3 [答案] C π [解析] y=sinx+cosx+2= 2sin(x+ )+2, 4 π π π 3π ∵x∈[0, ],∴x+ ∈[ , ], 2 4 4 4 π 2 ∴sin(x+ )∈[ ,1], 4 2 ∴ymin= 2× 2 +2=3. 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) B.2+ 2 D.1

二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) π 3 π 13.设 α ∈(0, ),若 sinα = ,则 2cos(α + )等于________. 2 5 4 [答案] 1 5
4

π 3 [解析] ∵α ∈(0, ),sinα = , 2 5 4 ∴cosα = , 5 π π π ∴ 2cos(α + )= 2cosα cos - 2sinα sin 4 4 4 4 2 3 2 = 2× × - 2 × × 5 2 5 2 4 3 1 = - = . 5 5 5 14.求值:tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°=________. [答案] 3

[解析] tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50° =tan60°(1-tan10°tan50°)+ 3tan10°tan50° = 3- 3tan10°tan50°+ 3tan10°tan50°= 3. 15.化简: [答案] -1 [解析] 1+2sin610°cos430° sin250°+cos790° 1+2sin610°cos430° =________. sin250°+cos790°

= =

1+2sin?3×180°+70°?cos?360°+70°? sin?180°+70°?+cos?720°+70°? 1-2sin70°cos70° -sin70°+cos70°
2

?sin70°-cos70°? = -sin70°+cos70° =

sin70°-cos70° =-1. -sin70°+cos70°

π? π? ? ? 16.关于函数 f(x)=cos?2x- ?+cos?2x+ ?,有下列命题: 3? 6? ? ? ①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数;

?π 13π ?上单调递减; ③y=f(x)在区间? , ? ?24 24 ?
π ④将函数 y= 2cos2x 的图象向左平移 个单位后,与已知函数的图象重合. 24 其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
5

[答案] ①②③ π? π π? ? ? [解析] 化简 f(x)=cos?2x- ?+cos?2x+ - ? 3? 2 3? ? ? π? π? π? ? ? ? =cos?2x- ?-sin?2x- ?= 2cos?2x- ? 3 3 12? ? ? ? ? ? ∴f(x)max= 2,即①正确.

T=

2π 2π = =π ,即②正确. |ω | 2

π 由 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π , 12 π 13π 得 kπ + ≤x≤kπ + ,即③正确. 24 24 π 将函数 y= 2cos2x 向左平移 个单位得 24

? ? ?? y= 2cos?2?x+ ??≠f(x),∴④不正确. 24
π

? ?

??

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) π 3 17π 7π 17.(本小题满分 12 分)若 cos( +x)= , <x< ,求: 4 5 12 4 (1)cosx+sinx 的值; sin2x+2sin x (2) 的值. 1-tanx 17π 7π 5π π [解析] (1)由 <x< ,得 <x+ <2π , 12 4 3 4 π 3 又∵cos( +x)= , 4 5 π 4 ∴sin( +x)=- , 4 5 π 4 2 ∴cosx+sinx= 2sin(x+ )=- . 4 5 π π (2)cosx=cos[( +x)- ] 4 4 π π π π =cos( +x)cos +sin( +x)sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 = × - × =- . 5 2 5 2 10 17π 7π 又由 <x< , 12 4
2

6

7 2 2 ∴sinx=- 1-cos x=- , 10 ∴tanx=7, 2sinxcosx+2sin x 28 ∴原式= =- . 1-tanx 75 18.(本小题满分 12 分)(2015·河北邯郸高一期末测试)设向量 a=(2,sinθ ),b=(1, cosθ ),θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= ,求 sinθ +cosθ 的值; 6 π (2)若 a∥b,求 sin(2θ + )的值. 3 13 [解析] (1)a·b=2+sinθ cosθ = , 6 1 ∴sinθ cosθ = . 6 ∵θ 为锐角,∴sinθ +cosθ >0, ∴sinθ +cosθ = ?sinθ +cosθ ? = 1+2sinθ cosθ =
2 2

1 2 3 1+2× = . 6 3

(2)∵a∥b,∴2cosθ -sinθ =0,∴tanθ =2. π π π ∴sin(2θ + )=sin2θ cos +cos2θ sin 3 3 3 1 3 = sin2θ + cos2θ 2 2 =sinθ cosθ + 3cos θ -
2 2

3 2

= = =

sinθ cosθ + 3cos θ 3 - 2 2 sin θ +cos θ 2 tanθ + 3 3 - 2 tan θ +1 2 2+ 3 3 4-3 3 - = . 5 2 10 2 3 10 ,cosβ = ,且 α 、β 为锐角,求 α +2β 10 10

19.(本小题满分 12 分)已知 sinα = 的值. [解析] ∵sinα = 2 ,α 为锐角, 10

7

∴cosα = 1-sin α =

2

1-?

? 2?2 7 2 . ?= ? 10 ? 10

3 10 ∵cosβ = ,β 为锐角, 10 ∴sinβ = 10 ?3 10?2 1-? ? = 10 . 10 ? ? 10 3 10 3 × = , 10 10 5

∴sin2β =2sinβ cosβ =2× cos2β =1-2sin β =1-2×?
2

? 10?2 4 ?= . ? 10 ? 5

? π? 又 β ∈?0, ?,∴2β ∈(0,π ). 2? ? ? π? 而 cos2β >0,∴2β ∈?0, ?.∴α +2β ∈(0,π ). 2? ?
又 cos(α +2β )=cosα ·cos2β -sinα ·sin2β = π = . 4 1 2 20.(本小题满分 12 分)(2015·重庆文,18)已知函数 f(x)= sin 2x- 3cos x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐标不变, 得到函数 g(x) 的图象.当 x∈? 7 2 4 2 3 2 × - × = ,∴α +2β 10 5 10 5 2

?π ,π ?时,求 g(x)的值域. ? ?2 ?

1 1 3 1 3 2 [解析] (1)f(x)= sin 2x- 3cos x= sin 2x- (1+cos 2x)= sin 2x- cos 2x 2 2 2 2 2 - 3 π 3 2+ 3 =sin(2x- )- .因此 f(x)的最小正周期为 π ,最小值为- . 2 3 2 2 π 3 π ? π 2π ? ?π ? (2)由条件可知,g(x)=sin(x- )- .当 x∈? ,π ?时,有 x- ∈? , ?,从 3 ? 3 2 3 ?6 ?2 ? 1 π 3 ?1- 3 2- 3? ? π? 而 sin?x- ?的值域为[ ,1],那么 sin(x- )- 的值域为? , ?.故 g(x)在 3? 2 3 2 ? 2 ? ? 2

?1- 3 2- 3? ?π ? 区间? ,π ?上的值域是? , ?. ?2 ? 2 ? ? 2
π π π 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ). 3 4 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程;

8

π π (2)求函数 f(x)在区间[- , ]上的值域. 12 2 π π π [解析] (1)∵f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )·sin(x+ ) 3 4 4 1 3 = cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 2 2 = cos2x+ sin2x+sin x-cos x 2 2 1 3 = cos2x+ sin2x-cos2x 2 2 π =sin(2x- ), 6 2π ∴最小正周期 T= =π . 2 π π ∵2x- =kπ + ,k∈Z, 6 2 ∴x=


2

π + ,k∈Z, 3

∴对称轴方程为 x=



π + ,k∈Z. 2 3

π π (2)∵x∈[- , ], 12 2 π π 5π ∴2x- ∈[- , ]. 6 3 6 π π π ∴f(x)=sin(2x- )在区间[- , ]上单调递增, 6 12 3 π π 在区间[ , ]上单调递减. 3 2 π 当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3 π 3 π 1 又∵f(- )=- <f( )= , 12 2 2 2 π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 π π 3 所以函数 f(x)在区间[- , ]上的值域为[- ,1]. 12 2 2 22.(本小题满分 14 分)已知向量 m=(sinx,1),

A n=( 3Acosx, cos2x)(A>0),函数 f(x)=m·n 的最大值为 6.
2
9

(1)求 A 的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 1 5π 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在[0, ]上的值域. 2 24 [解析] (1)f(x)=m·n = 3Asinxcosx+ cos2x 2 =A( 3 1 sin2x+ cos2x) 2 2

A

π =Asin(2x+ ). 6 ∵A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)知 f(x)=6sin(2x+ ). 6 π π π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后,得到 y=6sin[2(x+ )+ ]的图象; 12 12 6 1 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 2

y=6sin(4x+ )的图象.
π 因此 g(x)=6sin(4x+ ). 3 5π ∵x∈[0, ], 24 π π 7π ∴4x+ ∈[ , ]. 3 3 6 5π 故 g(x)在[0, ]上的值域为[-3,6]. 24

π 3

10


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