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2012年北京朝阳区高三数学(理科)二模试题及答案

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北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第二次综合练习

数学试卷(理工类)

2012.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? ?U B =
x 2

?

?

?

?

A. x 0 ? x ? 4

?

?

B. x 0 ? x ? 4

?

?

C. x ? 1 ? x ? 0

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

2.复数 z 满足等式 (2 ? i) ? z ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 3.已知双曲线 的离心率为 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相同,则此双曲线 m 5

3 2 3 3 C. D. 2 2 4 ??? ? ???? ??? ???? ? 3 4.在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 0 ,且△ ABC 的面积为 ,则 ?BAC 2
A. 6 B. 等于 A. 60? 或 120? B. 120? C. 150? D. 30? 或 150?

5.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t, ( t 为参数) .以原点 O 为极点, ?y ? 4?t
? 4

以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? ) ,则直 线 l 和曲线 C 的公共点有 A. 0 个 B. 1 个 6.下列命题:

C. 2 个

D.无数个

p : 函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos 4 x 的最小正周期是 ? ;

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2 1) , q : 已知向量 a = (?, , b = (- 1,? ) , c = (?11) ,则 (a + b )// c 的充要条件是

? ? ?1 ;
r :若 ?
a

1

1 ,则 dx = 1 ( a ? 1 ) a ? e . x
B. p, q C. q, r D. p, r

其中所有的真命题是 A. r

7.直线 y ? x 与函数 f ( x) ? ? 值范围是 A. [?1, 2)

?

2,

x ? m, x?m

2 ? x ? 4 x ? 2,

的图象恰有三个公共点,则实数 m 的取

B. [?1, 2]

C. [2, ??)

D. (??, ?1]

8.有一个棱长为 1 的正方体,按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是 A. 1 B.

3 2 2

C.

2

D.

3

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式 (ax +
2

1 x

)5 展开式中的常数项为 5 ,则实数 a =_______.

10.执行如图所示的程序框图,输出的结果是_______.

开始 x=1,y=1,z=2

z=x+y y=z x=y z≤10 否 输出 z 结束 (第 10 题图) 是

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11.若实数 x, y 满足 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 x ? 0, ?

.

12.如图,AB 是圆 O 的直径,CD ? AB 于 D , AD ? 2BD ,E 为 AD 的中点, 且 连接 CE 并延长交圆 O 于 F . CD ? 若 EF ? _________. 则 2 , AB ? _______, C

A

E F

O

D

B

13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元,年产量为 x ( x ?N )件.当 x ? 20 时,年销售总收入为( 33x ? x 2 )万 元; x ? 20 时, 当 年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润 为 y 万元,则 y (万元)与 x (件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入 ? 年总投资) 14.在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai , j ,且满足 a1, j ? 2
j ?1

?

, ai ,1 ? i ,

ai ?1 , j ? 1? a i , j? a ?i 1( , j,i j N? ) ? ,则此数表中的
第 5 行第 3 列的数是 ;记第 3 行的 第1行 第2行 第3行 1 2 3 2 3 5 4 5 8 8 ? 9 ? 13 ?

数 3,5,8,13,22, ? ? ? 为数列 {bn } ,则数列

{bn } 的通项公式为

.

? ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.把答 案答在答题卡上. 15. (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ? m (m ? R ) 的图象过点 M (

π , 0) . 12

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b ,c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 求 f ( A) 的取值范围.

16. (本小题满分 13 分) 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球. (Ⅰ)求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率;
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(Ⅲ)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF =1 . E 1 (Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM ? CA , F

4

求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅱ)求证: AF ? 平面 EBC ; (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值. 18. (本小题满分 14 分)

A M B C

D

2a 2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ? x(a ? 0) . x
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? (??, 0) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g ( a ) ,求证: g (a ) ? 19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(? 2, 0) , B( 2, 0) , E 为动点,且直线 EA 与 直线 EB 的斜率之积为 ?

1 2 e . 2

1 . 2

(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F (1,0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.
20. (本小题满分 13 分) 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an (n ? N , n ? 2) 满足 a1 ? a n ? 0 ,且当 2 ? k ? n (k ? N )
* *

时, (a k ? a k ?1 ) ? 1 ,令 S ( An ) ?
2

?a .
i ?1 i

n

(Ⅰ)写出 S ( A5 ) 的所有可能的值; (Ⅱ)求 S ( An ) 的最大值; (Ⅲ)是否存在数列 An ,使得 S ( An ) ?
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(n ? 3)2 ?若存在,求出数列 An ;若不存在, 4
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说明理由.

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数学答案(理工类)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 9. 1 B 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D

2012.5

7 A

8 D

1
2 3 3
n ?1

10. 13

11.

1 2
16

12. 3 ,

13. y ? ?

?? x 2 ? 32 x ? 100, 0 ? x ? 20, x ? N* , ? 160 ? x, x ? 20, x ? N* ,

14. 16, an ? 2 三、解答题:

? n ?1

15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 因为点 M (

π 1 3 1 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m .……3 分 2 2 6 2

π , 0) 在函数 f ? x ? 的图象上, 12 π π 1 所以 sin(2 ? ? ) ? ? m ? 0 , 12 6 2 1 解得 m ? . 2
(Ⅱ) 因为 ccosB + bcosC = 2acosB , 所以 sin C cos B ? sin B cos C =2 sin Acos B , 所以 sin( B + C ) ? 2sin A cos B ,即 sin A ? 2sin A cos B . 又因为 A? (0, ?? ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 又因为 B ? (0, ?? ,所以 B ?

……5 分

……7 分 ……8 分

1 . 2

2 π , A?C ? π . ……10 分 3 3 π π 7π π 1 2π 所以 0 ? A ? , ? ? 2A ? ? ,所以 sin(2 A ? ) ? (? ,1] .…12 分 6 6 6 6 2 3 1 所以 f ( A) 的取值范围是 (? ,1] . ……13 分 2
16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则

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P( A) ?

3? 2 5 ? . 3 C9 84
5 .…4 分 84

答:取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数,且颜色相同的概率为 (Ⅱ)设“取出的 3 个球中恰有两个球编号相同”为事件 B,则

P( B) ?

1 1 C4C7 28 1 ? ? . 3 C9 84 3

答: 取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 (Ⅲ)X 的取值为 2,3,4,5.

1 . 3

……8 分

P( X ? 2 ) ?

1 2 2 1 C2 C 2 ? C C 2 1 C1C 2 ? C 2C1 4 2 ? , P ( X ? 3) ? 2 4 3 2 4 ? , 3 C9 21 C9 21 1 C1 C82 1 P( X ? 5) ? ? . 3 C9 3

1 2 1 C2 C62 ? C2 C6 3 P( X ? 4 ) ? ? , 3 C9 7

……11 分

所以 X 的分布列为 X P X 的数学期望 EX ? 2 ? 17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ? BC 于 N ,连结 FN , 2 3 4 5

1 21

4 21

3 7

1 3
……13 分

1 4 3 1 85 ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? . 21 21 7 3 21
E F

1 1 则 MN // AB ,又 CM ? AC ,所以 MN ? AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF ? AB , 4 所以 EF // MN ,且 EF ? MN , 所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC ,
所以 EM// 平面 FBC . ……4 分 (Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD , AB ? AD ,故 以 A 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz . 由已知可得 A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0),

A M B N C

D

z E F

E(0,0,2), F (1,0,2) . ??? ? ??? ? ??? 显然 AF = (1,0, 2), BC = (0, 4,0), EB = (4,0,-2) .

A M B x C

D

y

??? ??? ? ? ??? ??? ? 则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 ,

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??? ??? ??? ??? ? ? ? 所以 AF ? BC, AF ? EB .
即 AF ? BC, AF ? EB ,故 AF ? 平面 EBC . (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , ??? ? ??? ??? ? 由已知得, BC = (0,4,0), FB = (3,0,-2) , BD = (-4,4,0) . 因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? BC . 由已知可得 AB ? BC 且 EA ? AB = A , ??? ? 所以 BC ? 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 DFB 的一个法向量是 n ? ( x, y,z) .

……9 分

??? ? ? n ? BD ? 0, ? ?4 x ? 4 y ? 0, ? 由 ? ??? 得? ? n ? FB ? 0, ? 3 x ? 2 z ? 0, ?

? y ? x, ? 即? 3 ? z ? 2 x, ?

令 x ? 2 ,则 n ? (2,2,3) . ??? ? ??? ? BC ? n 2 17 ? 所以 cos < BC , n ?? ??? . ? 17 BC ? n 由题意知二面角 A- FB - D 锐角, 故二面角 A- FB - D 的余弦值为 18. (本小题满分 14 分) 解: (I) f ? x ? 的定义域为 {x | x ? 0} .

2 17 . 17

……14 分

f ?? x? ?

a 2a 2 ? ? 1? x ? 0 ? . x x2

2 根据题意,有 f ? ?1? ? ?2 ,所以 2a ? a ? 3 ? 0 ,

解得 a ? ?1 或 a ? (II) f ? ? x ? ?

3 . 2

……3 分

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a)( x ? 2a) ? 2 ?1 ? ? ? x ? 0? . x x x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以函数 f ( x) 在 ? a , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, a ? 上单调递减. (2)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,
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由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? ?2a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? ?2a . 所以函数 f ( x) 在 ? 0, ?2a ? 上单调递减,在 ? ?2a, ?? ? 上单调递增. (III)由(Ⅱ)知,当 a ? (??, 0) 时,函数 f ( x) 的最小值为 g ( a ) , ……9 分

2a 2 且 g (a) ? f (?2a) ? a ln(?2a) ? ? 2a ? a ln(?2a) ? 3a . ?2a

?2 g ?(a) ? ln(?2a) ? a? ? 3 ? ln(?2a) ? 2 , ?2a 1 令 g ?(a) ? 0 ,得 a ? ? e2 . 2
当 a 变化时, g ? ? a ? , g ? a ? 的变化情况如下表:

a
g?? a ?

1 (??, ? e2 ) 2


1 ? e2 2
0 极大值

1 (? e2 , 0) 2


g ?a?

?

?

1 且是极大值点, 从而也是 g ( a ) 的最大值点. ? e 2 是 g (a ) 在 (??,0) 上的唯一极值点, 2 1 1 1 1 所以 g ? a ?最大值 ? g (? e2 ) ? ? e2 ln[?2 ? (? e 2 )] ? 3(? e 2 ) 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 ? ? e ln e2 ? e ? e . 2 2 2 1 所以,当 a ? (??, 0) 时, g (a ) ? e 2 成立. ……14 分 2
19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设动点 E 的坐标为 ( x, y ) ,依题意可知

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

整理得

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . 2
………5 分 ………6 分

所以动点 E 的轨迹 C 的方程为

(II)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

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将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1 并整理得, 2

. ( 2 2 ? 1 x 2 ? 4 2 x? 2 2 ? 2 . 0 ? ?8k 2 ?8 ?0 k ) k k ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? . 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2k 2 k 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
所以 Q(

2k 2 k ,? 2 ) . 2 2k ? 1 2k ? 1

………9 分

由题意可知 k ? 0 , 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 yP ?

1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) . 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k
.………10 分

k 2k ? 1
2

?

1 2k ? 1 k

.

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 2 1 ; ? ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? 4 k 2 2 1 2 1 . ?? ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? 4 k 2 2
.………12 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [ ? 20. (本小题满分 13 分)

2 2 , ]. 4 4

.………13 分

解:(Ⅰ)由题设,满足条件的数列 A5 的所有可能情况有: (1) 0,1, 2,1,0. 此时 S ( A5 ) = 4 ; (2) 0,1,0,1,0. 此时 S ( A5 ) = 2 ; (3) 0,1,0, ?1,0.此时 S ( A5 ) = 0 ; (4) 0, ?1, ?2, ?1,0. 此时 S ( A5 ) = ?4 ; (5) 0, ?1,0,1,0.此时 S ( A5 ) = 0 ; (6) 0, ?1,0, ?1,0. 此时 S ( A5 ) = ?2 ; 所以, S ( A5 ) 的所有可能的值为: 4 , 2 , 0 , ?2 , ?4 . (Ⅱ)由 (a k ? a k ?1 ) ? 1 ,
2

……4 分

可设 ak ? ak ?1 ? ck ?1 ,则 ck ?1 ? 1 或 ck ?1 ? ?1 ( 2 ? k ? n , k ? N* ) ,
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因为 an ? an ?1 ? cn ?1 ,所以 an ? an ?1 ? cn ?1 ? an ? 2 ? cn ? 2 ? cn ?1

? ? ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?2 ? cn ?1 .
因为 a1 ? a n ? 0 ,所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 ? 0 ,且 n 为奇数, c1 , c2 ,?, cn ?1 是由

n ?1 n ?1 个1和 个 ? 1构成的数列. 2 2
所以 S ( An ) ? c1 ? (c1 ? c2 ) ? ? ? (c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 )

? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? ? ? 2cn?2 ? cn?1 .
则当 c1 , c2 ,?, cn ?1 的前

n ?1 n ?1 项取 1 ,后 项取 ? 1 时 S ( An ) 最大, 2 2
(n ? 1) 2 n ? 1 n ?1 . ?( ? ? ? 2 ? 1) ? 4 2 2

此时 S ( An ) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 证明如下: 假设 c1 , c2 ,?, cn ?1 的前

n ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,? cmt 取 ?1 ,则 2 n ?1 n ?1 c1 , c2 ,?, cn ?1 的后 项中恰有 t 项 cn1 , cn2 ,?, cnt 取 1 ,其中 1 ? t ? , 2 2 n ?1 n ?1 , 1 ? mi ? ? ni ? n ? 1 , i ? 1, 2,?, t . 2 2

所以 S ( An ) ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? ? ?

n ?1 n ?1 c n ?1 ? c n ?1 ? ? ? 2cn ?2 ? cn ?1 2 2 2 2

? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ?

n ? 1 n ?1 ?( ? ? ? 2 ? 1) 2 2

?2[(n ? m1 ) ? (n ? m2 ) ? ? ? (n ? mt )] ?2[(n ? n1 ) ? (n ? n2 ) ? ? ? (n ? nt )]

?

t (n ? 1) 2 (n ? 1) 2 . ? 2? (ni ? mi ) ? 4 4 i ?1

所以 S ( An ) 的最大值为

( n ? 1) 2 . 4

……9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,如果 c1 , c2 ,?, cn ?1 的前

?1 , c1 , c2 ,?, cn?1 的 后
S ( A )? n
t (n ? 12 ) ?? 2 4 i ?1

n ?1 项 中 恰 有 t 项 cn1 , cn2 ,?, cnt 取 1 , 则 2
t (n ? 3)2 ,则 n ? 2 ? 2 ?( ni ? m) , i 4 i ?1

n ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,? , cmt 取 2

( ? m ) S ( An ) ? n i i,若

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因为 n 是奇数,所以 n ? 2 是奇数,而 2

? (n ? m ) 是偶数,因此不存在数列 A ,
i ?1 i i
n

t

使得 S ( An ) ?

(n ? 3) 2 . 4

……13 分

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