当前位置:首页 >> 数学 >>

3.3.2简单的线性规划问题(一)课件(人教A版必修5)_图文

3.3.2(一)

3.3.2 简单的线性规划问题(一)
【学习目标】 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性目标函数的最值. 3.会求一些简单的非线性函数的最值. 【学法指导】 1.线性规划的有关概念较多,应准确把握,以利于有关数 学语言的理解和应用. 2.解决线性规划问题的基本方法是图解法,它的实质是数 形结合思想方法的具体体现.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.2(一)

1.二元一次不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,这组 约束条件都是关于 x、 y 的 一次 不等式, 所以又称为线性 约束条件. 2.z=ax+by (a、b 是实常数)是欲达到最大值或最小值所涉 及的变量 x、y 的解析式,叫做 目标 函数.由于 z=ax+ by 又是 x、y 的一次解析式,所以又叫做 线性 目标函数.

本 讲 栏 目 开 关

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.2(一)

3.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x, y)叫做 可行解 ,由所有可行解组成的集合叫做可行域 . 分别使目标函数 z=ax+by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解. 4.线性目标函数 z=ax+by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 a z z y =- x + __________ b b ,在 y 轴上的截距是b,当 z 变化时,方程表 示一组 互相平行 的直线. 当 b>0,截距最大时,z 取得 最大 值,截距最小时,z 取 得 最小 值; 当 b<0,截距最大时,z 取得 最小 值,截距最小时,z 取 得 最大 值.

本 讲 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

本 讲 栏 目 开 关

[问题情境] 在学习不等式的八条性质时,经常会遇到这样一道题目:已 知 1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求 2x-3y 的取值范围. 解答本题时容易犯下面的错误: 利用不等式中的加法法则,由原不等式组可得到 x,y 的范 围,而此法则不具有可逆性,从而使 x,y 的取值范围扩大, 这样 2x-3y 的取值范围也就随之扩大了.从而得出错误结 果:-9≤2x-3y≤11. 如果把 1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3 看作变量 x,y 满足的线 性约束条件, 把求 2x-3y 的取值范围看作求 z=2x-3y 的取 值范围,就成了一个线性规划问题.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

探究点一

线性目标函数的最值问题

问题 1 直线 l1,l2,l3,l4 的图象如图所 示,α1,α2,α3,α4 依次是它们的倾 斜角.k1,k2,k3,k4 分别是 l1,l2, l3,l4 的斜率.试按从小到大的顺序排 列 k1,k2,k3,k4. π π 解 ∵0<α1<α2<2;2<α3<α4<π.
∴tan α2>tan α1>0;tan α3<tan α4<0. ∴k3<k4<0<k1<k2.

本 讲 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

问题 2 若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则目标函数 z=x+2y

2 的最大值是________ .
解析 可行域如图所示, x z ∵z=x+2y,∴y=- + , 2 2 1 ∵- >-1, 2
∴当直线 z=x+2y 经过点 B(0,1)时, z 取到最大值,且 zmax=2.

本 讲 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 问题 非线性目标函数的最值问题

3.3.2(一)

一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义,利

用数形结合的思想加以解决,例如: ①z=x2+y2 表示可行域中的点(x,y)与原点(0,0)距离

本 讲 栏 目 开 关

的平方 ; _______
②z=(x-a)2+(y-b)2 表示可行域中的点(x,y)与点(a,

b)距离的平方; _____________ y-b ③ z= 表示可行域内的点(x,y) 与定点(a,b)连线 x- a
的斜率 ; _______

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

ay+b ④ z= (ac≠0),可以先变形为 cx+d

? b? y-?-a? a ? ? z= c · ? ,可知 d? x-?-c ? ? ?

z表

本 讲 栏 目 开 关

示可行域内的点(x,y)

? d b? a ? ? 与定点 -c,-a 连线斜率的c倍 ? ? ;

⑤z = |ax + by + c| (a2 + b2≠0) , 可 以 化 为 z = 2 2 |ax+by+c| a +b · 2 的形式,可知 z 表示可行域内的点(x,y) a +b2
2 2 到直线 ax + by + c = 0 距离的 a + b 倍. __________________________________

研一研·问题探究、课堂更高效
【典型例题】

3.3.2(一)

例 1 已知 1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求 2x-3y 的取值范围.

? ?1≤x+y≤5, 作出二元一次不等式组 ? ? ?-1≤x-y≤3

所表示的平面

本 讲 栏 目 开 关

区域(如图)即为可行域.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

2 1 2 设 z=2x-3y,变形得 y= x- z,则得到斜率为 ,且随 z 3 3 3 变化的一组平行直线.
1 -3z 是直线在 y 轴上的截距,当直线截距最大时,z 的值最 小,当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时,目标 函数 z=2x-3y 取得最小值.

本 讲 栏 目 开 关

由图可见,当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 A 时,截距 最大,即 z 最小. ? ?x-y=-1 解方程组? 得 A 的坐标为(2,3), ? x + y = 5 ?
∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 B 时,截距最小,即 z 最大.
? ?x-y=3 解方程组? ? ?x+y=1

得 B 的坐标为(2,-1).

本 讲 栏 目 开 关

∴zmax=2x-3y=2×2-3×(-1)=7. ∴-5≤2x-3y≤7,即 2x-3y 的取值范围是[-5,-7].

小结

解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域,准确

地理解 z 的几何意义,求最优解时采用“平移直线法”.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

?x+y≥3, ? 跟踪训练 1 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤3, ? 标函数 z=2x+3y 的最小值为 A.6 B. 7 C.8 D.23

则目 ( B )

本 讲 栏 目 开 关

解析 作出可行域如图所示.

由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小 值为 7.

研一研·问题探究、课堂更高效
?2x+y-2≥0, ? 例 2 已知实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ?3x-y-3≤0, ? y+1 (1)试求 z= 的最大值和最小值; x+ 1 (2)试求 z=x2+y2 的最大值和最小值.
y+1 y-?-1? 解 (1)由于 z= = , x+1 x-?-1?

3.3.2(一)

本 讲 栏 目 开 关

所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率,

y+1 因此 的最值就是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率的 x+1 最值,

研一研·问题探究、课堂更高效
如图所示,直线 MB 的斜率最大, 直线 MC 的斜率最小,
又∵B(0,2),C(1,0),
1 ∴zmax=kMB=3;zmin=kMC= . 2 1 ∴z 的最大值为 3,最小值为 . 2

3.3.2(一)

本 讲 栏 目 开 关

(2)z=x2+y2,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方, 结合图形知,原点到点 A 的距离最大,原点到直线 BC 的距 离最小.
故 zmax=|OA|
2

?|OB|· 2×1? |OC|?2 ? ? ?2 4 =13,zmin=? |BC| ? =? ? =5. ? ? 5 ? ?

小结

当斜率 k,两点间的距离,点到直线的距离与可行域

相结合求最值时,注意数形结合思想方法的灵活运用.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

?2x+y-2≥0, ? 跟踪训练 2 已知 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ?3x-y-3≤0, ?

求下

本 讲 栏 目 开 关

列函数 z 的最值: y+1 (1)z= ;(2)z=|x+2y-4|. x+ 2 y+1 y-?-1? 解 (1)将 z= 化为 z= ,问题化归为求可行域内 x+2 x-?-2?
的点 M(x,y)与点 P(-2,-1)连线斜率的最值.
1 3 由图(1)可知 zmin=kPB=3,zmax=kPC=2.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.2(一)

本 讲 栏 目 开 关

|x+2y-4| (2)将目标函数化为 z= 5· 2 2 ,问题化归为求可行域内 1 +2 的点(x,y)到直线 x+2y-4=0 的距离的 5倍的最大值.
观察图(2),点 C(0,2)到直线 x+2y-4=0 的距离最小,为 0; 4 点 A(2,3)到直线 x+2y-4=0 的距离最大,为 . 5
所以 zmax=4,zmin=0.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

本 讲 栏 目 开 关

?x≥0, ? 1.已知实数 x、y 满足约束条件?y≥0, ?x+y≤2, ?

则 z=2x+4y

8 的最大值为________ .
解析 由不等式组表示的可行域知,目

标函数 z 在点(0,2)处取得最大值 8.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
?x+y≥6, ? 2. 若 x、 y 满足?x≤4, ?y≤4, ?
解析

3.3.2(一)

y-1 则 z= 的最大值是________ . 3 x-1

作出不等式组表示的平面区域

本 讲 栏 目 开 关

如图中阴影部分所示(包括边界).
y-1 z= 可看作可行域上的点(x,y)与 x-1 定点 B(1,1)连线的斜率.
y-1 由图可知 z= 的最大值为 kAB=3. x-1

练一练·当堂检测、目标达成落实处
?y≤1, ? 3.已知实数 x,y 满足?x≤1, ?x+y≥1, ?
1 2 ________ .

3.3.2(一)

则 z=x2+y2 的最小值为

本 讲 栏 目 开 关

解析 实数 x,y 满足的可行域如图中阴 影部分所示,
则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的 平方, 故
? zmin=? ? ?

1? ?2 1 =2. 2? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.2(一)

1.用图解法求线性目标函数的最值时,要搞清楚 z 的含义, z 总是与直线在 y 轴上的截距有关. 2.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程, 还要给可行域的各顶点标上字母,平移直线时,要注意线 性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较, 确定最优解. 3.在解决与线性规划相关的问题时,首先考虑目标函数的几 何意义,利用数形结合方法可迅速解决相关问题.

本 讲 栏 目 开 关


相关文章:
3.3.2简单的线性规划问题(一)课件(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2简单的线性规划问题(一)课件(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专
...3.3.2简单的线性规划问题(一)课件 新人教A版必修5_....ppt
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(一)课件人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(一)课件人教A版必修5 ...
3.3.2 简单的线性规划问题 课件(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2 简单的线性规划问题 课件(人教A版必修5) - 3.3.2 简单的线性规划问题 自学导引 1.关于x,y的不等式(组)称为对变量x,y的约束条件,如 果约束条件...
3.3.2 简单的线性规划问题 课件2(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2 简单的线性规划问题 课件2(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 简单的线性规划问题 课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升 了解线性规划...
3.3.2简单的线性规划问题(一) 课件(人教A版必修5) (1)_....ppt
3.3.2简单的线性规划问题(一) 课件(人教A版必修5) (1)_数学_高中教
...简单的线性规划问题 课件1(人教A版必修5)_图文.ppt
【数学】3.3.2 简单的线性规划问题 课件1(人教A版必修5) - 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, ...
...3.3.2 简单的线性规划问题(人教A版必修5) 课件1_图....ppt
【数学】3.3.2 简单的线性规划问题(人教A版必修5) 课件1_数学_高中教育_教育专区。第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 问题1: 某工厂用A,B两种...
3.3.2 简单的线性规划问题课件(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2 简单的线性规划问题课件(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 简单的线性规划问题 工具 第三章 不等式 栏目导引 工具 第三章 不等式 栏目...
3.3.2简单的线性规划问题(1)配套课件 新人教a版必修5_图文.ppt
3.3.2简单的线性规划问题(1)配套课件人教a版必修5_其它课程_高中教育_教育专区。3.3.2 简单的线性规划问题(一) x-y≥6 ? ? 1.已知 x、y 满足约束...
3.3.2《简单的线性规划问题》课件4(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2简单的线性规划问题课件4(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专
【数学】3.3.2 简单的线性规划问题课件(人教A版必修5)_....ppt
【数学】3.3.2 简单的线性规划问题课件(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 复习 判断二元一次不等式表示 哪...
3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 利用简单的线性规....ppt
3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 利用简单的线性规划求最值 课件(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。课前预习巧设计 第三章不等式 3.3.2 第一...
《3.3.2 简单的线性规划问题》 课件 1-优质公开课-人教....ppt
3.3.2 简单的线性规划问题课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 不等式 《3.3.2 简单的线性规划问题》 ...
...3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5_图文.ppt
【三维设计】高中数学 第1部分 3.3.2简单的线性规划问题课件人教A版必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【三维设计】高中数学 第1部分 3.3.2简单的...
高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题(第1课时....ppt
高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)课件人教A版必修5_高中教育_教育专区。第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 (第1课时) 一....
...必修5课件:3.3.2_简单的线性规划问题(一)_图文.ppt
数学(人教A版)必修5课件:3.3.2_简单的线性规划问题(一)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 简单的线性规划问题(一) 【学习目标】 1.了解线性规划的意义,了解...
...:3.3.2.1简单的线性规划问题(人教A版必修5)_图文.ppt
高中数学课件:3.3.2.1简单的线性规划问题(人教A版必修5) - 欢迎来到数
...简单的线性规划问题 课件2(人教A版必修5)_图文.ppt
【数学】3.3.2 简单的线性规划问题 课件2(人教A版必修5) - 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 应用举例 【引例】: 某工厂用A、B两种配 件生产...
...五课件:3.3.2-1《简单的线性规划问题》(人教A版必修5)_图文_....ppt
高中数学必修五课件:3.3.2-1《简单的线性规划问题(人教A版必修5)_高中教育_教育专区。?第2课时 简单的线性规划问题 线性规划问题的有关概念: ? 1.线性...
3.3.2《简单的线性规划问题》课件4(人教A版必修5)_图文.ppt
3.3.2简单的线性规划问题课件4(人教A版必修5) - y o x 问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, ...