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5.


2 0 1 5年 第5 4 卷   第 1 期           数学通报

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“ 数列 ” 起始课的教学设计
刘 明
( ) 南京师范大学附属中学  2 1 0 0 0 3

1  教材分析 “ 数列 ” 是苏教版必修 5 第 2 章 “ 数列 ” 第1课 时, 是继函数的基本概念 、 性质和几个连续的函数 模型 ( 指数函数 、 对数函数和三角函数 ) 之后 , 学习 的一类新的 、 离散型的函数模型 , 是函数概念和性 通过“ 数 列” 起始课的学 质的进一步深化 与 运 用 . 在让学生充 分 认 识 到 数 列 是 一 个 特 殊 函 数 的 习, 同时 , 将函数的研究内容和研究方法 , 类比迁移到 数列之中 , 使学 生 了 解 数 列 的 研 究 内 容 与 研 究 方 法, 促进学生形成系统的数学知识体系 . 2  学情分析 学生已经学习 了 函 数 的 概 念 、 函数的表示方 、 法( 列表法 、 解析法 、 图象法 ) 函数的一般性质 ( 单 奇偶性 、 周期性 ) 和几个连续的函数模型 , 通 调性 、 不仅对函数有了较深刻的认 过这些内容的 学 习 , 识, 而且还初步 形 成 了 建 立 新 的 数 学 概 念 的 一 般 方法 , 具备了抽 象 与 概 括 、 类 比 与 迁 移、 归纳与演 绎等数学能力 , 这为学生学习数列概念创造了良 好的条件 . 3  教学目标 ( ) 通过生活实例 , 了解数列的概念和表示方 1 了解数列是一个特殊的函数 . 法, ( )运用 已 有 的 研 究 数 学 概 念 的 经 验 , 明确 2 数列概念的主要研究内容和基本研究方法 . ( )在学习过程中感受类比迁移 、 数 形 结 合、 3 归纳演绎等数 学 思 想 方 法 , 学会用联系的观点学 习数学 , 形成系统的知识链 , 将新知识顺利纳入已 有的知识体系 . 4  重点与难点   ( ) 重点 : 数列概念 ; 数列的三种表示方法 . 1 ( ) 难点 : 数 列 概 念 的 深 层 次 理 解, 即数列是 2 特殊的函数 .

5  教学方法 采用问题引导 下 的 探 究 式 教 学 , 即通过设计 相关问题 , 启 迪 学 生 的 思 维, 在学生的探究活动 中, 学习新知 , 积累方法 . 6  教学过程 6 . 1  突出认知   建构概念 数列 ” 这一新的概念? 问题 1  如何研究 “ 教学过程 生: 首先下定义 , 然后用符号来表示新的数学 概念 , 再就是通 过 一 些 特 殊 元 素 来 研 究 新 的 数 学 概念所具有的性质 , 然后是运算 , 最后往往还要研 究数列的运用 . 师: 你总结得非常好!经过我们前面的学习 , 我们知道 , 研究一个新的数学概念 , 往往需要经历 教 师 投 影 图 1) 那 么, 我们 这样的一个研究过程 ( . 怎样对新概念下定义呢? 生: 从 特 殊 到 一 般, 先由若干 个具体的问题抽象出数列概念 . 师: 在 建 立 概 念 时, 通常是由 再 由 一 般 回 到 特 殊. 特殊 到 一 般 , ( 看这 样 的 几 个 具 体 的 问 题 . 投影 “ 剧场 各 排 座 位 数、 有纪录以来彗 星出现 的 年 份 、 1个细胞经过若干 次分裂后细 胞 的 个 数 ” 等具体的数 列模型 ) 什么? 生: 不能调换顺 序 , 调 换 了 顺 序 后, 表示的意 义就不一样了 . 师: 像这样的一列数 , 也就是我们今天所要研 数列 ” 究的 “ . 数列的概念 : 按照一定次序排列的一列数成 为数列 , 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 .
图1

师: 这些问题中 , 数字之间 能 否 调 换 顺 序?为

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数学通报          2 0 1 5年 第5 4卷 第1期 师: 在得到了一个新概念之后 , 我们往往首先 序号 1, 2, 3,   项 …, n, …,

要做一件什么事?比如 , 学习了对数概念后 , 我们 干了一件什么事? 生: 用符号来表示 . 师: 前面我们研究了几个具体的 、 各不相同的 那么 , 能否用一般的符号来表示呢?为了解 数列 , …, …, 决这个问题 , 我们可以分别用 a 分 a a 1, 2, n, 、 …, 或 称 为 首 项) 第 2 项、 别表示 数 列 的 第 1 项 ( …, 第n 项 , 即数列的一般形式可以写成a a 1, 2, …, …, 简记为 { a a . n, n} 师: 在数列中 , 符号 { 与a a n} n 所表示的意义是 否相同?为什么? 生: 不 同. 因为{ 表 示 一 个 数 列, 不只是一 a n} 项; 而a n 仅表示数列中的第n 项 . { 师: 表 示 一 个 数 列, 不 只 是 一 项, 今后通 a n} 常要 在 其 前 面 写 上 “ 数 列” 这 两 个 字, 即“ 数列 { ” 那么 , 至少有多少项呢? a . n} 生: 3项. 师: 那么 , 对于 不 同 的 数 列 , 它们的项数有何 特点呢? 生: 项数会不同 . 比 如 剧 场 从 第 一 排 起, 各排 都有座位数 , 就是一个含有有限项的数列 ; 而细胞 分裂个数这一数列 , 如果让细胞无限地分裂下去 , 它就无穷多个项 . 师: 这样 , 我们就可以根据数列中项数的有限 和无限 , 将数列分成以下两类 : 有穷数列 : 项数有限的数列 ; 无穷数列 : 项数无限的数列 . 设计意 图   在 前 面 相 关 概 念 ( 如对数的概
1] 2] 、 念[ 平面向量的 概 念 [ 等) 教 学 过 程 中, 教师都

 ↓  ↓  ↓     ↓    a 1, a 2, a 3 , …, a n , …,

从上述的对应关系中 , 你能发现什么? 教学过程 师: 请大家思考一下 , 之后可以相互讨论 . 生: 数列是函数 . 师: 数列是函数?为什么呢? 生: 因 为 对 数 列 中 的 每 一 个 项 数 1, 2, 3, ……, ……, ……, 都有唯一的项a n, a a a 1, 2, 3, n, …… 与它对应 , , 所以 数列是一个函数 . 师: 其他同学认同这个结论吗? ( 学生大多点 头认同 ) 师: 依据函数的 定 义 , 我 们 可 以 发 现: 数列确 实是一个函数 . 因 此, 当 我 们 学 习 新 知 识 时, 要关 注到所学的新知识与原有的知识之间有无内在的 联系 , 以利于我 们 从 而 从 整 体 上 来 认 识 和 把 握 数 形成一个系统化的知识体系 . 学, 师: 我们知道了 数 列 是 一 个 函 数 , 那 么, 我们 应当继续研究数列的哪些问题呢? 生: 我们就应当研究它的定义域 、 表示法和相 应的性质 . 师: 你是怎样想到研究这些内容的呢? 生: 模仿函数的研究内容来进行研究 . 师: 回答的很好!既然数列是一个函数 , 我们 就可以用类似于研究函数的内容和方法来研究数 那么 , 数列的定义域是什么呢? 列. 生: 数 列 的 定 义 域 是: 正 整 数 集 N* ( 或它的 …, ) 有限子集 { 1, 2, 3, k} . 师: 很自然地 , 数列的值域是什么呢? 生: 数列的值域难以确定 , 因为有些数列是一 些随机数构成 的 , 比如我们用计算机产生一组随 它们也可 以 构 成 一 个 数 列 ; 有 些 数 列, 它们 机数 , 的值可能是一些有一定规律的一组数所构成的集 合, 如细胞分裂的个数 . 师: 由于数列 与 我 们 前 面 研 究 过 的 基 本 初 等 函数 ( 如指数函数 、 对数函数 、 三角函数等 ) 相比较 是有区别的 , 前面所研究的基本初等函数 , 通常是 连续型的函数 ; 而数列则是一种离散型函数 , 它的 值域规律性有时较弱 . 师: 数列的表示法有哪些呢? 生: 由于函数的 表 示 法 有 列 表 法 、 解 析 法、 图

十分重视发展 学 生 的 认 知 策 略 , 引导学生提炼总 结建构新概念 的 一 般 方 法 , 学生已经初步具备了 建构新概念的基本策略 . 因此 , 在建立 “ 数列 ” 这一 新概念时 , 通过问题 1, 引导学生将前面已经初步 形成的建立概 念 的 的 基 本 策 略 , 类比迁移到建立 数列的 概 念 建 构 之 中 , 以进一步发展学生的元 认知 . 6 . 2  注重关联 理解概念 问题 2  数列 { 中的各项a a n} k 与 各 项 序 号k ( …, …) 之间存在着如下的对应 k=1, 2, 3, n, 关系 :

2 0 1 5年 第5 4 卷   第 1 期           数学通报 象法 , 而数列是一种特殊的函数 , 那么它也应当有 这三种方法 . 师: 很好!上面的问 题 2, 就是一个列表法表 类似地 , 我们还可以用以 n 为自变 示函数的例子 . , 量的函数解析式f( 来表示 a 即a 我 n) n) f( n, n= 叫做数列 { 的通项公式 . 下 们把数列 a n) a f( n= n} 面请同学们完成例 1. 例 1 写出下列数列的一个通项公式 : 1, 4, 9, 1 6… ) ( 1 3 5 7 9 1,, 9 , 2 5, ( ) … 2 2 , 8 2 2 2 3, 5, 7, ( )-1, … 3 - 4 91 6 ( ) 4 5, 5 5, 5 5 5, 5 5 5 5, 5 5 5 5 5,… 2 -1, 3 -2, 4 -3, 5 -4, ) … ( 5 1 3 5 7 ( ) … 6 0, 1, 0, 2, 0, 3, ( ) … 7 1 1, 1 0 2, 1 0 0 3, 1 0 0 0 4, ( 解题过程略 ) 师: 同样 , 我们 也 可 以 用 图 象 表 示 数 列 , 请同 学们完成例 2. 例 2  作出下列数列前 5 项的图象 : ( ) ; ( ; ( 1 a n( n+1) 2) a 3) 1, -1, 1, n= n =4 …. -1, ( 教师 对 同 学 们 的 作 图 进 行 点 评 , 用P P T投 再提出问题 ) 影图象 , 师: 这几个数列前 5 项有何特点? 生: 是一群孤立的点 . 问题 3  函数的性 质 有 哪 些? 其 中 哪 些 性 质 在数列中依然 “ 有用 ”? 教学过程 生: 我们研究了函数的单调性 、 奇偶性和周期 性. 我觉得 , 单调性和周期性依然有用!而奇偶性 对数列而言 , 不再有用! 师: 能说说你的理由吗? 生: 因为有些数列是有单调性的 , 如细胞分裂 个数所组串的 数 列 就 是 递 增 的 ; 由于数列的定义 所 以, 不 再 具 有 奇 偶 性; 对某些数 域都是正整数 , ) 列来说 , 是具有周期性的 , 如例 3 中的第 ( 小题 . 3 师: 这位同学总结的很好 . 下面思考例 3. · 例 3  已 知 数 列 { 的通项a a n+1) n} n=( 因为 0 n+1 ( 0 )1 ) · 1 a a n+2 - n+1 n+1 - n=( 1 1 1 1 n   ( ) 1 0 1 0 n+2 ( ) - n+1 = 1 1 1 1
2 2 2 2

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()

1 0 n( , 求该数列的最大项 . n∈N* ) 1 1 师: 怎样解决这一问题? 生 1: 在 函 数 中, 欲 求 最 值 或 值 域, 通常需要

研究函数的单调性 , 因此 , 首先应当确定数列的单 调性 . 只要知道了数列的单调性 , 也就能够求出数 列的最大项 . 师: 他联系了研究函数最值的方法 , 确定了首 先确定数列的 单 调 性 这 一 研 究 方 向 , 其他同学是 否同意? ( 同学们相互交流了一会 , 基本认同 ) 师: 大家认同这一方案 , 那么怎样确定数列的 单调性呢?相互之间讨论一下 . 生 1: 如果是能够由数列的通项公式的解析 式判定数列的单调性 , 可以直接判定 , 如前面的细
n 胞分裂的数列 , 通项公式是 a 我们知道它是 n =2 ,

递增的数列 ; 如果不能直接由通项公式的解析式 似乎有点困难 . 判定出数列的单调性 , 师: 难在何处?函数的单调性中 , 我们需要在 而对于数 所研究的单 调 区 间 内 取 任 意 的 x x 1, 2, 列, 能不能这么做?如果不能 , 又该怎么做呢? 生 2: 我 们 觉 得 数 列 的 定 义 域 是 正 整 数, 因 此, 应当在通项 公 式 中 取 一 些 正 整 数 进 行 比 较 就 行了! 师: 应当怎样取呢? 生 3: 我们觉得取相邻两项a n+1 与 a n比较大 小就行了!过程如下 :


()

()

( )[ 1 0 9- n, = 1 1) 1 ( 1




所以 , 当n<9 时 , 数列 { 单调递增 ; 当 a a a n+1 > n, n} 当 n>1 数列 { n=9 时 , a a 0时, a a a 9= 1 0; n+1 < n, n} 单调递减 .
1 0 0 所以 , 数列中第 9 项和第 1 为1 0 项最大 , 9 . 1 1 师: 我们发现 , 在 研 究 数 列 的 单 调 性 时, 只要

研究 a 因为 , 只要知道了数 a n+1 - n 的符号就行了 , 也就能够确定数列 列中相 邻 两 项 的 大 小 关 系 , { 的单调性了 . a n}

2 0

数学通报          2 0 1 5年 第5 4卷 第1期 设计意 图   通 过 问 题 2, 引导学生发现数列 激发起学生的好奇心和求知欲 , 初步构建数列 时, 内容的逻辑框架 . 6 . 4  课堂小结   课后练习 问题 5 1. 什么是数列?其本质是什么? 如何来研 究 数 列? 对 于 数 列 , 将研究哪些 2. 内容? ( 布置作业 , 教 材 的 习 题, 并补充有关数列单 调性 、 以及已知数列前 n 项和 , 求数列的通项公式 ) 的问题 . 设计意图   通 过 课 堂 小 结 , 总结所学习的知 识, 提炼研究问题的方法 , 在帮助学生加深对数列 进一步领会研究数学概念的基 概念理解的同 时 , 让学生在“ 学 会” 的 同 时, 逐步做到“ 会 本方法 , 学” . 7  设计说明 问题 , 是驱动 学 生 思 维 的 源 泉! 在 数 学 教 学 中, 好的问题 , 可 以 启 动 学 生 的 思 维、 形成有效的 数学探究活动 . 因此 , 所设计的问题应当符合学生 否则 , 如果问题过大 、 过难 , 学生往往无从 的实际 , 下手 , 难以形成 有 效 的 探 究 活 动 ; 同 样 地, 也不能 “ 过小 、 过碎 , 如果教师为学生设置了许多的‘ 台 , 和‘ 路径 ’ 学生只要遵循教师所指引的路 线, 阶’ 最终都会达到目的 , 学生似乎‘ 发 现’ 或‘ 捡 到’ 了 什么 , 但实际上教师早就把结果放在了探究的 ‘ 必 上, 这 样 的 引 导, 在很大程度上就失去了 经之路 ’
[ 4] ‘ ” 发现 ’ 的意义 . 从本节课的教学实践的结果来

是一个特殊的函数 . 在明确了数列就是函数之后 , 通过类比函数 的 研 究 内 容 和 研 究 方 法 , 进一步地 这样 设 计 的 目 的 是 促 使 学 生 从 整 体 上 研究数列 . 认识数学 , 把所 学 的 数 学 知 识 与 方 法 串 成 一 个 完 “ 整的系统 . 实际上 , 在学习和运用概念过程中 , 激 其实质是激活这个概念所构成的 活某个概念时 , 因此 , 教学每一个概念都应当从概念所处的 网络 . 系统出发 , 促进 学 生 建 立 新 旧 概 念 之 间 的 各 种 联 实现概念网络的建构与扩展 , 使新的概念称为 系, 学生内部概念网络的一个有机组成部分 . 这样 , 数 学概念教学不 再 是 个 别 概 念 的 教 学 , 而是通过学 生学习概念的各种活动 , 使学生获得概念域 、 概念 ” 网络 , 直至完成对概念系统的理解与掌握 . 6 . 3  明晰内容   构建框架 表示与相关 问题 4  在 研 究 了 数 列 的 概 念 、 , 性质之后 我们应当继续研究什么呢? 教学过程 生: 我们觉得应当研究数列当中的特殊元素 , 以及这些元素所具有的性质 . 此外 , 还应当研究数 列的运算 . 师: 很好!数列中有哪些特殊元素呢? 生: 等差数列和等比数列 . 师: 是的 , 在本 章 中 , 我们将要研究等差数列 与等比数列 , 以及等差数列与等比数列的一些性 此外 , 我们还要研究数列的运算 , 主要包含 : 数 质. 的通项公式 a 数列 { 的前 n 项 列{ a n), a f( n} n} n= 和Sn , 其中
[ 3]

所设计的问题 , 留给了学生恰到好处的思维空 看, 间, 而且所设计 的 问 题 , 不 仅 包 含 了 知 识 层 面, 而 且还包含了认知层面 . “ 数学教学不仅仅是传授数学知识 , 更重要的 是 发 展 学 生 的 认 知 结 构、 完善学生的认知体
[ 5] ” 系. 认知策略不 仅 影 响 着 学 生 学 习 、 记忆和思

S a a a n∈N. n= 1+ 2+ … n, : , 师 那么 已知数 列 { 的 前 n 项 和 Sn , 你能 a n}
求出数列 { 的通项公式 a a n} n 吗? 例 4  数列 { 的前n 项和为Sn . a n}
2 ( ) 若S 求数列 { 的通项 1 n -n+1, a n =2 n} ; 公式

而且在一个情境中已经获得 维的任何一个 阶 段 , 的概念学习策略可以迁移到另一个新概念学习的 并有 助 于 新 概 念 的 学 习 . 因 此, 教师应 情境中去 , 当根据学生先 前 已 有 的 学 习 经 验 , 来组织新内容 的学习 , 而不应 当 是 采 用 简 单 重 复 的 方 法 来 教 授 新的内容 . 从本节课来看 , 正是将在此之前已经研 成功迁移到数列这一新概 究过的概念学 习 策 略 , 念的学习之中 . 从学生的课堂表现来看 , 是相当成 功的 , 这说明经过师生一个多学期的共同努力 , 学

n ( ) , 若S 求数列 { 的通项公式 . 2 a n =3 -1 n}

( 由学生板演 , 并进行讲评 , 具体过程略 . 并总 ) 结结论 .

a 1 烄 a n= 烅 S S n- n-1 , 烆 设计意 图   通 过 问 题 4, 让学生明确数列该
继续研究什么?从而在明确下阶段学习内容的同

2 0 1 5年 第5 4 卷   第 1 期           数学通报 生元认知能力已经得到较大程度的提高 . “ 当学生在原有的理解基础上学习新概念时 , 他们 就 会 逐 渐 意 识 到 各 个 数 学 问 题 之 间 的 联
[ 6] ” “ 当学生能将数学观点联系在一起时 , 他们 系. [ 6] ” 本 节 课, 通过恰当的 的理解会深刻 并 且 牢 固 .

2 1

参考文献 “ ] 对数的概念 ” 教学设计 [ 数学通报 , 1  张萍 . J . 2 0 1 4, 4: 2 8~3 0 — —“ 重视参 与 建 构 培 养 认 知 策 略 — 平 面 向 量 概 念” 的 2  童正卿 . ] 教学实践与思考 [ 数学通报 , J . 2 0 1 4, 5: 2 4~2 6 现代认知观 下 的 数 学 概 念 学 习 与 教 学 [ 南 京: 江 3  李善良 . M] . 苏教育出版社 , 2 0 0 5, 1 2: 3 0 6 美国现代数学教育改革 [ 北京: 人民教育出版, 4  聂必凯等 . M] . 2 0 1 0, 1 0: 1 8 3 第六届全国 高 中 数 学 青 年 教 师 优 质 课 观 摩 与 展 示 活 动 5  刘明 . ] 数学通报 , 观后感 [ J . 2 0 1 3, 9 . 美国学校数学教育的原则和标准 6  全美数 学 教 师 理 事 会 . [ 蔡金法等译 . 北京 : 人民教育出版社 , M] . 2 0 0 4, 1 2: 3 1 8, 6 2

在学生原有的对函数概念的理解的基础上 , 问题 , 引导学生发现 数 列 即 函 数 , 从而建立起数列与函 在为学生深入地理解数列的概念 数之间的联系 , 创造了良好条 件 的 同 时 , 也有利于学生建立起系 统的知识网络 .

( 上接第 3 页 ) 了头 , 有关刊物上有为 “ 学生的算法多不起来怎么 学生根本就想不到 , 甚至是课本上 办?有些算法 , 已经列出来的算法 , 学生也有的说不到点子上 , 那 ” 出 谋 划 策 的, 又该怎么办? 也有对“ 不会优化”
[ 6]

新标准解读的 这 些 论 述 , 对计算教学给出了 一条和 “ 算法多样化 ” 完全不同的路线 . 总而言之 , 新旧两个课程标准之间的反差是 很大的 . 标准实 验 稿 的 课 程 理 念 对 我 国 数 学 教 学 形成了巨大的 冲 击 , 新课程标准对标准实验稿在 这种现象在新中 理论层面又作 了 大 幅 度 的 修 正 , 国数学教育发 展 史 上 是 罕 见 的 , 对我国中小学数 学教育的影响是深远的 , 值得认真研究 , 不可以轻 轻带过 .
参考文献 实验 1  中华人民共和国 教 育 部 制 定 .义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 ( [ ] 稿) 北京 : 北京师范大学出版社 , S . 2 0 0 1, 7 数学课程标准研制 组 . 义务教育数学课程 2  教育部基础教育司 , 标准 ( 实验稿 ) 解读 [ 北京 : 北京师范大学出版社 , M] . 2 0 0 8, 7 义务教育数学课程标准( 3  中 华 人 民 共 和 国 教 育 部 制 定 . 2 0 1 1 [ ] 年版 ) 北京 : 北京师范大学出版社 , S . 2 0 1 2, 1 义务教育数学课程标 4  教育部基础教育 课 程 专 家 工 作 委 员 会 , 准修订组 . 义务教 育 数 学 课 程 标 准 ( 解读[ 北 2 0 1 1 年 版) M] . 京: 北京师范大学出版社 , 2 0 1 2, 2 ] 亲历者的视角[ 5  刘 坚 .新 世 纪 课 程 变 革 : J .北 京 大 学 教 育 评 论, 2 0 1 3, 1 0 ] 对小学数学课算法多样化的思考[ 人 民 教 育, 6  陈清 容 . J . 2 0 0 4, 3-4 — —关于算 法 多 样 化 的 几 点 做 法 优化算法 收放有 度 — 7  余春香 . [ ] 数学学习与研究 , J . 2 0 1 2, 6 ] 8  刘凤翥 .我看数学课程改革 [ J .课程 · 教材 · 教法 , 2 0 1 3, 3 ] 小 9  刘凤翥 .再谈算法多样化 [ J .中 小 学 数 学 , 2 0 1 4, 1-2 月 ( 学)

“ 不以 为 意 的 : 尊 重 不 同 学 生 个 体 的 不 同 选 择, …… 至于有的学生在优化过程中暂时不能找到优 于原先算法时 , 教师不要拔苗助长 , 只要学生参与 其情感态度 、 数学思维都能 到这个优化的过程中 , ” 以致追求算法多 得到培养才是最主要的目标 .
[ 7]

计算的通法通则被冷落 . 这种 样化成为一种风尚 , 甚至还有新的出版物认为 “ 提 影响至今仍然存在 , 倡算法多样化 ” 是标准 2 0 1 1 年版的重要理念 . 实际上 , 在标 准 2 算法多样化已 0 1 1 年 版 中, “ 经消失了 , 取代 它 的 是 一 个 新 的 核 心 概 念: 运算 能力 ” 运算能力主要是指能够根据法则和 运 算 .“ 律正确地 进 行 计 算 的 能 力 ” “ 根据一定的数学
[ 3] 6

法则和定理 , 由一些已知量通过计算得出确 概念 、 定结果的过程 , 称为运算 . 能够按照一定的程序与 步骤进行运算 , 称 为 运 算 技 能. 不 仅 会 根 据 法 则、 公式等正确地进行运算 , 而且理解运算的算理 , 能 称为运算能 够根据题目条 件 寻 求 正 确 运 算 途 径 , ” 力.
[ 4] 9 8

“ …… 在 反 复 学习与掌 握 数 与 式 的 运 算 ,

相互交流的过程中 , 不仅会逐步形成运算技 操练 、 ‘ ‘ 能, 还会引发对 ‘ 怎样算 ’ 怎样算得好 ’ 为什么要 这样算 ’ 等一系列问题的思考 . 这是由法则到算理 的思考 , 使运算从操作的层面提升到思维的层面 ,
[ 4] 1 0 1 ” 这是运算能力发展的重要内容 .


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