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高中数学:2.2《圆的标准方程》教案(苏教教必修2)

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版] 第 13 课时 圆的标准方程 教学目标 (1)认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法; (2)掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径; (3)能根据所给条件,通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程. 教学重点 圆的标准方程及其运用. 教学难点 圆的标准方程的推导和运用. 教学过程 一、问题情境 1.情境: 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥,其圆拱所在的曲线是圆,我们能否表示出该圆弧所 在圆的方程呢? 2.问题: 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系?如果没有坐标系, 我们应该怎样建立坐标系? 如何找到表示方程的等式? 二、学生活动 回忆初中有关圆的定义,怎样用方程将圆表示出来? 三、建构数学 1. 由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆 的标准方程: 一般地,设点 P( x, y) 是以 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆 上的任 意一点,则 | CP |? r ,由两点间 距离公式,得到: P( x, y) C ( a, b) O ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 即 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (1) ; 反 过 来 , 若 点 Q 的 坐 标 ( x0 , y0 ) 是 方 程 (1) 的 解 , 则 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 即 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r , 这 说 明 点 Q( x0 , y0 ) 到 点 C ( a ,b )的 距 离 为 r 即 点 Q 在 以 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆上; 2.方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 叫做以 ( a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程; 3.当圆心在原点 (0, 0) 时,圆的方程则为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ; 特别地,圆心在原点且半径为1的圆通常称为单位圆;其方程为 x 2 ? y 2 ? 1 四、数学运用 1.例题: 例 1.分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径: ⑴ ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 7 ; ⑶ x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 ⑸ ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 解: (如下表) 方程 圆心 半径 ⑵ ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 18 ⑷ x2 ? y 2 ? 144 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 7 ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 18 (2,3) (?5, ?4) (0, ?1) 7 3 2 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 x2 ? y 2 ? 144 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 3 12 2 (0, 0) (4, 0) 例 2. (1)写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的圆的方程,并判断点 M (5, ?7) , N (? 5, ?1) 是否在这个圆上; (2)求圆心是 C (2,3) ,且经过原点的圆的方程。 解: (1)∵圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 ∴该圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 把点 M (5, ? 7) 代入方程的左边 (5 ? 2)2 ? (?7 ? 3)2 ? 32 ? 42 ? 25 =右边即点 M (5, ?7) 的坐 标适合方程,∴点 M (5, ?7) 是这个圆上的点; 把 点 N (? 的 5? , 1 ) 坐 标 代 入 方 程 的 左 边 (? 5 ? 2)2 ? (?1 ? 3)2 ? 13 ? 4 5 ? 25 即 点 N 不在这个圆上; N (? 5 ? , 坐标不适合圆的方程,∴点 1) (2)法一:∵圆 C 的经过坐标原点, ∴圆 C 的半径为 r ? (2 ? 0) 2 ? (?3 ? 0) 2 ? 22 ? 32 ? 13 因此所求的圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? (?3))2 ? 13 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ; 法二:∵圆心为 C (2, ?3) ∴设圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 ∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即 (0 ? 2)2 ? (0 ? 1)2 ? r 2 即 r ? 13 2 ∴所求圆的标准方程为: ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 例 3. (1)求以点 A(1, 2) 为圆心,并且和 x 轴相切的的圆的标准方程; (2)已知两点 P(4,9) , Q(6,3) ,求以线段 PQ 为直径的圆的方程. 解: (1)∵圆与 x 轴相切∴该圆的半径即为圆心 A(1, 2) 到 x 轴的距离 2 ; 因此圆的标准方程为 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 ; 2 2 (2)∵ PQ 为直径∴ PQ 的中点 M 为该圆的圆心即 M (5,6) 又∵ | PQ |? (6 ? 4) 2 ? (3 ? 9) 2 ? 4 ? 36 ? 2 10 ∴ r ? 2 2 | PQ | ? 10 2 ∴圆的标准方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10 例 4.已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,车辆宽 度为 3m ,高为 3.5m 的货车能不能驶入这个隧道? 解:以某一截面半圆的圆心为原点,半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图所示, 那么半圆的方程为: x2 ? y 2 ? 16( y ? 0) 2 将 x ? 3 代入得 y ? 16 ? 3 ? y 4 7 ? 9 ? 3 ? 3.5 A 即离中心线 3m 处,隧道的高度低于货车的高度 因此,该货车不能

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