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江苏省泗阳中学2011-2012学年高一数学下学期期末考试试题苏教版


江苏省泗阳中学 2011-2012 学年度第二学期高一数学期末试卷
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸的 指定位置上. ..... 1. 在△ABC 中, A∶sinB∶sinC=3∶2∶4, A、 C 分别所对边 a : b : c =_____☆______. sin 则 B、 2. 在等比数列 {an } 中, a1 ? 0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? ☆ .

3.给出以下四个判断: ①线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 不一定在平面 ? 内;②两平面有一个公共点,则它们 一定有无数 个公共点;③三条平行直线共面;④有三个公共点的两平面重合. 其中不正确的判断的个数为 ☆ . ... 4.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , b ? 3 ,∠C=30?; 则△ABC 的面积是 ☆ . 5.已知数列 ? 1, a1 , a 2 ,?4 成等差数列, ? 1, b1 , b2 , b3 ,?4 成等比数列,则

a2 ? a1 的值为 b2

☆ . 6.如图,平面四边 形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的四条边上,若直线 EF 与 GH 相交, 则它们的交点 M 必在直线 ☆ 上. 7.已知三角形 ABC 中,有: a tan B ? b tan A ,则三角形 ABC 的形状是 ☆ .
2 2
A H

8. 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ? 5 , a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 则
2




B

E

D G C

9.下列四个命题: ①若 a // ? , b ? ? 则 a // b , ③若 a // b, b ? ? 则 a // ? , 其中为真命题的序号有 ☆

②若 a // ? , b // ? 则 a // b ④若 a // ? , a // b 则 b // ? 或 b ? ? . (填上所有真命题的序号)

F

第 6 题 图

10. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ☆ . 11.已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0 , n ? l,2,…,且 a5 ? a2 n?5 ? 2 时, log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? ☆ . ☆ .
2n

? n ? 3? ,则当 n ? 3

12.等腰△ABC 的周长为 3 2 ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小值

13.[选做题]本题包括 A、B 两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按 A 题评分。 ......... A.不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x

☆ . B.若 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm ,点 A 到平面 ? 的距离为 6 cm ,则点 B 到平面
1

? 的距离为

14.对于数列 ?an ? ,定义数列 ??an ?满足: ?an ? an?1 ? an, ? N ? ) ,定义数列 ?2 an (n

__ ☆___ cm .

满足: ?2 an ? ?an?1 ? ?an, ? N ? ) ,若数列 ?2 an 中各项均为 1,且 a21 ? a2012 ? 0 , (n 则 a1 ? ____☆____.

?

?

?

?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 计 请将答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ) c= 7 ,且△ABC 的面积为 若

3 3 2

,求 a+b 的值。

16.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d<0, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且

b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .
(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)求 Sn 的最大值.

2

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形, 求证:MN/ /平面 PAD.
P N D C

A

B M 第 17 题图

18. (本小题满分 16 分) 如图一个三角形的绿地 ABC , AB 边长 8 米,由 C 点看 AB 的张角为 45 ,在 AC 边上一
? 2 C 点 D 处看 AB 得张角为 60 , A ? D 且 D ?

, 试求这块绿地的面积。
B

A

D

C

第 18 题图

3

19.(本小题满分 16 分) [选做题]本题包括 A、B 两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按 A 题评分。 .........
2 ) A.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 ?(? ? 1 ,画面的 上下各留 8cm 的空白,左右各留 5cm 的空白. (1)试确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用的纸张面积最小;

2 3 (2)当 ? ? [ , ] 时,试确定 ? 的值,使宣传画所用纸张面积最小。 3 4

D1 A1 C1 B1

B. 如 图 , 在 六 面 体 ABCD ? A B1C1 D1 中 , AA // CC1 , 1 1
A B ? A D , AB ? AD . 1 1

求证: (1) AA ? BD ; (2) BB1 // DD1 . 1 D A B
第 19(B)题图

C

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1 ,其中 n ? 2 ,

n ? N* .
(1)求证;数列 ?an ? 为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Tn 的取值范围. (an ? 1)(an ? 1)
a
*

(3)设 cn ? 4 n ? (?1) n?1 ? ? 2 n (? 为非零整数, n ? N ) ,试确定 ? 的值,使得对任意

n ? N* ,都有 cn?1 ? cn 成立.

4

江苏省泗阳中学 2011-2012 学年度第二学期 高一数学期末试卷(答案) (总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸的 指定位置上. ..... 1 . 在 △ABC 中 , sinA∶sinB∶sinC = 3∶2∶4 , 则 A 、 B 、 C 分 别 所 对 边

a : b : c =______☆_______.
2. 在等比数列 {an } 中, a1 ? 0, a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? ☆ .-6

3.给出以下四个判断: ①线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 不一定在平面 ? 内;②两平面有一个公共点,则它们 一定有无数个公共点;③三条平行直线共面;④有三个公共点的两平面重合. 其中不正确的判断的个数为 ☆ .3 ... 4.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , b ? 3 ,∠C=30?; 则△ABC 的面积是 ☆ . 3

4
A H

5. 已知数列 ? 1, a1 , a 2 ,?4 成等差数列, ? 1, b1 , b2 , b3 ,?4 成等比数列,

a ? a1 则 2 的值为 b2



1 . 2
B

E

D G C F

6.如图, 平面四边 形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的四条边 上,若直线 EF 与 GH 相交,则它们的交点 M 必在直线 ☆ 上。AC 7.已知三角形 ABC 中,有: a tan B ? b tan A ,则三角形 ABC 的形状
2 2

第 6 题图





等腰三角形或直角三角形 ☆ .40

8.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 5 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 9.下列四个命题: ①若 a // ? , b ? ? 则 a // b ,②若 a // ? , b // ? 则 a // b ③若 a // b, b ? ? 则 a // ? ,④若 a // ? , a // b 则 b // ? 或 b ? ? 其中为真命题的序号有 ☆ . (填上所有真命题的序号)④

10. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ?

5

☆ .3/4 11.已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0 ,n ? l, …, a5 ? a n5 ? 22n ? n ? 3? , 2, 且 则当 n ? 3 时, 2 ?

log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?

☆ . n ? 2n ?1?

12.等腰△ABC 的周长为 3 2 ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小值 ☆ .1 13.[选做题]本题包括 A、B 两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按 A 题评分。 ......... A.不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? 1对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 x

☆ . (1,3) B.若 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm ,点 A 到平面 ? 的距离为 6 cm ,则点 B 到平面 __ ☆___ cm 。2 或 14 ? 的距离为 14. 对于数列 ?an ? ,定义数列 ??an ?满足: ?an ? an?1 ? an, ? N ? ) ,定义数列 ?2 an 满 (n 足: ?2 an ? ?an?1 ? ?an, ? N ? ) ,若数列 ?2 an 中各项均为 1,且 a21 ? a2012 ? 0 ,则 (n
a1 ? ____☆____.20110

?

?

?

?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 计 请将答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ) c= 7 ,且△ABC 的面积为 若

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得, 分

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

………………3

Q sin A ? 0,? sin C ?
分 (2) Q c ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?

?
3

……………6

7, C ?

?
3

. 由面积公式得
………………9 分

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ② ………………12 分

6

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5 16.(本小题满分 14 分)

………………14 分

已知等差数列 {an } 的公差 d<0, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且

b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .
(1)求 an 与 bn ; (2)求 Sn 的最大值.

解、 (1)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,则

an ? 3 ? (n ? 1)d ,
依题意有 ?

bn ? qn?1


..........2 分

? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64
6 ? ?d ? ? 5 或? ? ? q ? 40 ? 3 ?

?d ? 2 解得 ? , (舍去) ?q ? 8
6 5

..........4 分

故 a n ? 3 ? (n ? 1) ? (? ) ? ? (2) S n ? ? n ?
2

6 21 40 n ? , bn ? ( ) n ?1 5 5 3

..........7 分 ..........10 分 ..........12 分

18 n 5 3 27 2 = — (n ? 3) ? 5 5
27 5

3 5

∴当 n ? 3时S n的最大值为

..........14 分

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形, 求证:MN/ /平面 PAD. 证明:取 PD 的中点 E,连结 EA,EN………………3 分 P ∵M 为 AB 中点,∴AM=

1 AB, ……………5 分 2
D

N C

∵E、N 为 PD、PC 中点, ∴EN 平行且等于

1 DC, 2

……………7 分 ……………9 分 ………………11
A M B

∵AB 平行且等于 DC,∴AM∥EN 且 AM=EN 四边形 AMNE 为平行四边形,MN∥AE, 分

第 17 题图

又∵MN 不包含于平面 PAD ,AE 包含于平面 PAD ,…………13 分 ∴MN 平行于平面 PAD ………………14 分 18. (本小题满分 16 分) 如图一个三角形的绿地 ABC ,AB 边长 8 米, C 点看 AB 的张角 由

B

7
A D C

第 18 题图

? ? 为 45 ,在 AC 边上一点 D 处看 AB 得张角为 60 ,且 AD ? 2DC ,试求这块绿地的面积。

解法 1:设 DC=x,在△BDC 中,由正弦定理得: BD=

x sin 45? 3 ?1 = x ……………………………3 分 sin(60? ? 45?) 2

BC=

x sin(180? ? 60?) 6 ( 3 ? 1) ? x …………………6 分 sin(60? ? 45?) 2

在△ABC 中,由余弦定理得: 8 =?
2

6 ( 3 ? 1) x 2

?2 ? 3x) ? 2 ? ( 2

6 ( 3 ? 1) x ? ? 3x ? cos 45? ……………9 分 2

32 …………………………………10 分 3 于是, ABC 的面积 S=
故x=
2

1 1 6 ( 3 ? 1) 2 AC ? BC ? sin 45? ? ? 3x ? x? 2 2 2 2 ?

…………………………………13 分

3 3 ( 3 ? 1) 2 3 3 ( 3 ? 1) 32 x ?? ? ? ? 8 ? (3 ? 3) (平方米)………15 分 4 4 3

答:这块绿地的面积为 8 ? (3 ? 3) 平方米…………………………16 分

解法 2: 作 BE⊥AC.设 DE=x(米), 则 BE= x tan?BDA ? x tan60? ? 3x ………………………………3 分 由于 ?C ? 45 ?, 故△BCE 为等腰直角三角形 CE=BE= 3x DC=CE-DE= 3x -x AD = 2DC=2( 3x -x) 故 AE=AD-DE =2 3x -3x …………………………………8 分 …………………………………6 分

在 Rt△ABE 中,根据勾股定理得 2 2 2 BE +AE =AB ( 3x )?+(2 3x -3x)?=8? 解得 x?= …………………………………10 分

16 2 ? ( 3 24 - 12 3

64

=

3 )

…………………………………12 分

8

AC=AD+DC=3 DC=3 3x -3x

ABC 的面积 S=

1 1 3 AC ? BE ? (3 3 x ? 3 x) ? 3 x ? ? (3 ? 3 ) ? x 2 2 2 2

?

3 16 2 ? 3) ( ? (3 ? 3 ) ? ? 8(3 ? 3) (平方米) …………15 分 2 3

答:这块绿地的面积为 8(3 ? 3) 平方米……………………………16 分 19.(本小题满分 16 分) [选做题]本题包括 A、B 两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按 A 题评分。 .........
2 ) A.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 ?(? ? 1 ,画面的 上下各留 8cm 的空白,左右各留 5cm 的空白. (1)试确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用的纸张面积最小;

2 3 (2)当 ? ? [ , ] 时,试确定 ? 的值,使宣传画所用纸张面积最小。 3 4

D1 A1 C1 B1

B. 如 图 , 在 六 面 体 ABCD ? A B1C1 D1 中 , AA1 // CC1 , 1
A B ? A D , AB ? AD . 1 1

求证: (1) AA ? BD ; (2) BB1 // DD1 . 1 D A B
第 19(B)题图

C

A.解: 设画面的高为 xcm ,宽为 ?xcm ,则 ?x 2 ? 4840,……………………… ()……2 分 (1)设纸张面积为 S ,则有 S ? ( x ? 16)(?x ? 10) ……………………………4 分

? ? x 2 ? (16? ? 10) x ? 160 5 ? 5000 ? 44 10(8 ? ? ) ? 6760

……………………………5 分

?

当且仅当 8 ? ?

5

?

时,即 ? ?

5 时, S 取最小值, 8

……………………………6 分

此时,高 x ?

4840

?

5 ? 88cm ,宽 ? x ? ? 88 ? 55cm .……………………………8 分 8
S(λ ) 在 [ , ] 上 单 调 递

(2) 如 果

? ?[ , ] , 则 上 述 等 号 不 能 成 立 . 函 数

2 3 3 4

2 3 3 4

增.…………11 分
9

现证明如下: 2 3 设 ? ?1 ? ? 2 ? , 3 4 则 S (? ) ? S (? ) ? 44 10(8 ? ? 1 2 1
5

?1

? 8 ?2 ?

5

?2

)

? 44 10( ?1 ? ?2 )(8 ?
2 5 ? ?8? 3 8

5

?1?2
5

)

因为 ?1?2 ?

?1?2

? 0,

又 ?1 ? ?2 ? 0 , 所以 S (?1 ) ? S (?2 ) ? 0 ,故 S (? ) 在 [ , ] 上单调递增, ……………………………14 分 因此对 ? ? [ , ] ,当 ? ?

2 3 3 4

2 3 3 4

2 时, S (? ) 取得最小值. 3

……………………………16 分 D1 A1 B1 C1

B.证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M , 因为 A D ? A B , AD ? AB , 1 1 所以 BD ? AM , BD ? A1M .……………4 分 又 AM ? A M ? M , AM 、A M ? 平 面 1 1
A AM, 1

所以 BD ? 平面 A AM . 1 而 AA ? 平面 A AM , 1 1 所以 AA ? BD .……………………8 分 1 (2)因为 AA // CC1 , 1
CC AA ? 平面 D1 DCC1 , 1 ? 平面 D1 DCC1 , 1

D A B
第 19(B)题图

C

所以 AA // 平面 D1DCC1 .……………10 分 1 又 AA ? 平 面 A ADD1 , 平 1 1
D1 D ?1 C ,………13 分 C D 1 D



A ADD1 ? 1





所以 AA1 // DD1 .同理得 AA // BB1 , 1 所以 BB1 // DD1 .…………………………………………16 分 20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ? 1 ,其中 n ? 2 ,

n ? N* .
(1)求证;数列 ?an ? 为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn ? a n ?
n

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Tn . 2n
n?1

(3)设 cn ? 4 ? (?1)

,试确定 ? 的值,使得对任意 ? ? 2a (? 为非零整数, n ? N* )
n

10

n ? N* ,都有 cn?1 ? cn 成立.
解: (1)由已知, ? Sn?1 ? Sn ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? 1( n ? 2 , n ? N ) ,
*

即 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,且 a2 ? a1 ? 1 .
*

∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.…………….3 分 ∴ an ? n ? 1 .…………….4 分 (2) ∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? ( n ? 1) ?

1 2n

1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? (n ? 1) ? n .......... 1) .( 2 2 2 2 ∴ 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? .......... ? n ? n ? (n ? 1) n ?1 .......... 2) ...... ( 2 2 2 2 2 Tn ? 2 ?
1 1 1 1 1 (1) ? (2)得: Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2 n?3 Tn ? 3 ? n ……………………………………6 分 2 n?3 n?3 代入不等式得: 3 ? n ? 2,即 n ? 1 ? 0 2 2 n?3 n?2 ? 1, 则f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ?1 ? 0 设 f ( n) ? n 2 2
∴ f (n) 在 N ? 上单调递减, ∵ f (1) ? 1 ? 0, f (2) ? …………………………………8 分

1 1 ? 0, f (3) ? ? ? 0 4 4

∴当 n=1,n=2 时, f (n) ? 0,当n ? 3时,f (n) ? 0 所以 n 的取值范围为

n ? 3, 且n ? N ?

……………………………10 分

(3)∵ an ? n ? 1 ,∴ cn ? 4n ? (?1) n?1 ? ? 2 n?1 ,要使 cn?1 ? cn 恒成立, ∴ cn?1 ? cn ? 4
n?1

? 4n ? (?1) n ? ? 2n?2 ? (?1) n?1 ? ? 2n?1 ? 0 恒成立,
n ?1

n ∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ?1?

2n ?1 ? 0 恒 成 立 ,



n ?1 ? ?1? ? ? 2n?1

恒 成

立.……………..12 分 (ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2 ∴? ? 1. (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2
n ?1 n ?1
n?1 恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2 有最小值为 1,

恒成立,当且仅当 n ? 2 时, ?2

n?1

有最大值 ?2 ,
11

∴ ? ? ?2 . 即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 .
* 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .…………16 分

12


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