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浙江省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第8部分立体几何2

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浙江省各地市 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 部分: 浙江省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 8 部分 立体几何 2
三、解答题: 解答题: 20.(浙江省温州市 2011 年高三第一次适应性测试理科)(本题满分 14 分)如图,已知三 ( A 年高三第一次适应性测试理科) A 角形 ?ABC 与 ?BCD 所在平面互相垂直,且

∠BAC = ∠BCD = 900 , AB = AC , CB = CD ,点 P , Q 分别在线段 BD, CD 上,沿直
线 PQ 将 ? PQD Q 向上翻折,使 D 与 A 重合. (Ⅰ)求证: AB ⊥ CQ ;
B (Ⅱ)求直线 AP 与平面 D ACQ 所成的角. B P P D
[来源:学。科。网]

C

C

Q

20 . 【解析】 (I)证明Q 面 ABC ⊥ 面 BCQ 又 CQ ⊥ BC ∴ CQ ⊥ 面 ABC ……………5 分
A

∴ CQ ⊥ AB
连接 OP

(Ⅱ)解 1:作 AO ⊥ BC ,垂足为 O ,则 AO ⊥ 面 BCQ , 设 AB = 1 ,则 BD = 2 ,设 BP = x 由题意 AP = DP

2 2 2 2 C ) + x2 ? 2 × × x cos 45° + ( )2 = (2 ? x) 2 Q 2 2 2 O ……………9 分 解得 x = 1 由(Ⅰ)知 AB ⊥ 面 ACQ B D P ∴ 直线 AP 与平面 ACQ 所成的角的正弦值 sin α 就是直线 AP 与直线 AB 所成角的余弦值 cos ∠BAP , ……………12 分 1 π 即 sin α = cos ∠BAP = ,∴ α = , 2 6 π 即直线 AP 与平面 ACQ 所成的角为 ……………14 分 6 解 2:取 BC 的中点 O , BD 的中点 E ,如图以 OB 所在直线为 x 轴,以 OE 所在直线为 y
则( 轴,以 OA 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系.
2 2 2

……………6 分

解得 x = 0 ,所以 P (0,1,0 ) , 故 AP = (0,1,?1)

由 AP = DP 即 x 2 + (1 ? x ) + 1 = ( x + 1) + ( x + 1) , …………10 分

不妨设 BC = 2 ,则 A(0,0,1), D(? 1,2,0 ), P ( x,1 ? x,0 ) ,……………8 分

z A

设 n = ( x, y, z ) 为平面 ACQ 的一个法向量,
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C O B PE x y D Q

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Http://www.fhedu.cn 因为 AC = (? 1,0,?1), CQ = λ OE = λ (0,1,0 ) 由?

?n ? AC = 0 ? ?n ?CQ = 0 ?

即?

?? x ? z = 0 ?2 y = 0
……………12 分

所以 n = (1,0,?1)

设直线 AP 与平面 ACQ 所成的角为 α ,

则 sin α = cos AP, n = 所以 α =

1 1 = 2 2 2

π
6

即直线 AP 与平面 ACQ 所成的角为

π
6

……………14 分

20.(浙江省温州市 2011 年高三第一次适应性测试文科)(本题满分 14 分)如图,在矩形 ( 年高三第一次适应性测试文

ABCD 中 , AB = 4 , AD = 2 , E 为 AB 的中点,现将△ ADE 沿直线 DE 翻折成△ A′DE ,
使平面 A′DE ⊥平面 BCDE , F 为线段 A′D 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 A′BC ;
[来源:学科网] [来源:学+科+网]

(Ⅱ)求直线 A′B 与平面 A′DE 所成角的正切值.

D

C

A' F C D

A

E

B

E

B

20.【解析】 (I)证明:取 A′C 的中点 M ,连接 MF , MB , 则 FM ∥ DC , 且 FM =
A' F D M C

1 1 DC ,又 EB ∥ DC ,且 EB = DC ,从而有 2 2
………………4 分

FM // EB , 所 以 四 边 形 EBMF 为 平 行 四 边 形 , 故 有 EF ∥ MB ,
所以 EF ∥平面 A′BC . 又 EF ? 平面 A′BC , MB ? 平面 A′BC , ………………6 分
A' F C D
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E

B

(II)过 B 作 BO ⊥ DE , O 为垂足,连接 A′O , 因为平面 A′DE ⊥平面 BCDE ,且面 A′DE I 平面

BCDE = DE ,所以 BO ⊥平面 A′DE ,
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S E O B

Http://www.fhedu.cn 所以 ∠ BA′O 就是直线 A′B 与平面 A′DE 所成的角.…10 分 过 A′ 作 A′S ⊥ DE , S 为垂足, 因为平面 A′DE ⊥平面 BCDE ,且面 A′DE I 平面

BCDE = DE ,所以 A′S ⊥平面 BCDE ,在 Rt ?A′SO 中,

A′S = 2 , SO = 2 2 , 所以 A′O = 10 . ………12 分
又 BO =

2,
BO 2 5 = = , A′O 5 10
5 . 5
………………14 分

所以 tan ∠ BA′O =

故直线 A′D 与平面 A′BF 所成角的正切值为

20. ( 浙江省宁波市 2011 年高三 “ 十校联考 ” 理科 ) 如图 1,直角梯形 ABCD 中,

AD / / BC , ∠ABC = 90° , E , F 分 别 为 边 AD 和 BC 上 的 点 , 且 EF//AB ,
AD=2A E=2AB=4FC=4 将四边形 EFCD 沿 EF 折起(如图 2),使 AD=AE. (Ⅰ)求证:BC//平面 DAE; (Ⅱ)求四棱锥 D—AEFB 的体积; (Ⅲ)求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值.

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19.(浙江省嘉兴市 2011 届高三下学期教学测试二理科)(本题满分 14 分) ( 2011 高三下学期教学测试二理科 下学期教学测试二理科) 如图,已知平行四边形 ABCD 中, AD = 2 , CD = 2 , ∠ADC = 45o , AE ⊥ BC ,垂 足为 E ,沿直线 AE 将△ BAE 翻折成△ B ′AE ,使得平面 B ′AE ⊥ 平面 AECD .连接 B′D ,
P 是 B ′D 上的点.

(Ⅰ)当 B ′P = PD 时,求证 CP ⊥ 平面 AB ′D ; (Ⅱ)当 B′P = 2 PD 时,求二面角 P ? AC ? D 的余弦值.
A
B′ P

D

A

D

B

E

C

(第 19 题)

E

C
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Http://www.fhedu.cn 19.(Ⅰ)∵ AE ⊥ BC ,平面 B ′AE ⊥ 平面 AECD ,∴ B' E ⊥ EC . z y 如图建立空间直角坐标系, …2 分 则 A( 0,1,0) , B ′( 0,0,1) , C (1,0,0) ,
1 1 D( 2,1,0) , E (0,0,0) , P (1, , ) . 2 2
B′ P

A

D

1 1 AB ′ = (0,?1,1) , AD = ( 2,0,0) , CP = (0, , ) . E …4 分 2 2

C

x

∵ CP ? AB ′ = ?

1 1 + = 0 , CP ? AD = 0 ,∴ CP ⊥ AB ′ , CP ⊥ AD . 2 2

…6 分

又 AD I AB = A ,∴ CP ⊥ 平面 B ′AD .

…7 分

(Ⅱ)设 p( x , y , z ) ,则 B ′P = ( x , y , z ? 1) , PD = ( 2 ? x ,1 ? y ,? z ) ,
? x = 4 ? 2x 4 2 1 ? 由 B ′P = 2 PD 得: ? y = 2 ? 2 y ,解得 x = , y = , z = , 3 3 3 ? z ? 1 = ?2 z ? 4 2 1 4 1 1 ∴ P ( , , ) , AP = ( ,? , ) , AC = (1,?1,0) . 3 3 3 3 3 3

…10 分

4x y z ?r ? + =0 r ? n ? AP = 3 3 3 . 设面 PAC 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,则 ? r ? n ? AC = x ? y = 0 ?

r 取 x = y = 1 , z = ?3 ,则 n = (1,1,?3) , r 又平面 DAC 的法向量为 m = ( 0,0,1) ,

…12 分

r r | m ? n | 3 11 设二面角 P ? AC ? D 的大小为 θ ,则 cos θ = r r = . mn 11

…14 分

20. (浙江省衢州市 2011 年 4 月高三教学质量检测理科)(本题满分 14 分)如图, 在梯形 月高三教学质量检测理科)

ABCD 中, AB / / CD , AD = DC = CB = 1, ∠ABC = 60o ,四边形 ACFE 为矩形,平
面 ACFE ⊥ 平面 ABCD , CF = 1 . (I)求证: BC ⊥ 平面 ACFE ; ( II ) 点 M 在 线 段 EF 上 运 动 , 设 平 面 MAB 与 平 面 FCB 所 成 二 面 角 的 平 面 角 为

θ (θ ≤ 90o ) ,试求 cos θ 的取值范围.

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20.(I)证明:在梯形 ABCD 中, 20. ∵ AB // CD , AD = DC = CB = 1 , ∠ ABC = 60 ,∴ AB = 2
o

…………………2 分
o

∴ AC = AB + BC ? 2 AB ? BC ? cos 60 = 3
2 2 2 2 2

∴ AB = AC + BC ∴ BC ⊥ AC ………………… 4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD = AC , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE …………………6
2

分 ( II ) 解 法 一 : 由 ( I ) 可 建 立 分 别 以 直 线 CA, CB, CF 为

x轴,y轴, z轴 的 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , 令
FM = λ (0 ≤ λ ≤ 3 ) B (0,1,0), M (λ ,0,1)
∴ , 则

C (0,0,0), A( 3 ,0,0)



设 n1 = ( x, y , z ) 为平面 MAB 的一个法向量, 由?

AB = ? 3,1,0 , BM = (λ ,?1,1)
?? 3x + y = 0 ?λx ? y + z = 0

(

)

…………8 分

? n1 ? AB = 0 ?n1 ? BM = 0

得?

取 x = 1 ,则 n1 = 1, 3 , 3 ? λ ,…………10 分 ∵

n2 = (1,0,0) 是平面 FCB 的一个法向量


(

)

u ur r r cos θ = uu ur =
| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 | 1+ 3 +

1

(

3?λ

)

2

= ×1

1

(λ ? 3 )

………12 分
2

+4



0≤λ ≤ 3

∴ 当 λ = 0 时, cos θ 有最 小值 ∴

当λ =

1 3 时, cos θ 有最大值 。 2

7 , 7 ? 7 1? cos θ ∈ ? , ? …………………14 分 ? 7 2?

解法二:①当 M 与 F 重合时,取 FB 中点为 G ,连结 AG、CG ∵ AF = AC + CF = 2 , ∴ AB = AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF = CB = 1 ∴ CG ⊥ FB
2 2

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Http://www.fhedu.cn ∴ ∠ AGC = θ



BC ⊥ CF



FB = 2

∴ CG =

2 14 , AG = 2 2 CG 2 + AG 2 ? AC 2 7 …………………8 分… = 2CG ? AG 7

∴ cos θ =

②当 M 与 E 重合时,过 B作BN // CF , 且使BN = CF ,
连结 EN、FN ,则平面 MAB ∩平面 FCB = BN , ∵ BC ⊥ CF ,又∵ AC ⊥ CF ∴ CF ⊥平面 ABC ∴ BN ⊥平面 ABC ∴ ∠ ABC = θ

θ = 60o , 1 ∴ cos θ = 2


…………………10 分

[来源:学科网]

③当 M 与 E、F 都不重合时,令 FM = λ (0 < λ < 3) 延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN
∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∴ 平面 MAB ∩平面 FCB = BN 过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG, 由(I)知, AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN, ∴ AC⊥平面 NCB ∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C, ∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB ∴ ∠AGC= θ 在 ?NAC 中,可求得 NC=

3 , 3?λ 3

从而,在 ?NCB 中,可求得 CG=

(λ ? 3 )

2

+3

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∠ACG= 9 0

o



AG=

AC 2 + CG 2 =

3

(λ ? 3) + 4 (λ ? 3) + 3
2 2



cos θ =

CG = AG

1

(λ ? 3)

2

+4



7 1 < cos θ < …………………13 分 7 2 ? 7 1? 综合①②③得, cos θ ∈ ? , ? …………………14 分 ? 7 2?

0<λ < 3



[来源:学+科+网]

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