当前位置:首页 >> 数学 >>

福建师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题

福建师大附中 2013—2014 学年度上学期期末考试

高二数学理试题
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求. 1.抛物线 y 2 ? A.

1 8

1 x 的焦点到准线的距离为( ***** ) 2 1 1 B. C. 4 2

D. 1

2.已知 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0? ,动点 P 满足: PF 1 ? PF 2 ? 6 ,则动点 P 的轨迹为( ***** ) A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线 3.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ***** ) A.1 B .2 C.3 D.4 4.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( ***** ) A.1 B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

5. 下列有关命题的说法正确的是( ***** )
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”.

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题。 6.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( ***** ) A. ?

2 5

B.

2 5

C. ?

10 10

D.

10 10

7. 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,E 为 PD 中点, 若 PA ? a ,PB ? b ,PC ? c , 则 BE ? ( ***** )

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ?

??? ?

1? 1? 1? A. a ? b ? c 2 2 2 ? ? 1 3 1? C. a ? b ? c 2 2 2

1? 1? 1? B. a ? b ? c 2 2 2 ? ? 1 1 3? D. a ? b ? c 2 2 2
A

P

E

x2 ? y2 ? 1 的 两 个 焦 点 , 点 P 在 双 曲 线 上 且 8 . 设 F1 , F2 为 双 曲 线 4

D B

C

?F1 PF2 ? 900 ,则 ?F1 PF2 的面积是( ***** )
A.1
9 . 已 知双曲线 为(***** ) A. 5 B.

B.

5 2

C .2

D. 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的 一条渐近线 与抛物线 y ? x 2 ? 1 只 有一个公共 点,则双 曲线的离心 率 2 a b

5 2

C.

5

D.

5 4

10. 如图, 在棱长为 3 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别是棱 A1B1、 A1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是( ***** ) A.

9 2

B. 3

C.

2 3

D.2

11 .如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 1 的正方形,若
?A1 AB ? ?A1 AD ? 600 ,且 A1 A ? 3 ,则 AC 的长为( ***** ) 1

A. 5 12.由半椭圆

B. 2 2

C. 14

D. 17

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( x ≥0)与半椭圆

y2 x2 ? ? 1 ( x ≤0)合成的曲线称 b2 c2
x2 a2 ? y2 b2 ?1

2 2 2 作“果圆”,如图所示,其中 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 .由右椭圆

( x?0) 的焦点 F0 和左椭圆

y2 x2 ( x?0) 的焦点 F1 ,F2 确定的 ?F0 F1 F2 ? ?1 b2 c2

叫做果圆的焦点三角形,若果圆的焦点三角形为锐角三角形,则右椭圆 x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0 )的离心率的取值范围为( ***** ) a2 b2 1 2 3 3 A. ( ,1) B. ( ,1) C. ( ,1) D. (0, ) 3 3 3 3

第Ⅱ 卷
13.椭圆

共 90 分

二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷的相应位置.
x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 ******** . m 4 14.已知点P是圆F1 上任意一点,点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1 2 2

: ( x ? 3) ? y ? 4

交于M点,则点M的轨迹C的方程为
2

********

.

15.设 P 是曲线 y ? 4 x 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离之和的最小值 为 ******** . 16.如图,抛物线形拱桥的顶点距水面 2 米时,测得拱桥内水 面宽为 12 米,当水面升高 1 米后,则拱桥内水面的宽度为 2 ******** 米.
12

17.已知动点 P ( x, y ) 在椭圆

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 则 | PM | 的最小 25 16

值是 ******** . 三、解答题:本大题有 5 题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:双曲线 2m m ? 1

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 “ p或q ”为真命题,“ p且q ”为假命题,求实数 m 的取值范围. 5 m
19.(本小题满分 15 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90° ,且 AB = AA1 , D 、 E 、 F 分 别为 B1 A 、 C1C 、 BC 的中点. (I)求证: DE ∥ 平面 ABC ; (II)求证: B1 F ⊥ 平面 AEF ; (III)求二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,F 是抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,圆 Q 过 O 点与 F 点,且圆心 Q 到
2

抛物线 C 的准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程;

3 . 2

(2)过 F 作倾斜角为 600 的直线 L,交曲线 C 于 A,B 两点,求 ?OAB 的面积; (3)已知抛物线上一点 M ( 4,4) ,过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和ME ,且 MD ? ME ,判断:直线 DE 是否过定点?说明理由。

21.(本小题满分 12 分)
如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90 . (Ⅰ )
?

P

求证:平面 PBC ? 平面 PAC (Ⅱ )若 PA ? 1, AB=2 ,BC=AC, 在线段 AC 上是否存在一点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为

30? ?若存在,求出 CD 的长;若不存在,说明理由。
22.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

B C

A

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1), a2
2 2

(1)若椭圆 C 的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 M: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 3 相切,求椭圆 C 的方程. (2)若 Rt ?ABC 以 A(0,1)为直角顶点,边 AB,BC 与椭圆交于两点 B,C,求 Rt ?ABC 面积的最大值.

参考答案
一、选择题:BCBDD 二、填空题: 13.5 或 3 BCACD 14: x ?
2

AC

y2 ?1 2

15. 2 2

16. 6 2

17. 3

三、解答题:本大题有 5 题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分) 解:p:0<m<
1 3

---------3 分

q:0< m <15

---------6 分

由“ p或q ”为真命题,“ p且q ”为假命题,知 p, q 为一真一假。------9 分 p 真 q 假,则空集;--------10 分 p 假 q 真,则
1 ? m ? 15 3

---------11 分 ---------12 分

故 m 的取值范围为

1 ? m ? 15 3

19.(本小题满分 15 分) 解:方法 1:如图建立空间直角坐标系 O—xyz,令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0) ,E(0,4,2) ,F(2,2,0) ,B(4,0,0) , B1(4,0,4) ,D(2,0,2) , …………(2 分) (I) DE ? ( ? 2 ,4,0) ,面 ABC 的法向量为 OA1 ? (0,0,4) , ∵DE ? OA1 ? 0 , DE ? 平面 ABC, ∴ DE∥ 平面 ABC.

?

?

?

?

? ? 2, ? 4), EF ? (2, ? 2, ? 2) (II) B1 F ? (?2, ? ? B1 F · EF ? (?2) × 2 ? 2× (?2) ? (?4) × (?2) ? 0 ? ? B1 F · AF ? (?2) × 2 ? 2× 2 ? (?4) × 0 ? 0 …………(8 分)
∴B1 F ⊥ AF , ∴ B1 F ⊥ AF ∵ AF ? FE ? F, ∴ B1 F ⊥ 平面AEF

…………(5 分)

?

?

? (III) 平面 AEF 的法向量为 B1 F ? (?2, 2, ? 4) ,设平面 B1AE 的法向量为 ? ? ? ? ?2 y ? z ? 0 ? n · AE ? 0 即? …………(12 分) n ? ( x,y,z ) ,∴ ? ? ? x ? z ? 0 ? ?n ·B A?0 1 ? ? ? ? ? ? n· BF 6 B1 F ?? ? 1 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1, ∴ n ? (2, 1, ? 2 ∴cos ? n , ? ?
| n· | | B1 F |
∴ 二面角 B1—AE—F 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分)

…………(10 分)

9 × 24

?

6 6

6 6

…………(15 分)

20、 (1)? F (

p p ,0) ,?圆心 Q在线段 OF 的垂直平分线 x ? 上 4 2 p p p 3 又? 准线方程为: x ? ? ?抛 物 线 C : y 2 ? 4x ? ? (? ) ? ,得 p ? 2 2 4 2 2
2 ? ? y ? 4x ? ? y ? 3 ( x ? 1)

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 由 ?

得: y 2 ?

4 3y ? 4 ? 0 3

? y1 ? y2 ?
? S? ?

4 3 , y1 y2 ? ?4 3

1 16 1 1 4 ? | OF | ? | y 2 ? y1 | ? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ? ? 16 = 3 2 2 2 3 3

(3)设直线 DE : ?

?x ? m y ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0 , 则 ? ? 16m 2 ? 16t ? 0

(*)

设 D( x1 , y1 ), E ( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? ?4t

? 0 ? MD ? ME ? ( x1 ? 4, y1 ? 4) ? ( x2 ? 4, y2 ? 4)
2 2 2 2

? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 16

?

y1 y 2 y y ? ? 4( 1 ? 2 ) ? 16 ? y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 4 4 4 4
( y1 y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 3 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 32 16

?

? t 2 ? 16m2 ? 12t ? 32 ? 16m
即 t ? 12t ? 32 ? 16m ? 16m
2 2

得: (t ? 6) ? 4(2m ? 1)
2

2

? t ? 6 ? ?2(2m ? 1)

即: t ? 4m ? 8 或 t ? ?4 m ? 4

带入(*)式检验均满足 ? ? 0

? 直线 DE 的方程为: x ? my ? 4m ? 8 ? m( y ? 4) ? 8
21.(本小题满分 12 分)

或: x ? m( y ? 4) ? 4

? 直线过定点(8,-4).(定点(4,4)不满足题意,故舍去)
? 解: (Ⅰ )∵?PAB ? ?PAC ? 90 ,∴PA ? AB , PA ? AC .

∵ AB ? AC ? A ,∴PA ? 平面 ABC ------------------------1 分 ∵BC ? 平面 ABC ,∴BC ? PA .------------------------2 分
? ∵?ACB ? 90 ,∴BC ? CA .∵PA ? CA ? A ,∴BC ? 平面 PAC .------------3 分

∵BC ? 平面 PBC ,∴ 平面 PBC ? 平面 PAC .------------4 分 (Ⅱ )由已知可知, BC ? CA , AB=2 ,此时 BC ? AC ? 2 .------------5 分

以 C 为原点,建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz ,则 CB ? (0, 2,0), CP ? ( 2,0,1) , 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,

??? ?

??? ?

?

P

??? ? ? ? ?CB ? n ? 0 ? ? 2?y ?0 ?? 则 ? ??? , ? ? CP ? n ? 0 2 x ? z ? 0 ? ? ? ? ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,0, ? 2) ,------------8 分

B C

A

设线段 AC 上的点 D 的坐标为 D(t , 0, 0) ,则 BD ? (t, ? 2,0)(0 ? t ? 2) ,

??? ?

? ???? ? | n ? BD | t ???? ?? ∵sin 30? ? ? ,解得 t ? 6 ?[0, 2] , | n | ? | BD | 3 ? t2 ? 2

------------11 分

∴ 在线段 AC 上不存在点 D ,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30? 。------------12 分 22. (本小题满分 14 分)

(2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ? 1。 k

? y ? kx ? 1 2a 2 k ? 2 2 2 2 ? x ? ? 由 ? x2 得: ( 1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 B 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a

---------7 分

1 ? y ? ? x ?1 ? 2a 2 k k ? 由? 2 得: (a 2 ? k 2 ) x 2 ? 2a 2 kx ? 0 xC ? 2 a ? k2 ?x ? y2 ? 1 ? ?a2

---------8 分

2a 2 k 1 2a 2 k 从而有 AB ? 1 ? k , AC ? 1 ? 2 2 , 1 ? a2k 2 k a ? k2
2

--------10 分

1 k? 2 1 k (1 ? k ) 4 k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 2a 。---- 11 分 ? 2a 4 1 2 (1 ? a 2 k 2 )(a 2 ? k 2 ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k
令t ? k ?

1 ? 2 ,有 S k

?ABC ?

2a 4 t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

----- 12 分

a2 ?1 (a 2 ? 1) 2 2 ? 2a(a ? 1), t ? 因为 a t ? 时等号成立。 a t
2

? t ? 2,?当

a2 ?1 a3 a2 ? 1 ? 2,即a ? 1 ? 2时 ,因此当 t= , ( S?ABC )max ? 2 , a a a ?1

---- 13 分

?当 1 ? a ? 1 ? 2 时,

a2 ? 1 4a 4 -------- 14 分 ? 2, 所以t ? 2时, (S?ABC )max ? a (1 ? a 2 )2


相关文章:
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理....doc
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题 - 福建师大附
福建师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题.doc
福建师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题_数学_高中教育_
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理....doc
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试卷 - 福建师大附中 20132014 学年度上学期期末考试 高二数学理试题 本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试...
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理....doc
福建省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答
福建省师大附中2013-2014学年高二第一学期期中考试数学....doc
福建省师大附中2013-2014学年高二第一学期期中考试数学(理)试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中 2013-2014 学年第一学期模块考试卷 高二数学必修 ...
福建省师大附中高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版.doc
福建师大附中 20132014 学年度上学期期末考试 高二数学理试题本试卷共
福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)试题(平行班).doc
福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)试题(平行班)_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中 2017-2018 学年上学期期末考试卷 高二理科数学 选修 2-1 时间:...
福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)....doc
福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (word版含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中 2017-2018 学年上学期期末考试卷(...
...2018学年高二上学期期末考试数学理试题 含答案 精品....doc
福建师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题 含答案 精品 - 福建师大附中 2017-2018 学年上学期期末考试卷(实验班) 高二理科数学选修 2-1 时间:...
福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)....doc
福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 - 瀚海导与练教育信息网 www.sdhhsy.cn 天天精品 时时更新 精品资源 e 揽无余 福建师大附中 201...
福建师大附中2013-2014学年第一学期模块考试卷高二数学....doc
福建师大附中2013-2014学年第一学期模块考试高二数学必修5(理科)_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中 2013-2014 学年第一学期模块考试高二数学必修 5(...
福建师大附中1718学年上学期高二期末考试数学(理)试....doc
福建师大附中1718学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)$829564 - 福建师大附中 2017-2018 学年上学期期末考试卷(实验班) 高二理科数学选修 2-1 一...
黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数....doc
黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试...
福建师大附中1718学年上学期高二期末考试数学(理)试....doc
福建师大附中1718学年上学期高二期末考试数学(理)试题(平行班)(附答案)$829565 - 福建师大附中 2017-2018 学年上学期期末考试高二理科数学选修 2-1 一...
福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试....doc
福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(理)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及...
2018-2019学年福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)....doc
2018-2019学年福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)试题(平行班)_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年 福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试卷 ...
福建省师大附中10-11学年高二上学期期末考试数学理试题.doc
福建省师大附中10-11学年高二上学期期末考试数学理试题_数学_高中教育_教育专区。福建省师大附中 2010-2011 学年高二上学期期末考试 数学(理科)试卷 (满分:150 ...
福建省师大附中08-09学年上学期高二期末考试(数学理).doc
福建省师大附中08-09学年上学期高二期末考试(数学理) - 精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 福建师大附中 2008...
福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)....doc
福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高二数学(理科)试卷时间: 试卷说明...
数学(理)卷2014届福建省师大附中高二下学期期末考试.pdf
数学(理)卷2014福建省师大附中高二学期期末考试 - 福建师大附中 20122013 学年度学期期末考试 高二数学理试题 本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间...