当前位置:首页 >> 数学 >>

利用Δ≥0巧证平面几何不等式

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 利用 Δ≥0 巧证平面几何不等式 作者:彭 成 来源:《中学生数理化·教与学》2010 年第 12 期 几何不等式的证明一直是平面几何中的难点,倘若能将其看做代数问题的实际应用或转化 为代数问题,则既不失几何证明或求解的优美,又能为我们提供了更为灵活、广阔的求解途径. 笔者发现对几何不等式的证明若能根据条件构造一元二次方程,然后利用方程有解的等价 条件 Δ≥0 去思考,往往显得明快,易于入手.现举例说明. 例 1 如图 1,设 PT 与圆 O 相切于点 T,直线 PB 交圆 O 于点 A 和 B,求证:PA+PB>2PT. 证明:由切割线定理有 PT2=PA?PB. 由根与系数的关系,可将 PA,PB 看成一元二次方程 x2-(PA+PB)x+PT2=0 的两根. 由于 PA≠PB,有 Δ=(PA+PB)2-4PT2>0,即有 PT2 例 2 在 ΔABC 中,已知∠B=60°,AC=1.求证:AB+BC≤2. 证明:如图 2,过 A 作 AD⊥BC 于 D. 设 BD=x,则 AB=2x,AD=3x,CD=1-3x2. 所以 AB+BC=3x+1-3x2. 整理得 12x2-6(AB+BC)x+(AB+BC)2-1=0. 显然上述方程有解,由 得[6(AB+BC)]2-4×12[(AB+BC)2-1]≥0. 化简即得 AB+BC≤2. 例 3 半径为 r 的圆 O 内切于 ∠C=60°,∠C 的对边 c=3. 求证:r≤12. 证明:如图 3,设圆 O 分别与 AB,BC,CA 相切于 D,E,F 三点,连接 OE,OF,OC. 设 BC=a,AC=b. 由∠OCE=∠OCF=30°,得 CE=CF=3r.又 AC+BC=(AF+FC)+(BE+EC) 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn =(AD+FC)+(BD+EC) =(AD+BD)+(FC+EC) =AB+FC+EC. 即 a+b=3+23r.① 又 得 即 ab=4r(1+r).② 由①②可知, a,b 是二次方程 x2-(3+23r)x+4r(1+r)=0 的两根. 例 4 在 ΔABC 中,∠C=135°,CD 是角平分线,DF⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. 求证 证明:连接 EF. 由于 CD 是角平分线及 DE⊥AC,DF⊥BC,得∠EDF=45°,DE=DF. 设 则 即 DE=2k(n+1)BC.① 又 -350°)]=12DE(AC+BC), 所以 化简得 nBC=2DE(n+1).② 由①②得 2kn2+(4k-1)n+2k=0. 显然 k≠0,由 即证. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn